21.2.3 二次函数表达式的确定（课件）2024—2025学年沪科版数学九年级上册

21.2 二次函数的图象和性质 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.2.3 二次函数表达式的确定 知1－讲 感悟新知 知识点 用待定系数法求二次函数的表达式 1 方法名称 函数表达式 适用情形 一般步骤 待定系数法 一般式： y=ax2+bx+c ( a ≠ 0) 已知二次函数图象上任意三个点的坐标或x， y 的三组对应值 见下表 感悟新知 知1－讲 方法名称 函数表达式 适用情形 一般步骤 待定 系数法 顶点式： y=a(x+h) 2+k (a ≠ 0) 已知抛物线的顶点坐标或对称轴和最值 交点式： y=a(x－x1)· (x－x2)( a ≠ 0）. 其中 x1，x2 是抛物线与 x轴交点的横坐标 已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点的坐标 知1－讲 技巧提醒 特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧： 1. 顶点在原点， 可设为y＝ax2； 2. 对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k； 3. 顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； 4. 抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx. 知1－练 感悟新知 如图 21.2-15，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(－1， 0)， B( 0， －3)， C( 3， 0)三点 . (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若该抛物线的顶点为 D，求 OD 的长 . 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣利用待定系数法求二次函数表达式的步骤，设出一般式解决问题 . 知1－练 感悟新知 解：将 A， B， C 三点的坐标分别代入 y=ax2+bx+c 中，得解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为 y=x2－2x－3. (1)求该抛物线对应的函数表达式； 知1－练 感悟新知 解：∵ y=x2 － 2x － 3=( x － 1) 2 － 4 ， ∴抛物线的顶点坐标为(1， － 4). 如图 21.2-15，过点 D 作 DH ⊥ y 轴于点 H. 在 Rt △ ODH 中，易得 DH=1， OH=4， 由勾股定理得 OD= = . (2)若该抛物线的顶点为 D，求 OD 的长 . 知1－练 感悟新知 1-1.已知二次函数y=ax2+bx+c 中的 x 和y 满足下表： (1)求 m 的值； 解：由表格知该抛物线的对称轴为直线x＝2，则点(4，m)与点(0，3)关于直线x＝2对称，∴m＝3. x … 0 1 2 y … 3 0 －1 x 3 4 5 … y 0 m 8 … 知1－练 感悟新知 (2) 求这个二次函数的表达式 . 感悟新知 知1－练 已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－2，3)，且图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上距原点 4 个单位处，求这个二次函数的表达式 . 例2 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣已知的顶点坐标，设出顶点式，进而求出二次函数的表达式 . 解：根据题意可设二次函数的表达式为 y=a( x+2) 2+3. 易知函数图象经过点(0，4)， 将其代入 y=a(x+2)2+3 中，得 4=4a+3， 解得 a= ， 故这个二次函数的表达式为 y= (x+2)2+3= x2+x+4. 知1－练 感悟新知 2-1. [ 月考· 合肥第四十八中学 ] 已知某抛物线过点 A (2， 0)，对称轴为直线 x=4，顶点在直线 y=x － 1 上，求此抛物线的表达式． 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 已知抛物线与 x 轴的交点是 A(－ 2，0)， B(1，0)， 且抛物线经过点 C(2，8)，求该抛物线对应的函数表达式 . 例3 解题秘方：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式 . 知1－练 感悟新知 解：∵抛物线与 x 轴的交点是 A(－2，0)， B(1，0)， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a( x+2)( x－1). 又∵抛物线经过点 C(2，8)， ∴把点 C(2，8)的坐标代入 y=a( x+2)( x－1)中， 得 8=a(2+2)(2－1)，解得 a=2. 故该抛物线对应的函数表达式为 y=2( x+2)( x－1) =2x2+2x－4. 知1－练 感悟新知 3-1. [ 月考· 芜湖无为市 ] 抛物线经过点 A( 2， 0)， B(－1， 0)且与 y 轴交于点 C．若OC=2，则该抛物线的表达式为(     ) A. y=x2－x－2 B . y=－x2－x－2 或 y=x2+x+2 C. y=－x2+x+2 D.y=x2－x－2 或 y=－x2+x+2 D 二次函数表达式的确定 关键 已知条件的 呈现方式 交点式 二次函数 的表达式 一般式 顶点式 课堂小结 解：把表中对应值(0，3)，(1，0), (2，－1)分别代入y＝ax2＋bx＋c中， 得解得 ∴这个二次函数的表达式是y＝x2－4x ＋3. 解：∵对称轴为直线x＝4，顶点在直线y＝x－1上， ∴顶点坐标为(4，3)． ∴设此抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋3， 把点A(2，0)的坐标代入，得a(2－4)2＋3＝0， 解得a＝－，∴此抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋3. $$