1.3 勾股定理的应用 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 知1－讲 感悟新知 知识点 确定几何体上的最短路线 1 1.确定圆柱上的最短路线，求圆柱侧面上两点之间的最短距离可转化为求一个平面图形上对应线段的长 . 在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段，应将其展开成平面图形 , 利用平面图形中的有关知识找到最短路线 . 感悟新知 知1－讲 转化方法 图示 步骤 原理 将 圆 柱 的侧 面 展 开为 一 个 长方形 将圆柱的侧面展开为一个长方形，确定相应点的位置；连接相应点，构造直角三角形；利用勾股定理求解 两点之间线段最短 感悟新知 知1－讲 知识衔接 在平面图形上寻找两点之间的最短路线的依据： (1)两点之间线段最短； (2)直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短 . 感悟新知 2.确定长方体上的最短路线 求长方体表面上相应两点之间的距离，可将长方体相邻两个面展开， 展开方式有三种 . 知1－讲 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1.圆柱的展开图，主要是指侧面展开图，其侧面展开图是一个长方形，展开时应从路线的出发点沿母线剪开. 2.正方体的展开图从哪个面上展开都一样. 3.长方体的展开图，一定要注意展开的是哪一个侧面，展开方式不同会出现长度不同的路线，应通过计算，从几条路线中选一条最短的 . 三种展开方式中，沿最长的棱展开得到的路线，距离是最短的 . 感悟新知 知1－讲 转化方法 图示 步骤 原理 将长方体相邻两个面展开 , 转化成一个长方形 将长方体的表面展开成平面图形 , 展开时一般要考虑各种可能的情况，在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，比较后确定最短路线 两点之间线段最短 知1－练 感悟新知 [母题 教材P15习题T4] 如图 1-3-1，长方体的高为 3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从 A 处出发，沿长方体表面到达 C 处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( ) A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 例1 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 答案：B 解：考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情况， 分类讨论求解. 连接AC. 如图1-3-2①， AC2＝(2＋2)2＋32＝25 ＝52 ； 如图1-3-2 ②，AC2＝22＋(3＋2)2＝29. 因为29>25，所以蚂蚁爬行的最短路线的长为5 cm. 感悟新知 知1－练 感悟新知 方法点拨：求长方体 ( 或正方体 ) 上两点间的最短路线的长的方法 : 先将长方体 (或正方体)的表面展开成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况 . 在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线 . 知1－练 感悟新知 1-1.如图，棱柱的底面是边长为 8 的正方形，侧面 都是长为16 的长方形，点 D 是 BC 的中点，在棱柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点 D 处的食物，需要爬行的最短路程是 d，则 d2 的值为(     ) A.784 B.464 C.400 D.336 C 感悟新知 知1－练 [母题 教材P13图1-12]葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图 1-3-3，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是 24 cm, 当一段葛藤绕树干盘旋 1 圈升高 18 cm 时，这段葛藤的长是 _______cm. 例2 30 知1－练 感悟新知 解题秘方：化曲为直将葛藤绕树干盘旋 1 圈的长度转化为平面上 A， B 两点之间的距离 . 知1－练 感悟新知 解：如图 1-3-4，将圆柱侧面展开，并连接 AB. 由题意可得， 展开图中 AC=24 cm，BC=18 cm, 则在 Rt △ ABC 中， AB 2=AC 2+BC 2=24 2+18 2=30 2， 所以 AB=30 cm. 所以这段葛藤的长是 30 cm. 知1－练 感悟新知 方法点拨：确定圆柱上的最短路线的方法 : 确定圆柱上的最短路线时，我们往往无法直接求解，这时就需要利用转化思想把曲面转化为平面，把曲线转化成直线，再通过构造直角三角形，利用勾股定理求出未知线段长 . 知1－练 感悟新知 2-1.如图，圆柱底面半径为 cm，高为18 cm，点 A， B 分别是圆 柱两底面圆周上的点，且点B 在点 A 的正下方，用一根棉线从 A 点顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B 点，则这根棉线的长度最短为(     ) A.21 cm  B.24 cm C.30 cm D.32 cm C 感悟新知 知2－讲 知识点 勾股定理的实际应用 2 步骤 图例 求高度、长度、距离、宽度等 要先结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看成直角三角形的一条边，最后利用勾股定理求解   判断一个角是否为直角 分别求出这个角所在三角形三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理进行判断 知2－讲 感悟新知 特别提醒 将实际问题转化成数学问题，再转化到直角三角形中，利用勾股定理解决问题 . 知2－练 感悟新知 [母题 教材P14随堂练习]某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航” 号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：根据各线段的长，利用勾股定理的逆定理以及方位角得出答案 . 知2－练 感悟新知 解：设“远航”号轮船为 Q，“海天”号轮船为 R，根据题意可画出如图 1-3-5 的示意图，由题意可得R P=18 海里， PQ =24 海里， QR=30 海里 . 因为 18 2+24 2=30 2，所以△ R PQ 是直角三角形， 且∠ R PQ =90° . 因为“远航”号沿东北方向航行， 所以“海天”号沿西北方向航行 . 知2－练 感悟新知 3-1.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队” 的 队员们到操场上测量旗杆 AB 的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 2 m； ② 将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离 CD 为 1 m，到旗杆的距离 CE 为 9 m(如图) . 根据以上信息，求旗杆AB 的高度 . 知2－练 感悟新知 解：设AB＝x m，则易得AE＝(x－1)m， AC＝(x＋2)m. 在Rt△ACE中，根据勾股定理， 得AC2＝AE2＋CE2， 所以(x＋2)2＝(x－1)2＋92，解得x＝13. 故旗杆AB的高度为13 m. 勾股定理的应用 勾股定理的应用 建模 几何体上的最短路线 实际问题 化曲为平 转化 课堂小结 $$