1.3一元二次方程的根与系数的关系（四大题型巩固练习）（暑期自学课） 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.3一元二次方程的根与系数的关系 （四大题型巩固练习） （暑期自学课） 【典型例题】 类型一、求一元二次方程的另一个根 【例1】已知一元二次方程2x2-mx+4＝0的一个根是1，则另一个根是 . 举一反三： 【变式1】若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是 ． 【变式2】已知关于x的方程的一个根是2，求另一个根和m的值. 【变式3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根 【变式4】已知关于x的一元二次方程x2－（m＋5）x+5m＝0. (1) 若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根； (2) 求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (3) 若等腰三角形的其中一边为6，另两边是这个方程的两根x1、x2，求的值. 类型二、一元二次方程根的情况判断 【例2】下列一元二次方程中没有实数根的是 ( ) A. B. C. D. 举一反三： 【变式1】关于x的一元二次方程x2+mx-8＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【变式2】关于x的一元二次方程x2+kx－2＝0(k为实数)根的情况是 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【变式3】已知，关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1=0． (1) 不解方程，判断此方程根的情况； (2) 若x=2是该方程的一个根，求代数式的值． 【变式4】已知关于的方程 （1）求证：方程有两个不相等实数根． （2）若方程的一个根是求另一个根及的值． 类型三、求代数式的值 【例3】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（ ） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．4 举一反三： 【变式1】若a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则2a2﹣4a＝　 　． 【变式2】若，是一元二次方程（）的两个根，那么的值是 ． 【变式3】已知，求的值. 【变式4】已知关于x的方程x2+2mx+m2－2＝0． (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求m2+6m+2030的值． 类型四、利用韦达定理求值 【例4】关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 举一反三： 【变式1】若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】已知关于x的方程x²-2(k-1)x+k²=0有两个实数根x₁, x₂. （1）求k的取值范围； （2）若x₁+x₂=1-x₁x₂,求k的值. 【变式3】已知关于x一元二次方程x2-4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值． 【变式4】已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求的值. ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$