21.4 二次函数的应用（课件）2024—2025学年沪科版数学九年级上册

21.4 二次函数的应用 第二十一章 二次函数与反比例函数 知识点 用二次函数解决实际问题 知1－讲 1 1. 常用方法 利用二次函数解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的等量关系，求出函数表达式，然后利用函数的图象和性质解决问题. 知1－讲 2. 一般步骤 (1)审：仔细审题，理清题意； (2)设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 知1－讲 (3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，根据题中的数量关系列出二次函数的表达式； (4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题； (5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论. 知1－讲 要点解读 1. 用二次函数解决实际问题时，审题是关键. 检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义. 2. 在实际问题中求最值时， 解题思路是列二次函数表达式， 用配方法把函数表达式化为y＝a(x＋h)2＋k的形式求函数的最值，或者针对函数表达式用顶点坐标公式求函数的最值. 知1－练 感悟新知 张大爷用32m 长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙( 墙长为 15 m)， 平行于墙的一边开一扇宽度为 2 m的门( 如图 21.4-1 ①)．( 注： 门都用其他材料) 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：根据矩形的面积公式，可得 S1 与 x， S2 与 x 之间的函数表达式，根据二次函数的性质，可得函数的最大值． 知1－练 感悟新知 (1)设平行于墙的一边长度为 y m， 垂直于墙的边的长度为 x m，试写出 y 与 x 之间的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围 . 解： 由题意得 y=34－2x(9.5 ≤ x<16)． 知1－练 感悟新知 (2) 设矩形菜园的面积为 S1m2， 则 S1 的最大值为多少？ 解：由题意得 S1= － 2x2+34x= － 2( x － 8.5) 2 ＋ 144.5(9.5 ≤ x<16)， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线 x=8.5. ∴当 x=9.5 时， S1 的值最大，最大值为 142.5． 知1－练 感悟新知 (3) 张大爷在菜园内开辟出一个小区域存放化肥(如图 21.4-1 ②)， 两个区域用篱笆隔开， 并用一扇宽度为 2 m 的门相连， 设此时整个菜园的面积为S2m2 (包括化肥存放处)， 则S2的最大值为多少？ 知1－练 感悟新知 解：由题意得 S2=－3x2+36x=－3( x－6) 2+108(7 ≤ x<12)， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线 x=6. ∴ 当 x=7 时， S2 的值最大，最大值为 105. 知1－练 感悟新知 1-1. [ 模拟·合肥 ] 春回大地，万物复苏，又是一年花季到． 某花圃基地计划将如图所示的一块长为40 m， 宽为20 m 的矩形空地划分成五块小矩形空地．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植 A， B， C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m． A， B， C 三种花卉每平方米的产值 分别为 2 百元、 3 百元、 4 百元． 知1－练 感悟新知 (1)设育苗区的边长为x m，用含 x 的代数式表示下列各量：花卉 A 的种植面积是________________ m2，花 卉 B 的种植面积是 ____________m2，花卉 C 的种植面积是 _____________m2 . (x2－60x＋800) (－x2＋30x) (－x2＋20x) 知1－练 感悟新知 (2)当育苗区的边长为多少时， A， B 两种花卉的总产值相等？ 解：∵A，B两种花卉每平方米的产值分别为2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为2×(x2－60x＋800)百元和3×(－x2＋30x)百元． ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴2×(x2－60x＋800)＝3×(－x2＋30x)． 整理得x2－42x＋320＝0， 解得x＝32(不符合题意，舍去)或x＝10. ∴当育苗区的边长为10 m时，A，B两种花卉的总产值相等． 知1－练 感悟新知 (3)若花卉 A 与 B 的种植面积之和不超过560 m2， 求 A， B， C三种花卉的总产值之和最大为多少 . 解：花卉A与B的种植面积之和为x2－60x＋800＋(－x2＋30x)＝(－30x＋800)m2，由题意得－30x＋800≤560，∴x≥8. 设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元， 则y＝2(x2－60x＋800)＋3(－x2＋30x)＋4(－x2＋20x)， 整理得y＝－5(x－5)2＋1 725， ∴当x≥5时，y随x的增加而减小． ∴当x＝5时，y最大，且y最大＝－5(8－5)2＋1 725＝1 680. 答：A，B，C三种花卉的总产值之和最大为1 680百元． 感悟新知 知1－练 某游乐场的圆形喷水池中心 O 处有一雕塑OA， 从 A 点向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线， 且形状相同． 如图 21.4-2， 以水平方向为 x 轴， 点 O 为原点建立直角坐标系， 点 A在 y 轴上， x 轴上的点 C， D 为水柱的落水点， 水柱所在抛物线( 第一象限部分) 的函数表达式为 y=－ (x－5) 2+6． 例2 知1－练 感悟新知 (1)求雕塑 OA 的高度； 解： 当 x=0 时， y= － ×(0 － 5) 2+6= ， ∴点 A 的坐标为(0， ) . ∴雕塑 OA 的高度为 m． 解题秘方：找出实际问题中的量与数学问题中的量之间的联系； 知1－练 感悟新知 (2)求落水点 C， D 之间的距离； 解题秘方：利用二次函数的表达式，求出抛物线上未知点的坐标 . 知1－练 感悟新知 解：当 y=0 时， － ( x － 5) 2+6=0，解得 x1= － 1(舍去)， x2=11，∴点 D 的坐标为(11，0)，∴ OD=11 m． ∵从 A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，∴ OC=OD=11 m. ∴ CD=OC+OD=22 m． ∴落水点 C， D 之间的距离为 22 m. 知1－练 感悟新知 (3) 若需要在 OD 上的点 E 处竖立雕塑 EF， OE=10 m，EF=1.8 m， EF ⊥ OD． 问： 顶部 F 是否会碰到水柱？ 请通过计算说明 . 解：当 x=10 时， y= － ×(10 － 5) 2+6= ， ∴点(10， )在抛物线 y= － ( x － 5) 2+6 上． 又∵ ≈ 1.83>1.8，∴顶部 F 不会碰到水柱． 知1－练 感悟新知 2-1. 2023 年 5 月 28 日，C919 商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步． 12 时 31 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪) . 如图①，在一次“水门礼” 的预演中，两辆消防车面 向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似 看作形状相同的抛物线的一部分 . 知1－练 感悟新知 如图②，当两辆消防车喷水口 A， B 的水平距离为 80 m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 20 m， 喷水口 A， B 距地面均为4 m. 若两辆消防车同时后退 10 m，两条水柱的形状及喷水口 A′， B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 H′距地面 _________m． 19 知1－练 感悟新知 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图 21.4-3， 在平面直角 坐标系中， 点 A， C 在 x 轴 上， 球网 AB 与 y 轴 的 水 例3 知1－练 感悟新知 平距离 OA=3 m， CA=2 m， 击球点 P 在 y 轴上． 若选择扣球， 羽毛球的飞行高度 y( m) 与水平距离 x( m)近似满足一次函数关系 y=－0.4x+2.8； 若选择吊球， 羽毛球的飞行高度 y(m) 与水平距离 x( m) 近似满足二次函数关系y=a( x－1) 2+3.2． 知1－练 感悟新知 (1) 求点 P 的坐标和 a 的值； 解： 在一次函数 y=－0.4x+2.8 中， 令 x=0，得 y=2.8，∴ P(0， 2.8)． 将点 P(0， 2.8)的坐标代入 y=a( x－1) 2+3.2 中，得 a+3.2=2.8，解得 a=－0.4． 解题秘方：利用待定系数法可求得 a 的值； 知1－练 感悟新知 (2)小林分析发现， 上面两种击球方式均能使球过网． 要使球的落地点到 C点的距离更近， 请通过计算判断应选择哪种击球方式 . 解题秘方：分别令 －0.4x+2.8=0， －0.4(x－1)2+3.2=0，即可求得落地点到 O 点的距离，再判断哪种击球方式使落地点到 C 点的距离更近． 知1－练 感悟新知 解： ∵ OA=3 m， CA=2 m，∴ OC=5 m． 若选择扣球，则令 － 0.4x+2.8=0，解得 x=7， 即落地点到 O 点的距离为 7 m， ∴落地点到 C 点的距离为 7 － 5=2(m)； 若选择吊球，则令 － 0.4(x － 1) 2+3.2=0， 解得 x=±2 +1(负值舍去)， 即落地点到 O 点的距离为(2 +1) m， ∴落地点到 C 点的距离为 5 －(2 +1) =(4 － 2 ) m． ∵ 4 － 2 <2，∴选择吊球，球的落地点到 C 点的距离更近． 知1－练 感悟新知 3-1. [ 中考· 温州] 一次足球训练中，小明从球门正前方 8 m 的 A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线 . 当球飞行的水平距离为 6 m 时，球达到最高点，此时球离地面 3 m．已知球门高 OB 为 2.44 m，现以O 为原点建立如图所示的直角坐标系． 知1－练 感悟新知 (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素) ； 知1－练 感悟新知 (2)对本次训练进行分 析， 若射门路线的形状、 最大高度均保持不变， 则当时他应该 带球向正后方移动多少米射门， 才能让足球经过点 O 正上方2.25 m 处？ 知1－练 感悟新知 感悟新知 知1－练 [母题 教材 P39 例 4 ]甲车在弯路上做刹车试验 , 收集到的数据如下表所示： 例4 速度 x/( km/h) 0 5 10 15 20 25 … 刹车距离 y/m 0 0.75 2 3.75 6 8.75 … 知1－练 感悟新知 (1) 请将上表中的各对数据(x， y)作为点的坐标 ，在图21.4-4中画出甲车刹车距离 y( m)与速度 x( km/h)之间的函数图象，并求出函数的表达式 . 知1－练 感悟新知 解： y 与 x 的函数图象如图 21.4-5 所示 . 观察图象可知， y 与 x 满足二次函数关系 . 设函数的表达式为 y=ax2+bx+c( x ≥ 0) . ∵函数图象经过点(0,0)，(10,2)，(20,6)， ∴解得 ∴ 函数的表达式为 y= x2+ x( x ≥ 0) . 经检验，表中其他各对数据也符合此表达式 . 知1－练 感悟新知 (2)在一个限速为 40 km/h 的弯路上 ，甲、乙两车相向而行，同时刹车，刚好相撞 . 事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为 12 m 和10.5 m，又知乙车在弯路上的刹车距离 y( m)与速度 x( km/h)满足函数 y= x，请你从两车的速度方面分析相撞的原因 . 知1－练 感悟新知 解：∵ y 甲 =12，∴ x2+ x =12， 解得 x1=30， x2= － 40(不符合题意 , 舍去) . ∵ y 乙 =10.5， ∴ x=10.5，解得 x=42. ∵乙车速度为 42 km/h, 大于 40 km/h， ∴ 乙车超速，导致两车相撞 . 知1－练 感悟新知 4-1.某市在盐碱地种植海水稻方面获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据海水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示近 5 年①号田和②号田年产量情况的点(横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如图. 知1－练 感悟新知 小亮认为，可以从 y=kx + b ( k > 0) ， y = － 0.1x2+ax+c 中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势． (1)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式； 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 (2)根据(1)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田的总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 解：设总年产量为w吨， 依题意得w＝－0.1x2＋x＋1＋0.5x＋1＝ －0.1x2＋1.5x＋2＝－0.1(x－7.5)2＋7.625. ∵－0.1<0，∴易知在第7年度或第8年度总年产量最大，最大是7.6吨． 二次函数的应用 建立二次函数模型 实物外观 似二次函 数图象 运动路线 似二次函 数图象 两个变量之间 的关系是二次 函数关系 课堂小结 解：由题意得抛物线的顶点坐标为(2，3)， 设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋3， 把点A(8，0)的坐标代入，得36a＋3＝0，解得a＝－， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝>2.44，∴球不能射进球门． 解：设小明带球向正后方移动m m，则移动后的抛物线表达式为y＝－(x－2－m)2＋3， 把点(0，2.25)的坐标代入，得2.25＝－(0－2－m)2＋3， 解得m1＝－5(舍去)，m2＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处． 解：根据描出的点的分布可知①号田符合 y＝kx＋b(k>0)， 将点(1，1.5)，(2，2.0)的坐标代入，得 解得 ∴①号田y关于x的函数表达式为y＝0.5x＋1(k>0)． 经检验，其他各点都符合此表达式； 根据描出的点的分布可知②号田符合 y＝－0.1x2＋ax＋c， 将点(1，1.9)，(2，2.6)的坐标代入，得解得 ∴②号田y关于x的函数表达式为y＝－0.1x2＋x＋1. 经检验，其他各点都符合此表达式． $$