21.2.1 二次函数 y=ax 2 的图象和性质（课件）2024—2025学年沪科版数学九年级上册

21.2 二次函数的图象和性质 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.2.1二次函数 y=ax 2 的图象和性质 知1－讲 感悟新知 知识点 二次函数 y=ax2 的图象的画法 1 用描点法画二次函数 y=ax2 的图象的步骤 感悟新知 知1－讲 特别提醒 用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的 . 在画二次函数图象时，画的线必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，图象越精确，但也要具体问题具体分析 . 知1－练 感悟新知 在同一平面直角坐标系中作出y = x2， y = － x2和 y = x2的图象. 例1 解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线这 三个步骤作图 . 知1－练 感悟新知 解：列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y = x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y = － x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … y = x2 … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 … 知1－练 感悟新知 描点、 连线 ，即得三个函数的图象，如图 21.2-1 所示 . 知1－练 感悟新知 1-1.如图，函数y= － 2x2的图象是(     ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ C 感悟新知 知2－讲 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 2 1. 抛物线的概念 观察函数 y=x2 的图象知它是一条关于 y 轴对称的曲线，我们把这条曲线叫做抛物线 . 二次函数 y=ax2 的图象都是抛物线，二次函数 y=ax2 的图象可以简称为抛物线 y=ax2. 感悟新知 知2－讲 2. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 a 的符号 a ﹥ 0 a ﹤ 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 感悟新知 知2－讲 续表 顶点坐标 (0，0) 对称轴 y 轴(或直线 x=0) 增减性 在对称轴的左侧，即 x ﹤ 0时， y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即 x ﹥ 0时， y 随 x 的增大而增大 在对称轴的左侧，即 x ﹤ 0时， y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即 x ﹥ 0时， y 随 x 的增大而减小 最值 当 x=0 时， y 最小值=0 当 x=0 时， y 最大值=0 知2－讲 感悟新知 要点解读 1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看， “上坡路”就是y随x的增大而增大， “下坡路”就是y随x的增大而减小. 2. 在二次函数 y=ax2( a ≠ 0) 中， a的正负决定抛物线的开口方向，|a| 决定开口的大小 .|a| 越 大， 抛物线开口越小；|a| 越小，抛物线开口越大 . 3. 二 次 函 数 y=－ax2(a ≠ 0)的图象与 y=ax2( a ≠ 0)的图象关于 x 轴对称 . 感悟新知 知2－练 [母题 教材 P10 练习 T2 ]如图 21.2-2，四个二次函数的图象分别对应： ① y=ax2； ② y=bx2； ③ y=cx2； ④ y=dx2.①与③，②与④分别关于x轴对称. 例2 知2－练 感悟新知 解题秘方：紧扣 y=ax2 中“a 的符号”及“|a| 的大小”采用数形结合思想进行解答 . 知2－练 感悟新知 (1)比较 a， b， c， d 的大小； 解：由抛物线的开口方向知 a > 0， b > 0， c < 0， d < 0. 由抛物线的开口大小知 |a| > |b|，|c| > |d|，∴ a > b， c < d. ∴ a > b > d > c. 知2－练 感悟新知 (2)说明 a 与 c， b 与 d 的数量关系 . 解： ∵①与③，②与④分别关于 x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反 . ∴ a+c=0， b+d=0. 知2－练 感悟新知 2-1. [ 月考·合肥四十六中 ] 如图，在平面直角坐标系中，平行于 x轴的直线 y=2 与二次函数 y=x2， y=0.5x2的图象分别交于 A， B 和C， D， 若CD=aAB，则 a 的值为(     ) A.4 B.2 C. 3 D. 2 D 知2－练 感悟新知 已知函数 y=( m+2) xm ² +m － 4 是关于 x 的二次函数 . (1) 求满足条件的 m 的值； (2)当 m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？ (3)当 m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？ 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：按对称轴的左、右两侧，分 x>0 和 x<0 两种情况讨论二次函数的增减性 . 知2－练 感悟新知 解：由题意得 解得 m=2 或 m=－3. ∴满足条件的 m 的值为 2 或 －3. 已知函数 y=( m+2) xm ² +m － 4 是关于 x 的二次函数 . (1) 求满足条件的 m 的值； 知2－练 感悟新知 (2)当 m 为何值时，其图象有最低点？求出这个最低点的坐标，这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？ 解：若图象有最低点，则图象的开口向上， ∴ m+2>0，即 m> － 2. ∴ m=2. ∵这个最低点为图象的顶点， ∴最低点的坐标为(0，0). 当 x>0 时， y 随 x 的增大而增大 . 知2－练 感悟新知 (3)当 m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？ 解：若函数有最大值，则图象的开口向下， ∴ m+2<0，即 m< － 2. ∴ m= － 3. ∵函数的最大值为图象顶点的纵坐标， 顶点坐标为(0，0)， ∴当 m= － 3 时，函数有最大值 0. 当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小 . 知2－练 感悟新知 3-1. [ 月考·淮南 ] 已知二次函数 y ＝(2 － a) xa ² － 3， 在其图象对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小，则 a 的值为(     ) A． B． ± C． － D． 0 C 知2－练 感悟新知 3-2. [ 月考·合肥瑶海区 ] 二次函数 y=ax2 的图象经过 点( 2， － 2) . (1)求这个二次函数的关系式； 知2－练 感悟新知 (2) 当 x 为何值时，y 的值随着 x 的增大而增大？ 二次函数 y=ax2 的图象和性质 y随x的增减性 最大(小)值 y=ax2 开口方向 最高(低)点 图象 性质 课堂小结 解：把(2，－2)代入y＝ax2，得4a＝－2， ∴a＝－. ∴这个二次函数的关系式为y＝－x2. 解：∵y＝－x2， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴． ∴当x<0时，y的值随着x的增大而增大． $$