2.1 不等式的证明方法和技巧-高考数学试题方法研究

不等式 2.1 不等式的证明方法和技巧 方法归纳 （1）常用基本不等式 我们先来认识几种平均数： 调和平均数： 几何平均数： 算术平均数： 平方平均数： 这四种平均数满足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。我们平时做题时，遇到的不等式相关问题，基本都离不开以上几种平均数大小关系的比较。 特别地，当n=2时 当n=3时，均值不等式：设a、b、c∈R＋，则 ≤≤≤ 当且仅当a＝b＝c时等号成立。 基本不等式是解决不等式最基本的方法。利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”： (1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值； (2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．所以我们在解决不等式的题目时，通常都要通过配凑，将题目条件或所求表达式变为和或积是定值的形式。 (3)“三相等”：即使不等式中等号成立的条件，使表达式或函数取得最大值或最小值． （2）不等式证明思路 不等式的证明思路和方法相互融合，相辅相成，常用的有：比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法；换元法、消元法、常数代换法、几何法、数学归纳法、构造函数法等。 1、比较法 比较法证明不等式的一般步骤：①作差（作商）②变形③判断④结论． 作差法：差与“0”比较。通常需要把结果化为：①一个常数②平方和的形式③几个因式的积（分解因式）或商的形式，然后判断其正负． 作商法：商与“1”相比较。作商时，需要满足两者均为正数。 2、综合法（顺推） 即“执因索果”，是指从已知条件或定理出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。 综合法证明“若 A 则 B”的步骤：A⇒ B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒ B，即从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，最后推导出所要证明的结论 B. 3、分析法（逆推） 即“执果索因”，是指从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明结论是否成立转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。 分析法证明“若 A 则 B”的步骤：B⇐B1⇐ B2…⇐ Bn⇐ A。欲证 B 为真，只需证 B1 为真，进而只需证B2 为真，……从而只需证 A 为真，今已知 A为 真，故 B必为真． 4、放缩法 利用不等式的传递性：要证 A>B，可适当选择一个 C，使得 C≥B，那么A>B,反之亦然．即借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法． 主要适用于：分式不等式或基本不等式等放缩 常用放缩技巧：①应用基本不等式进行放缩； 主要适用于：有明显基本不等式特征或易于转化为基本不等式的证明。 ②添舍放缩：即舍掉(或添进)一些项，视情况丢掉或增加一些项进行放缩。 主要适用于：整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明。 ③分式放缩：固定分母，放缩分子；固定分子，放缩分母． 主要适用于：分式类不等式的证明； 5、反证法 即从正难则反的思路去证明。欲证明A>B，先假设 A≤B，由题设或其他已知定理结论等，推出矛盾，从而肯定A>B。 主要适用于：题目中含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，或需要证明不等式为否定命题、惟一性命题等可以考虑用反证法． （3） 不等式的证明方法 1、常数代换法 常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。 常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形，如：等。 2、几何法 当题目所给条件或结论具有明显的几何意义时，通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。 3、消元法 当不等式含有2个或以上的未知数时，可利用条件消去一个或多个未知数，然后再利用基本不等式求解。 4、换元法（后面有专题讨论） 5、数学归纳法 当不等式是一个与自然数 n 有关的命题，可以利用数学归纳法进行证明． 6、构造法 在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明． 例题解析 例 1【比较法（做差法）】设，为实数，比较与的大小． 【答案】≥ 【解析】 （差变形为一个常数与一个或几个平方和的形式） ，当且仅当时同时取等号 ，当且仅当时取等 例2（多选）已知则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 A错误，比如，，不成立； B，成立； C，由， 故C成立， （把差变形为几个因式的积的形式） D， ，故D不成立， （把差变形为几个因式的积的形式） 故选:BC. 例3【比较法（作商法）】已知。 【答案】a<b 【解析】 故a<b 例4【综合法】设a、b、c为不全相等的正数，试证：＋＋>3. 【证明】左边＝ ＝ ∵a、b、c为不全相等的正数． ∴＋≥2，＋≥2，＋≥2中的等号不可能同时成立， ∴＋＋>6－3＝3. 例5【分析法】已知α、β∈，且α≠β，求证： tanα＋tanβ>2tan. 【证明】欲证不等式，即＋>， 只需证>， ∵∈，∴sin>0， 只需证 即只需证cos2>cosαcosβ，即证>cosαcosβ， 即证1＋cosαcosβ－sinαsinβ>2cosαcosβ， 只需证1>cos(α－β)，∵α≠β，满足三角函数性质 故原不等式成立． 例6【分析法】已知 【证明】欲证明： 只需证明 （说明：对于含有根号或绝对值的情形，可以通过平方或者适当变形后平方，去掉根号或绝对值） 即只需证明： 展开得 即只需证明 即只需证明 即只需证明 因为|a|<1,|b|<1 故 所以成立 从而成立 例7【放缩法】求证：． 【证明】观察发现一共有项，有同学可能会一步放缩为，不对。 显然，放缩要适度，不要用力过猛， 原式> 【举一反三▪全国高考数学I卷第8题】已知函数的定义域为R，，且当x<3，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由当x<3，，可得， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，∴ 例 8【反证法】已知 a>0，b>0，且 a＋b>2.求证：，中至少有一个小于2. 【证明】假设，都不小于2，则≥2，≥2 ∵a>0，b>0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， 两式相加可得 1＋b＋1＋a≥2(a＋b)， 即 a＋b≤2，这与已知 a＋b>2 矛盾．故假设不成立． 因此，中至少有一个小于2 例9【反证法】若 0<x、y、z<2，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于 1. 证明：假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1 ∴① 而 ② ②与①矛盾，故假设不成立，所以原题设结论成立。 例10【常数代换法】已知正实数x，y满足． （1）求xy的最大值； （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）10 （2）． 【解析】（1），解得， 当且仅当，取等号， ∴最大值为． （2） ， （将条件变形为） 当且仅当，取等号， ∴，解得． 例11【几何法】用几何法证明： 【证明】在直角坐标系中取点，原点O(0,0) 则，， 在△ABO中，两边之和大于第三边|AO|+|BO|>|AB| 即 当A、B、O三点共线时，， ∴ 例12【消元法】设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z＝0，则的最小值是　　． 【答案】3 【解析】∵x﹣2y+3z＝0，∴， ∴，当且仅当x＝3z时取“＝”． 或 故答案为3． 跟踪练习 1、【综合法】已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值． 2、【直接配凑法】 设a1，a2，a3，…，an均为正实数，求证：≥a1＋a2＋a3＋…＋an. 3、【基本不等式法】若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（　　）（多选） A．ab有最大值 B．有最大值 C． D．有最小值 4、【做差配方】当p，q都为正数且p＋q＝1时，试比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小． 5、(2017·全国Ⅱ卷)已知a>0，b>0，，证明： (1)； (2)a＋b≤2. 6、【常数代换法】已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．2 7、【常数代换法】（2020•葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（　　） A．4 B．4 C．9 D．9 8、【消元法】设x>0，y>0，x2＋＝1，求的最大值． 9、【几何法】（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0） C． D．（a＞b＞0） 10、【常数代换法】（2020•河南模拟）已知区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，则3a+2b的最小值是（　　） A． B． C． D．3 11、【消元法·基本不等式法】（2020•江苏·高考真题）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是　　． 12、【作商法】已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 13、【常数代换法】（2020·浙江）已知，则的最小值为______． 14、【放缩法】若，, （1）求证：； （2）求证：； （3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 1、【答案】2 【解析】由条件得x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y·＋xz＝＋xz≥2，当且仅当＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值为2. 2、【解析】为了约去中的分母，可考虑配上一项ak＋1，于是有＋a2≥2a1，＋a3≥2a2，…＋an≥2an－1，＋a1≥2an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立． 3、【答案】ABC 【解析】对于选项A：∵ab≤（）2（当且仅当a＝b时取“＝“），故选项A正确； 对于选项B：∵（）2＝a+b+2a+b+a+b＝2，∴（当且仅当a＝b时取“＝“），故选项B正确； 注：此选项也可直接利用算术平均数小于平方平均数直接求解。 对于选项C：∵正实数a，b满足a+b＝1，∴a﹣b＝1﹣2b＞﹣1，∴3a﹣b＞3﹣1，故选项C正确； 对于选项D：∵a+b＝1，∴（）（a+b）＝33+2（当且仅当时取“＝“），故选项D错误．故选：ABC． 4、【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy. 因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p， 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0， 因此(px＋qy)2≤px2＋qy2，当且仅当x＝y时等号成立． 5、[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤，当且仅当a=b=1时，取等号 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 6、【答案】C 【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2， 则2， 所以，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为，故选：C． 7、【答案】C 【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1， 又因为a＞0，b＞0，所以（）（2a+b）＝55+4＝9， 当且仅当且2a+b＝1即a，b时取等号，此时取得最小值9．故选：C． 8、【解析】 法二【直接配凑，利用基本不等式】： ∵x>0，y>0，x2与的和为定值， ∴＝＝，当且仅当，即时取等号，即的最大值为. 9、【答案】D 【解析】由图形可知：OF，OC， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF，∵CF≥OF， ∴，（a，b＞0）．故选：D． 10、【答案】C 【解析】∵（a，b）是不等式mx2﹣2x+1＜0的解集， ∴a，b是方程mx2﹣2x+1＝0的两个实数根且m＞0，∴a+b，ab， ∴2；且a＞0，b＞0； ∴3a+2b•（3a+2b）•（）•（5）（5+2）（5+2）， 当且仅当ba时“＝”成立； ∴3a+2b的最小值为（5+2）．故选：C． 11、【答案】 【解析】方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2， 由x2≥0，可得y2∈（0，1]， 则x2+y2y2（4y2）•2，当且仅当y2，x2， 可得x2+y2的最小值为； 方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2（x2+y2）2，故x2+y2， 当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2，x2时取得等号，可得x2+y2的最小值为． 故答案为：． 12、【答案】A 【解析】∵log53•log581，∴a＜b； ∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8； ∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b， 综上，c＞b＞a．故选：A． 13、【答案】． 【解析】 ，当且仅当，解得，又因为，所以时等号成立． 故答案为：． 14、【解析】（1）∵，且，∴，∴. （2）∵，∴．又因为 ， ∴．∴． ∴， ∵，∴． ∴， ∴. （3）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴. ∴在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$