3.1 分式函数求值域、最值-高考数学试题方法研究

3 函数的概念和性质 3.1 分式函数求值域、最值 表现形式 在高考试题及平时测试中，经常能碰到分式型函数求值域问题。其表现形式有一元一次式比一元一次式，一元二次式比一元一次式，一元一次式比一元二次式，一元二次式比一元二次式；三次以上的比较少见，如果碰到的话，技巧性也比较强；此外还有f(x)=x+m/x的形式。 （1）一元一次式比一元一次式 一元一次式比一元一次式解法有三种：（1）极限法；（2）分离法；（3）反函数法。 形如： （2）分子分母至少有一个是二元 一元一次式比一元二次式，形如： 一元二次式比一元一次式，形如： 一元二次式比一元二次式，形如： （3）一元三次式比一元四次式， 方法技巧：一元三次式比一元四次式，先用换元法将其转化为一元一次式比一元二次式。 形如： （4）形如求值域 （1） 当m<0时，函数在（-∞，0）或（0，+∞）为均单调递增 （2） 当m>0时，可利用不等式的性质求解 方法归纳 具体方法：①反函数法②判别式法③换元法④分离法⑤单调性法⑥不等式法 基本思想：在整个高中阶段，无论是求最值、值域还是解不等式，所用的解题思想就是把一个复杂的函数或不等式转化为我们所熟悉的基本不等式、一元一次函数（不等式）、一元二次函数（不等式）或利用函数的单调性求解。 如果转化为一元二次函数，那么当x∈R时，或者x没有限制时，可用判别式法来求值域；当x有取值范围限制时，可转化为对勾函数（形如f(x)=ax+b/x（a，b＞0）的函数）来求值域。 例1、求的值域。 【答案】 【解析】（1）极限法 （2） 分离法 （3） 反函数法 的反函数为： 例2、求的值域。 【解析】由题目可知x∈R，把函数变形为 ①当y=1时，x=0; ②当y1时，是一个关于x的一元二次方程。 ∵x是任意实数，∴△≥0， 即 解得： 由①②可知，函数的值域为 （注：当x∈R时，或者x没有限制时，可用判别式法来求值域） 例3、求函数的值域。 【解析】由题可知，x≠-1，所以此时不能再使用判别式来求值域，需要使用对勾函数。 由基本不等式可以求得原函数的值域为：{y|y≥2或y≤ -2} （注：当x有取值范围限制时，可转化为对勾函数或利用基本不等式（形如f(x)=ax+b/x（a，b＞0）的函数）来求值域） 例4、当x>0时，求函数的值域。 【解析】 令（∵x>0, ∴t≥2） ∴原函数变为 由基本不等式解得：0<y≤ ∴原函数的值域为{y|0<y≤} 例5、求的值域。 【解析】 令t=x+1 则 跟踪练习 1、已知函数， (1)若该函数在区间上是减函数，求的取值范围. (2)若，求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 2、【2016▪北京高考真题】的最大值为_________ 3、求函数的值域 4、求函数的值域 5、求函数的值域。 6、求的值域。 3.1分式函数求值域 1、 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为函数在区间上是减函数, 所以,解得, 所以的取值范围. （2）当时，，则在和上单调递减，因为，所以在的最大值是，最小值是， 2、【答案】2 【解析】 在上单调递减； ∴当x=2时取最大值2 3、【答案】（-2,0） 【解析】 解得：函数的值域为（-2,0） 4、【答案】 【解析】 （转化为一次除以二次的形式） ∴当x=0时，y=2 当x≠0时， 解得：1≤y<2，2<y≤7/3 综上得： 5、【答案】(0,2] 【解析】 ∵x>-1 ∴x+1>0 利用基本不等式，可得：0<y≤2 故函数的值域为(0,2] 6、【答案】{y|} 【解析】 当k=0时，f(x) = 4 当k≠0时， 令t= 则 解得 综上得原函数的值域为：{y|} 学科网（北京）股份有限公司 $$