专题07 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（7大题型）-2024-2025学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题07 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 【题型一 二次函数y=a（x-h）²+k的顶点坐标】 1 【题型二 二次函数y=a（x-h）²+k的增减性】 1 【题型三 二次函数y=a（x-h）²+k的性质综合判断】 2 【题型四 二次函数y=a（x-h）²+k的对称变换】 3 【题型五 根据二次函数y=a（x-h）²+k的增减性求参数】 3 【题型六 画二次函数y=a（x-h）²+k的图像】 3 【题型七 求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式】 5 【题型一 二次函数y=a（x-h）²+k的顶点坐标】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【题型二 二次函数y=a（x-h）²+k的增减性】 例题：（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）已知点， ， 都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空） 【题型三 二次函数y=a（x-h）²+k的性质综合判断】 例题：（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【变式训练】 1．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 2．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【题型四 二次函数y=a（x-h）²+k的对称变换】 例题：（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【题型五 根据二次函数y=a（x-h）²+k的增减性求参数】 例题：（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，都在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 【题型六 画二次函数y=a（x-h）²+k的图像】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ②抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ③抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【题型七 求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式】 例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在这个二次函数的图象上吗？ 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 2．（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值及顶点坐标； (2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小． 一、单选题 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·山西临汾·二模）抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期末）抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 5．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 二、填空题 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数 的顶点坐标为 ． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）二次函数的最大值为 ． 8．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 9．（2024·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象上有两点，，且，则与的大小关系是 ． 10．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ． 三、解答题 11．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 12．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 14．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 15．（2022·安徽·模拟预测）已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 目录 【题型一 二次函数y=a（x-h）²+k的顶点坐标】 1 【题型二 二次函数y=a（x-h）²+k的增减性】 2 【题型三 二次函数y=a（x-h）²+k的性质综合判断】 4 【题型四 二次函数y=a（x-h）²+k的对称变换】 5 【题型五 根据二次函数y=a（x-h）²+k的增减性求参数】 7 【题型六 画二次函数y=a（x-h）²+k的图像】 8 【题型七 求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式】 13 【题型一 二次函数y=a（x-h）²+k的顶点坐标】 例题：（23-24八年级下·广西南宁·期末）二次函数图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 根据顶点式的意义直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是； 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 【题型二 二次函数y=a（x-h）²+k的增减性】 例题：（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）已知点， ， 都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点离直线的远近得到，，的大小关系，即可解题． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，，，， 且，（离对称轴越近，函数值越大）， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·重庆江津·期中）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 .（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，再根据开口方向向上，可得抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越小，反之越大， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型三 二次函数y=a（x-h）²+k的性质综合判断】 例题：（2024·宁夏银川·二模）关于抛物线，下列结论中正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．与轴交于点 C．与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像与性质即可得出答案． 【详解】解：A．对称轴为直线，原说法错误，故该选项不符合题意； B．另，，与轴交于点，原说法错误，故该选项不符合题意； C．当时，即，化为，且，方程两个不相等的实数根，∴抛物线与轴有两个交点，故该选项不符合题意； D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 【答案】D 【分析】A、将代入即可；B、函数的图象经过第一，三，四象限；C、根据值的大小即可判断图象经过的象限；D、先判断函数的对称轴和开口方向，再判断增减性．本题考查了一次函数的性质，反比例函数图象和性质，二次函数的图象与性质，属于常考题． 【详解】解：A、将代入，得，左右两边相等，不符合题意； B、函数的图象经过第一，三，四象限，即图象不经过第二象限，不符合题意； C、函数的图象位于第一、三象限，不符合题意； D、由函数可知函数图象的开口方向向上，对称轴为，当时，随增大而增小，符合题意． 故选：D． 2．（2023·四川成都·模拟预测）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，y随x的增大而减小 B．当时，y随x的增大而减小 C．图象有最低点，其坐标是 D．图象有最高点，其坐标是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数的图象， ∵，对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，图象有最高点，其坐标是， 故选项A、C、D错误，选项B正确． 故选：B 【题型四 二次函数y=a（x-h）²+k的对称变换】 例题：（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答． 【详解】解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 即解析式为：． 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·重庆巫溪·期中）抛物线关于x轴对称后的新抛物线表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化．先求得关于轴对称的顶点坐标为，再根据开口向下，进而可求解．可求出抛物线的顶点坐标为，关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，可求出函数的顶点式，再根据对称之后的开口向下，可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为，且对称之后的抛物线开口向下， ∴所求抛物线解析式为：． 故选：D． 2．（2024·甘肃武威·二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 【题型五 根据二次函数y=a（x-h）²+k的增减性求参数】 例题：（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 【变式训练】 1．（2023·浙江温州·模拟预测）已知，都在抛物线上，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及解一元一次不等式．根据列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，则有，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【题型六 画二次函数y=a（x-h）²+k的图像】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ②抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________； ③抛物线的开口向________，对称轴是直线________，顶点坐标为________． 【答案】（1）作图见解析；（2）①上    ，②上    ，③上     【分析】（1）利用描点法作出图象即可得到答案； （2）根据二次函数图象与性质求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示：    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为； 故答案为：①上    ；②上    ；③上    ． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【答案】(1)下，直线x＝2，（2，3） (2)见解析 【分析】（1）找到对称轴两侧的关键点及顶点坐标即可； （2）由表中的点，即可画出函数图象． 【详解】（1）解：由抛物线可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，直线x＝2，（2，3）； （2）①列表： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … 故答案为：（0，﹣1），（1，2），（2，3），（3，2），（4，﹣1）； ②描点、连线： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握函数图象的画法，理解二次函数的性质． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数．    (1)该函数图象的开口向__________，顶点坐标为__________，对称轴为直线__________，函数图象与轴的交点坐标为__________，与轴的交点坐标为__________． (2)在如图所示的坐标系中画出该二次函数的图象． (3)根据图象判断，当时，的取值范围是__________． (4)若点与是此二次函数图象上两点，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)向下，，，，， (2)见解析 (3) (4)< 【分析】（1）根据，得抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，令，即，进行计算即可得； （2）根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点连线即可得； （3）根据图象，当时，的取值范围是，即可得； （4）根据点在轴下方，而在轴上方，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，即， 解得或， 故函数图象与轴的交点坐标为，， 令，则， 故与轴的交点坐标为； 故答案为：向下，，，，，； （2）解：根据抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，描点作出函数图象：    （3）解：根据图象，当时，的取值范围是， 故答案为：． （4）解：∵点在轴下方，而在轴上方， ∴． 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【题型七 求二次函数y=a（x-h）²+k的解析式】 例题：（23-24九年级上·陕西宝鸡·期中）已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4． (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意设顶点式． （1）设抛物线的顶点式，将点代入上式即可求解； （2）将自变量代入求出函数值即可作出判断． 【详解】（1）解：抛物线的顶点是， 设此抛物线的解析式为：， 将点代入，得：， 解得，， 此抛物线的解析式为： （2）解：点不在这个二次函数的图象上，理由如下： 把代入得，， 点不在这个二次函数的图像上． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 2．（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）已知抛物线的图象经过点． (1)求a的值及顶点坐标； (2)若点都在该抛物线上，请直接写出与的大小． 【答案】(1)a的值是，顶点坐标是； (2) 【分析】（1）根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，把点代入，可以求得a的值； （2）根据二次函数的性质可以解答本题． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标是； ∵经过点， ∴， 解得，， 即a的值是； （2）解：∵，， ∴该抛物线的图象在时，y随x的增大而增大，在时，y随x的增大而减小， ∵点都在该抛物线上， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 一、单选题 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式，顶点坐标是．根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为， 故选：A． 2．（2024·山西临汾·二模）抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 3．（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期末）抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（   ） A．开口向下，顶点坐标为 B．开口向下，顶点坐标为 C．开口向上，顶点坐标为 D．开口向上，顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可． 【详解】解：∵对于物线，， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为． 故选：D． 5．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 二、填空题 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数 的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数的顶点坐标为，由此可解． 【详解】解：二次函数 的顶点坐标为， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键．由二次函数的顶点式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 即当时，二次函数有最大值， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 9．（2024·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象上有两点，，且，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出、距离对称轴的大小，即可判断与的大小． 【详解】 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，且， ， ， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 故答案为：． 10．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的二次函数，当时，函数y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为1， 当时，函数有最大值，最大值为：， ∴的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024九年级下·江苏·专题练习）探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 12．（22-23九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点P坐标； (2)若抛物线与轴交于、两点，求三角形的面积． 【答案】(1)对称轴为轴，开口向上，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）由抛物线的性质可得答案； （2）由、，顶点P坐标为；可得的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的开口方向向上、对称轴为直线、顶点P坐标为； （2）解：如图，    ∵、，顶点P坐标为； ∴． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，坐标与图形面积，熟记抛物线的性质是解本题的关键． 13．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 14．（2023·广东深圳·模拟预测）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集； (3)当时，直线与直线只有一个交点，求n的取值范围； 【答案】(1)一次函数的表达式为，画图见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）将点A，B坐标代入二次函数中求的值，进而可得点坐标，然后将点坐标代入一次函数解析式中求的值，进而可得一次函数解析式，最后描点连线即可； （2）根据不等式的解集是一次函数图象在二次函数图象下方所对应的的取值范围求解即可； （3）求时的二次函数的函数值为，然后结合图象，可知在顶点以及上方，下方时，只有一个交点，确定取值范围即可； 【详解】（1）∵二次函数二次函数的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：    （2）由（1）中的图象可得， 不等式的解集为：或； （3）把代入得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线与直线只有一个交点，则n的取值范围是或； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与不等式，二次函数综合等知识．解题的关键在于数形结合． 15．（2022·安徽·模拟预测）已知点在开口向上的抛物线上，若点也在此抛物线上，将抛物线在点之间的部分记为图象（含点）． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若图象上任意两点纵坐标差的最大值为2，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）由点在开口向上的抛物线上，得抛物线的对称轴为直线，从而得，进而即可求解； （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上及得，从而得．进而得，于是有，解得（舍去），进而即可得解． 【详解】（1）解： 点在开口向上的抛物线上， 抛物线的对称轴为直线， ， ． 当时，， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 由（1）知抛物线的对称轴为直线，且开口向上． ， ． 图象上任意两点纵坐标差的最大值为2， ， ， 解得（舍去）， ， ∴整数的值为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$