21.2.2 二次函数 y=ax 2 +bx+c的图象和性质（课件）2024—2025学年沪科版数学九年级上册

21.2 二次函数的图象和性质 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.2.2二次函数 y=ax 2 +bx+c的图象和性质 知识点 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 知1－讲 1 1. 二次函数y＝ax2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是上、下位置不同，二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象上下平移|k|个单位得到. 知1－讲 要点提醒 a决定抛物线的开口方向和开口大小，所以y＝ax2 (a ≠ 0)与y＝ax2+k(a ≠ 0)的图象开口方向和开口大小相同，只是位置不同. 知1－讲 2. 二次函数y＝ax2＋k的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y＝ax2图象的描点法，即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y＝ax2的图象向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得二次函数y＝ax2＋k的图象. 知1－讲 3. 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质 a的符号 a＞0 a＜0 k的符号 k＞0 k＜0 k＞0 k＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0) 知1－讲 续表 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，y取得最小值， 最小值为k 当x＝0时，y取得最大值，最大值为k 知1－讲 平移规律口诀 上加下减，纵变横不变. “上加下减”表示抛物线上下平移的规律. “纵变横不变”表示坐标的平移规律，即抛物线上下平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变. 知1－练 例 1 [母题 教材 P13 练习 T2]画出函数y＝－x2＋1 与 y＝－x2－1 的图象，并根据图象回答下列问题： 解题秘方：紧扣抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2 间的关系及图象的平移规律解答. 知1－练 解：列表如下： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝－x2＋1 … －8 －3 0 1 0 －3 －8 … y＝－x2－1 … －10 －5 －2 －1 －2 －5 －10 … 知1－练 描点、连线，即可得这两个函数的图象，如图21.2-8 所示. 知1－练 (1)抛物线y＝－x2＋1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y＝－x2－1 ？ 解：由图象可以看出，抛物线y＝－x2＋1 向下平移2个单位得到抛物线y＝－x2－1. 知1－练 (2)对于函数y＝－x2＋1， 其图象与x轴的交点坐标是________________；对称轴是__________；顶点坐标是__________. (－1，0)，(1，0) y轴 (0，1) 知1－练 感悟新知 1-1. [ 月考· 安庆迎江区 ] 二次函数 y=－x2－1的图象是一条抛物线， 下列关于该抛物线的说法正确的是(     ) A. 开口向上 B. 当 x=0 时，函数的最大值是 －1 C. 对称轴是直线 x=1 D. 抛物线与x轴有两个交点 B 知1－练 感悟新知 1-2. [ 中考·荆门 ] 抛物线 y ＝ x2+3 上有两点 A( x1， y1)， B( x2，y2)，若 y1 ＜ y2，则下列结论正确的是(     ) A． 0 ≤ x1 ＜ x2 B． x2 ＜ x1 ≤ 0 C． x2 ＜ x1 ≤ 0 或0 ≤ x1 ＜ x2 D． 以上都不对 D 知2－讲 知识点 二次函数y＝a(x+h)2的图象和性质 2 1. 二次函数y＝a(x＋h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系 它们的形状(开口大小、方向)相同，只是左、右位置不同，二次函数y＝a(x＋h)2的图象可由二次函数y＝ax2的图象左右平移|h| 个单位得到. 知2－讲 2. 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质 a的符号 a＞0 a＜0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－h 知2－讲 续表 顶点坐标 (－h，0) 增减性 当x<－h时，y随x的增大而减小；当x>－h时，y随x 的增大而增大 当x<－h时，y随x的增大而增大；当x>－h时，y随x 的增大而减小 最值 当x＝－h时， y最小值＝0 当x＝－h时， y最大值＝0 知2－讲 平移规律口诀 左加右减，横变纵不变： 1. “左加”表示当h>0时， 抛物线y＝ax2沿x轴向左平移 h 个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2； 2. “右减”表示当h<0时，抛物线y＝ax2沿x轴向右平移 |h| 个单位得到抛物线y＝a(x＋h)2； 3. “横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线左右平移时对应点的横坐标改变而纵坐标不变. 知2－练 [母题 教材 P16 练习 T2 ]抛物线 y=3(x－4) 2 是由抛物线y=3x2 经过怎样的平移得到的？求： (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2) y 随 x 的变化情况； (3)函数的最大值或最小值． 例 2 知2－练 解题秘方：紧扣二次函数图象的平移规律和二次函数 y=a(x+h) 2 的图象与性质解题． 知2－练 解： 抛物线 y=3(x－4) 2是由抛物线 y ＝ 3x2 向右平移 4 个单位得到的． 抛物线 y=3(x－4) 2开口向上，顶点坐标是(4，0)，对称轴是直线 x ＝ 4. (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； 知2－练 (2) y 随 x 的变化情况； (3)函数的最大值或最小值． 解： 当 x<4 时， y 随 x 的增大而减小； 当 x>4 时， y 随 x 的增大而增大． 当 x ＝ 4 时， y 有最小值 0，无最大值． 知2－练 感悟新知 2-1.对于 y=2(x－3) 2的图象，下列叙述不正确的是(     ) A. 顶点坐标为(－3， 0) B. 对称轴为直线 x=3 C. 当 x>3 时， y 随 x 的增大而增大 D. 当 x=3 时， y 有最小值 0 A 知3－讲 知识点 二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 3 1. 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的关系　　 y＝a(x＋h)2＋k的图象是由y＝ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位得到的. 具体平移规律如下： 知3－讲 2. 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质 a的符号 a＞0 a＜0 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线x＝－h 顶点坐标 (－h，k) 知3－讲 续表 函数的增减性 当x>－h时，y随x的增大而增大；当x<－h时，y随x的增大而减小 当x>－h时，y随x的增大而减小；当x<－h时，y随x的增大而增大 最值 当x＝－h时， y最小值＝k 当x＝－h时， y最大值＝k 知3－讲 解题策略 掌握二次函数顶点式y＝a(x＋h)2＋k的图象特点与性质是解题的关键，即在y＝a(x＋h)2＋k中，a决定开口方向，对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k)． 顶点是图象的最高点或最低点，同时也是函数增减性变化的分界点．因为从 y＝a(x＋h)2＋k中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y＝a(x＋h)2＋k (a ≠ 0)叫 做二次函数的顶点式 . 知3－练 [母题 教材 P17 练习 T1 ]对于抛物线 y= － (x+1)2+3，下列结论： ① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线 x=1； ③ 顶点坐标为(－ 1， 3)；④当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小 . 其中正确结论有 __________. 例 3 解题秘方：紧扣二次函数 y=a(x+h)2+k 的图象与性质逐一判断 . ①③④ 知3－练 解：∵ a= － 1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确； 对称轴为直线 x= － 1，故②错误； 顶点坐标为( － 1，3)，故③正确； 当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小，故④正确 . 知3－练 感悟新知 3-1. [ 月考·合肥 ] 对于抛物线y= － 3( x+2)2 － 5， 下列判断正确的是(     ) A． 抛物线的开口向上 B． 抛物线的顶点坐标是( 2， － 5) C． 对称轴为直线 x=2 D． 当 x>2 时， y 随着x 的增大而减小 D 知4－讲 知识点 二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x+h)2+k之间的关系 4 1. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c与顶点式y＝a(x＋h)2＋k的互化 h＝，k＝，即y＝ax2＋bx＋c＝a2＋ . 知4－讲 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的画法 方法一：描点法. 知4－讲 方法二：平移法. (1)把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋h)2＋k的形式，其图象的顶点坐标为(－h，k)； (2)作出二次函数y＝ax2的图象； (3)将二次函数y＝ax2的图象平移，使其顶点平移到(－h，k). 知4－讲 特别解读 用配方法把二次函数 y=ax2+bx+c 化为顶点式的两点注意： (1)注意与配方法解一元二次方程的区别：前者是提取二次项系数使其系数为1；后者是方程两边同除以二次项系数. (2)注意“一加一减”：提取完二次项系数后 , 括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，然后再减去一次项系数一半的平方 . 这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数 . 知4－练 [母题 教材 P20 练习 T1 ]对于抛物线 y=x2－4x+3. (1)将抛物线的表达式化为顶点式； (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线 . 例 4 “五点”包括顶点以及 关于对称轴对称的两对点 . 知4－练 解题秘方：先用配方法将一般式转化为顶点式，再进行解答 . 知4－练 解： ∵ y=x2－4x+3=( x2－4x+4) －4+3= ( x－2) 2－1， ∴顶点式为 y=( x－2) 2－1. (1)将抛物线的表达式化为顶点式； 知4－练 解： 列表： 抛物线如图 21.2-9. (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线 . x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 知4－练 感悟新知 4-1. [ 月考·淮南 ] 将二次函数 y=x2+bx+c的图象向右平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位，所得图象的表达式为 y=x2－2x+1， 则b－c=(     ) A． －2 B． 2 C． 4 D． 6 A 知5－讲 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 5 函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠ 0) a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 知5－讲 对称轴 直线x＝－ 顶点坐标 增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小 续表 知5－讲 最值 当x＝－时， y最小值＝ 当x＝－时， y最大值＝ 续表 知5－讲 特别解读 抛物线的对称性 (1)如图，若抛物线 上 x=m 和 x=n 对应的 函数值相等，则抛物线的对称轴为直线 x= . (2)如图，若抛物线与 x 轴的交点为(x1， 0)，( x2， 0)，则抛物线的对称轴为直线 x= . 知5－练 [母题 教材 P21 练习 T3 ]已知抛物线y＝2x2－4x－6. (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 例 5 知5－练 解：开口向上，对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为(1，－8). (1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； 知5－练 (2)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； 解题秘方：类比一次函数的方法，求图象与x 轴的交点坐标，令y＝0，再解方程；求图象与y 轴的交点坐标，令x＝0，再代入求值. 本题可以不画图象，利用二次函数表达式中的系数来说明函数图象的特征. 知5－练 解：令y＝0，得2x2－4x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 令x＝0，得y＝－6， ∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，－6). 知5－练 解：当x>1时，y随x的增大而增大. (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ 知5－练 感悟新知 5-1.已知二次函数y=x2－4x+m 的最小值是－2， 则 m 的值为________ . 2 知5－练 感悟新知 5-2. (易错题)已知抛物 线 y=－x2+2kx－3 的顶点在x轴的负半轴上，则 k 的值为______ . 知6－讲 知识点 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系 6 二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线对称轴的大致位置，c的符号决定抛物线与y轴交点的大致位置. 知6－讲 字母(或式子) 符号 特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 － b＝0 对称轴为y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 具体如下表： 知6－讲 字母(或式子) 符号 特征 c c＝0 图象过原点 c>0 图象与y轴正半轴相交 c<0 图象与y轴负半轴相交 特别解读 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c： (1)当x＝1时，y＝a＋b＋c，此时，若y＝0，则a＋b＋c＝0；若y>0， 则a＋b＋c>0；若y<0， 则a＋b＋c<0. (2)当x＝－1 时，y＝a－b＋c，此时，若y＝0， 则a－b＋c＝0；若y>0， 则a－b＋c>0；若y<0， 则a－b＋c<0. 知6－讲 知6－练 [中考·青岛] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，且经过点(－3，0)，则下列结论正确的是( ) A. b>0 　 B. c<0 　 C. a＋b＋c>0 　 D. 3a＋c=0 例 6 解题秘方：根据二次函数的图象特征与字母系数之间的关系判断. 知6－练 答案：D 解：∵图象开口向下，∴ a<0， ∵对称轴为直线x＝－1 ，∴ b＝2a.∴ b<0，故A错误； ∵图象经过点(－3，0)，且对称轴为直线x＝ － 1 ， ∴图象经过点(1，0). ∴当x＝1时，a＋b＋c＝0. ∴ c＝－a－b，∴ c>0，故B，C错误； 将b＝2a代入a＋b＋c＝0，可得3a＋c＝0，故D 正确． 知6－练 感悟新知 6-1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 P(a，b)所在的象限是(     ) A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 D 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 y=a(x+h)2+k y=ax2+bx+c 图象 顶点式 y=ax2 性质 平移 y=ax2+k y=a(x+h)2 左右平移 上下平移 课堂小结 － $$