3.2 求最值、值域、参数取值范围-高考数学试题方法研究

3.2 求最值、值域、参数取值范围 方法归纳 求最值、值域、参数取值范围的常用以下几种方法： （1） 转化为基本不等式的形式； （2） 利用函数的单调性； （3） 将函数或不等式转化为我们熟悉的一元二次函数（不等式），有时也转化一次函数（不等式）、三角函数等，然后利用函数的图像和性质求解。 （4） 数形结合 ①直接利用函数图像（通过比较区间端点与函数极值点来判断最值）； ②利用题目条件或所求表达式的几何意义（原理：点到直线的距离垂线段最短；两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边） 例题解析 例1、【利用基本不等式】已知x>1，则的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 【答案】A 【解析】∵x＞1，∴x－1＞0. ∴ （技巧：以分母为标准进行拆分，把x-1看成一个变量） ＝（当且仅当，即时等号成立） 例2、【利用函数单调性】（2019·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) 【答案】A 【解析】 是定义在上的奇函数,且当时, 当,有, 即 在上是单调递增函数,且满足 不等式在恒成立, ,恒成立 对恒成立 解得: 则实数的取值范围是:.故选:A. 例3、【转化为一元二次函数】y＝x＋4 【答案】y∈(－∞，5] 【解析】令≥0，则 ∴y＝－t2＋4t＋1， ∵t≥0，∴y∈(－∞，5]。 例4、【三角形两边之和大于第三边】（2020全国高二课时练）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】设圆心，则，化简得， ∴圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， ∴，∴，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A. 跟踪练习 1、【利用基本不等式】若正数a，b满足a+b＝1，则的最小值为　 　． 2、【利用一元二次方程】已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　) A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4] 3、【2023新高考I卷第4题▪利用函数的单调性和一元二次函数】 设函数在区间(0,1)单调递增，则a的取值范围是 A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 4、【2020全国高考I卷第11题▪利用不等式和单调性】（多选） 已知a>0，b>0，且a+b=1，则 A. B. C. D. 5、【2020全国高考I卷第7题▪转化为一次函数】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内一点，则的取值范围是 A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D(-4,6) 6、【点到直线的距离垂线段最短▪选修一】（多选题）（2020·山东临朐高二月考）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 7、【两点之间线段最短▪选修一】已知分别为圆：与圆：上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 8、【换元转化为三角函数】已知x≥0,y≥0，且x+y=1，则的取值范围是多少？ 3.2 求最值、值域、参数取值范围 1、【答案】 【解析】∵正数a，b满足a+b＝1， ∴（3a+2）+（3b+2）＝7． （技巧：以所求表达式分母为标准，对条件进行变换） ∴ ，当且仅当a＝b时取等号． ∴的最小值为． 2、【答案】D 【解析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4, 设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c], 即m,n∈[2-,2+],则∈[1,4]. 3、【答案】D 【解析】设则抛物线对称轴为，开口向上 而是t的增函数 函数在区间(0,1)单调递增， 则在区间(0,1)单调递减， ，即a≥2 故选D 4、【答案】ABD 【解析】已知a>0，b>0，且a+b=1，得，即，A正确；由a>0，b>0，且a+b=1易得a-b>-1，故由指数函数的单调性易得，B正确；，故C错误；， 得，故D正确，故选ABD 5、【答案】A 【解析】以正六边形的重心为坐标 原点O，线段FC所在的直线为x轴，线段FC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F(-2,0),C(2,0),A,(-1,-),B(1,-)。设P（x,y）,x∈(-2,2)，则，故选A 6、【答案】CD 【解析】由题知方程为圆心是，半径为1的圆，由为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，所以，即的最大值为，最小值为。故选：. 7、【答案】CD 【解析】（注：动点在哪条直线上，就以哪条直线为对称轴，做定点或定圆关于这条直线的对称点或对称圆）圆，关于轴对称的圆为圆， 则的最小值为， 故选：. 8【答案】[0.5,1] 【解析】令 那么 则当，取最小值0.5； 当，取最大值1 所以的取值范围是[0.5,1] 学科网（北京）股份有限公司 $$