21.3 二次函数与一元二次方程（课件）2024—2025学年沪科版数学九年级上册

21.3 二次函数与一元二次方程 第二十一章 二次函数与反比例函数 知识点 二次函数与一元二次方程之间的关系 知1－讲 1 1. 二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，交点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. 知1－讲 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 与二次函数y＝ax2＋bx＋c之间的内在联系与区别，列表如下： b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 有两个不等的实数根 x＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实根 知1－讲 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的 图象 a>0 a<0 抛物线与 x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 知1－讲 拓宽视野 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，求当y＝m时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝m，求自变量x的值. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝m的公共点的横坐标. . . . 知1－练 已知抛物线 y=x2+2x+m． (1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标； (2)判断该抛物线与 x 轴交点的个数，并说明理由 . 解题秘方：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 例1 知1－练 (1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标； 解：当 m=－3 时，抛物线为 y=x2+2x－3. 令 y=0，则 x2+2x－3=0，解得 x1=－3， x2=1， ∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为( －3，0)和(1，0) . 知1－练 (2)判断该抛物线与 x 轴交点的个数，并说明理由 . 解：令 y=0，则 x2+2x+m=0，Δ =22－4m=4－4m. 当 Δ >0 时，即 4－4m>0，解得 m<1； 当 Δ =0 时，即 4－4m=0，解得 m=1； 当 Δ <0 时，即 4－4m<0，解得 m>1. 综上所述，当 m<1 时，抛物线与 x 轴有两个交点； 当 m=1 时，抛物线与 x 轴有一个交点； 当 m>1 时，抛物线与 x 轴没有交点 . 知1－练 感悟新知 1-1.抛物线 y=x2+2x+m－1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值范围是(     ) A.m<2 B.m>2 C.0<m ≤ 2 D.m<－2 A 知1－练 感悟新知 1-2. [ 中考·成都 ] 在平面直角坐标系xOy 中， 若抛物线y=x2+2x+k 与 x 轴只有一个交点， 则k=_______ ． 1 感悟新知 知2－讲 知识点 二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系 2 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解 . 感悟新知 知2－讲 1. 利用二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点求一元 二次方程ax2+bx+c=0 的解 (1)作出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与 x轴公共点的个数，也就是方程 ax2+bx+c=0 的解的个数； . . . . . . . . . . 感悟新知 知2－讲 (2)观察图象，函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与 x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解； (3)交点横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 . . . . . . 知2－讲 感悟新知 方法提醒 估计一元二次方程的解的方法： 对于 y=ax2+bx+c， 如果ax12+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0， 那么在 x1与 x2 之间存在一个解，取 x3= ，若 ax32+bx3+c>0，则取x4= ；若 ax32+bx3+c<0，则取 x4= . 这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止 . 感悟新知 知2－讲 2. 利用二次函数 y=ax2 的图象与直线 y= － bx － c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的解 (1)将方程 ax2+bx+c=0 化为 ax2= － bx － c 的形式； (2) 在平面直角坐标系中画出抛物线 y=ax2 和 直线 y= － bx － c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； (3)公共点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 . 知2－练 [母题 教材 P34 习题 T4 ]利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1). 解题秘方：画出二次函数y＝－x2＋2x＋5 的图象，利用二次函数的图象与 x 轴的公共点计算一元二次方程的近似解 . 例2 知2－练 解：整理方程，得－x2＋2x＋5＝0. 作函数y＝－x2＋2x＋5 的图象如图21.3-1 所示. 知2－练 由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2和－1，3和4之间， 即方程－x2+2x－3＝－8的两个实数解分别在－2 和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解. 由图象可知，当x＝3 时，y>0；当x＝4 时，y<0. 取3和4的平均数3.5，当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个解在3 和3.5 之间. 知2－练 取3和3.5的平均数3.25，当x＝3.25时，y＝0.937 5，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和3.5之间. 取3.25和3.5的平均数3.375， 当x＝3.375 时，y＝ 0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375和3.5之间. 知2－练 由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4. 所以方程－x2＋2x－3＝－8 的近似解为x1≈－1.4，x2 ≈ 3.4. 知2－练 感悟新知 2-1. [ 月考· 合肥庐阳区 ] 已知二次函数y=x2+2x － k，小明利用计算器列出了下表： 那么方程 x2+2x － k=0的 一个近似根是 _____________. x＝－4.3 x x2 +2x－k －4.1 －1.39 －4.2 －0.76 －4.3 －0.11 －4.4 0.56 知3－讲 知识点 二次函数与一元二次不等式之间的关系 3 求不等式ax2＋bx＋c>0(a ≠ 0)的解集， 就是求x为何值时， 二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0； 求不等式ax2＋bx＋c<0(a ≠ 0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的函数值y<0. 列表如下：(以a>0 为例) 知3－讲 b2－4ac 的符号 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点 个数 知3－讲 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 两不等实数根 x1＝x2＝ 两相等实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 知3－讲 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋c ＞0(a>0) x<x1 或x>x2 x ≠ － 全体实数 ax2＋bx＋c<0(a>0) x1<x<x2 无解 无解 知3－讲 深度理解 二次函数与一元二次不等式的关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c>0 的解集，在x轴下方的部分对应的自变量取值范围就是ax2＋bx＋c<0 的解集. 当抛物线开口向上且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数，ax2＋bx＋c<0 无解； 当抛物线开口向下且与x轴无交点时，ax2＋bx＋c>0无解，ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数. 知3－练 [母题 教材 P35 习题 T9 ]二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图21.3-2 所示，则关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集是( ) A.x< － 1 B.x>3 C. － 1<x<3 D.x< － 1 或 x>3 例3 知3－练 解题秘方：根据二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标求解即可． 解：∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于点(－ 1， 0) ， (3， 0)， 且图象开口向上， ∴关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 x< － 1 或 x>3． 答案： D 知3－练 感悟新知 3-1.如图， 在平面直角坐标系中，直线 y=mx+n 与 坐标轴交于A， B 两 点， 点 A 在 x轴上，点 B 在 y 轴上，OA=OB=2OC， 抛 物线 y=ax2+bx+2 经过点A， B， C. (1)求抛物线的表达式； 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 (2)根据图象写出不等 式 ax2+( b－m) x+2<n 的解集 . 解：根据图象可得不等式ax2＋(b－m)x＋2＜n的解集为x＜－2或x＞0. 二次函数与一元二次方程 二次函数与 一元二次方程 之间的关系 有两个交点 有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实 数根 二次函数图象与x轴的交点个数 一元二次方程根的情况 课堂小结 解：当x＝0时，y＝ax2＋bx＋2＝2，∴B(0，2)． ∵OA＝OB＝2OC，∴易知A(－2，0)，C(1，0)． 把A(－2，0)，C(1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2. $$