22.1 二次函数的图象和性质-【胜在中考】2024年中考数学考点过课本（人教版）

九年级。上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 概念:一般地,形如y三ax十bx十c(a,b,c是常数,a去0)的函数,叫做二次函数,其中 是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项,例如,y 考点 3x一2x十5是二次函数,二次项系数、一次项系数和常数项分别是 二次 ((1)含有自变量的代数式必须是② 三个 函数 (2)化简后自变量的最高次数是 条件 青 (3)二次项系数不为④ 特殊形式:在y-ax*}+bx+c(a去0)中,①当b-0时,y=ar*}+c;②当c=0时,=ar+ bx;③当b-0,c-0时,y-ax 考点2 列二次函数解析式的一般步骤 审-审题,找出已知量和未知量,分析它们之间的关系. , 找到两个未知量之间的关系,用等式表示 列 根据等量关系列出函数解析式,注意自变量的取值范围 03.-25 答秦 ②整式 ⑧20 22.1.2 二次函数y一ax②的图象和性质 考点 二次函数y一x的图象和性质 概念:二次函数的图象是一条关于某直线对称的曲线,这条曲线叫做抛物线,该直线叫做抛物线的 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的② ,顶点是抛物线的最低点或最高点,抛物线开 口向上或向下. 二次函数y一ar(去0)图象的作法: 列表--在二次函数y一ax中,自变量x的取值范围是全体实数,给出x的一些代表值,求出对应 的y值,如可先取作为顶点的原点(0,0),然后在原点两侧对称取点. 描点 一般先描出对称轴一侧的几个点,再根据对称性找出另一侧的几个点 连线 一按照自变量由小到大的顺序,从左到右用平滑的曲线连接所描的点 A注意:(1)在画&数图象时,图象去须千滑,顶端不能画成尖形的,一般地,选点越多,图象越精确 (2)抛物线关于对称轴对称,并向两端无限延伸 (3)用描点法画出的图象只是二次函数图象的一都分,而且是近似的. -97- 初中数学 考点过课本 RJ 二次函数y=ax(a本0)的图象和性质 y-ar*(a字o) a>0 a<0 图象 开口方向 向下 对称轴 y轴(或x-0) 顶点坐标 (0.0) 当x<0时,v随x的增大而。 当x<0时,y随x的增大而增大; 增减性 当x>0时,y随x的增大而增大 当x0时,y随:的增大而减小 最值 当x-0时,y有最小值,y-0 当x一0时,y有最大值,y大一 提: (1)二次函数y一ax{的图象开口方向与大小:a的符号决定开口方向,a0时,开口向上,a~0时, 开口向下:a决定开口大小,a越大,抛物线开口越小,a越小,抛物线开口越大. (2)二次函数y一ax^{②}的增减性,一定要说明是在对称轴的左侧或右侧,不能笼统地说a0时,y随x 的增大面减小(增大). (3)抛物线y一ar^}的图象和性质可从四个方面记忆:①开口方向:②顶点坐标:③对称轴:④增减性. 对称轴 顶点 向上 减小0 22.1.3 二次函数一a(x-h)十:的图象和性质 考点 二次函数y-ax*十k(a类0)的图象和性质 y-ax*+(a0) a0 0 图象 0 0 0 20 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(或一0) 顶点坐标 6 当x<0时,v随x的增大而减小; 当x0时,y随x的增大而增大; 增减性 当x0时,y随:的增大而增大 当x0时,y随:的增大而减小 最值 当x-0时,y有最小值,y-k 当x一0时,y有最大值,y一 -98- 九年级。上册 归纳:二次函数y-ax十k与y一ax的图象的关系 二次函数y=ax^{②}十k(a→0)的图象与二次&数y=ar^{}(a≠0)的图象形状、大小相同,只是位置不 同,函数y-ax}十k(a≠0)的图象是由地物线y一ax^{}(a0)向上(或下)平移② 个单位长 度得到的. (1)当k0时,抛物线y-a^{}(a≠0)沿y轴向上平移|e|个单位得到y=ax^}十 .$ (2)当k<0时,抛物线y=ax{}(a≠0)沿y轴向下平移|kl个单位得到y-ax{}十k. 简记为:上加下减。 考点2 二次函数y一a(x-h)(a,0)的图象和性质 y-a(r-h)(a字0) a a0 ### 图象 -n)) 0 0 0 _0 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 (h,0) 当x<h时,y随x的增大而减小; 当xh时,y随:的增大而增大; 增减性 当x>h时,y随x的增大而增大 当x>h时,y随x的增大而 最值 当x-h时,y有最小值,y-0 当x-h时,y有最大值,y-0 归纳:(1)比较数值的大小: 对于二次函数y一a(x一h){}(a一0)图象上的点,当图象开口向上,点到对称轴的距离越大,则对应的 &数值就越大;当图象开口向下,点到对称轴的距离越大,则对应的巫数值就越小:若两点到对称 轴的距离相等,则对应的函数值相等 (2)二次函数y-a(x一h)与y-ax*的图象的关系: 二次函数y一a(x一h)^{}的图象可由二次&数y一ax^{}的图象向左,向右平移得到. ①当h>0时,抛物线y一a(x一h){}(a*0)由抛物线y一ax{}(a≠0)向右平移h个单位长度得到,此 时对称轴在y轴的右侧. ②当h<0时,抛物线y-a(x一h)}由抛物线y=ax{}(a0)向左平移lh|个单位长度得到,此时对 称轴在v轴的左侧. 简记为:左加右减, -99二 初中数学 考点过课本 R 二次函数y一a(x-)+(a0)的图象和性质 考点3 ★★★ a0 y=a(x-h){+k(a子0) aC0 _ 图象 ## 0 h0,k0 <0.k>0 0、k>0 <0k>0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x-h 顶点坐标 ② 当xh时,y随x的增大而减小;当 当x<h时,y随x的增大而增大;当x 增减性 xh时,y随x的增大而增大 >h时,y随x的增大而减小 最值 当z一h时,y有最小值,y小慎一k 当x一h时,y有最大值,ym大-k 归纳: (1)二次函数的顶点式;从y一a(x一h)}十(a→0)中可以直接看出抛物线的顶点坐标是(h,k),所 以通常把它称为二次函数的顶点式. (2)二次&数y一a(x一h)}十k与y一ax{}的图象的关系 抛物线y一a(x一h)}十k由抛物线y=ax*}(a≠0)向左(右)平移lh|个单位长度,再向上(下)乎 移个单位长度得到. (3)二次&数圈彝的乎移规律 向右(>0或向左(0 [抛物线y-(7{ 平移个单位长度 抛物线r-ax-h)} 向右(>0或向左(k0 平移个单位长度 再向上(0或向下(0) 向0问下0 向上(>0或向下(kc0 平移个单位长度 平移个单位长度 平移阳个单位长度 物线y-x+ 拉物线y-x-h)k 向右h0或向/(h 平移个单位长度 (0,) 答案 |直线-h减小 h) -100二 九年级-上册 22.1.4 二次函数y=ax*+bx+c 的图象 考点1 二次函数y=a文十x十c的图象和性质 ★★★ 函数 a>0 a0 ## 图象 向上 开口方向 向下 对称轴 直线 b 4ac-b 顶点坐标 (一 2'4a #时y随x的增大而减小; 当x<一 6 当r<- 增减性 #时,y随x的增大而增大 当x一 6 当x- 4ac-b{ 4ac-6 最值 当x- 当一一 4 4 归纳:(1)抛物线顶点坐标的两种求法 ①运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标, ②利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标,即利用配方法将二次函数y一ax^②}十 b4ac-b{ .对比顶点式,可得顶点坐标(一 2a.4a 4d ),对称轴为 直线)一- 2 (2)画二次&数v一ar十bx十c的图象的方法 ①利用配方法把二次涵数y一ax②}十bx十c化成y一a(x-h)十h的形式 描点法②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,在对称轴两侧对称取点, 按列表,描点,连线的步骤画出抛物线. [①利用配方法把二次&数y一ax②十bx十c化成y一a(r-h){十 的形式, 明确顶点坐标(h,): 平移法 ②作出抛物线y-a.r2: ③将抛物线y一ax平移,使其顶点乎移到 。 x十x_一 拓展:(1)若点P(x,y)和点P(x。,y)关千直线x一一 2a (2)关于二次&数y一ax十bx十c(a≠0)的几个重要的式子; -101: 初中数学 考点过课本 R ①当x-1时,y-a十b十c. 此时若y=0,则a十b+c=0:若y>0,则a十b十c>0;若y<0,则a+b+c 0 ②当x-2时,y-4a+2+c. ③当x--1时,y-a-b十c. 此时若y=0,则a-b十c-0:若y>0,则a-b十c>0:若y 0,则a-b十c 0 ④当x--2时,y-4a-2b+c. 总结:二次函数y一ax{}十bx十c(a≠0)的图象特征与a,b,c的符号之间的关系 字母 字母的符号 图象的特征 a0 开口向上 0 开口向下 -0 对称轴为v轴 1_ ab0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab~0(a,异号) 对称轴在y轴右侧 c-0 图象过原点 ,_ c0 与y轴正半轴相交 c0 与y轴负半轴相交 b:-da-0 与:轴有唯一的交点(顶点) b2-4ac b:-4ac>0 与:轴有两个不同的交点 -4ac<0 与;轴无交点 考点2 用待定系数法求二次函数解析式 ★★ 确定二次函数一般需要三个独立条件,根据不同条件选择不同设法 形式 内容 使用条件 y-ar十br十c(a,b,c为常数,a字0). 当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设函数的解析式 一般式 解析式的右边是二次三项式的一般形式 为一般式,然后列出关于a,b,c的三元一次方程组求解 y-a(x一h)十(a,h,为常数,a子 当已知抛物线的④ 或对称轴与最大(小)值 顶点式 0).由解析式的右边可知,抛物线的顶点 时,通常设函数解析式为项点式,然后代入另一点的 坐标为(h,b) 坐标,解关于a的一元一次方程 y-a(r-x:)(x一x:)(a,x.x:为常 当已知抛物线与x轴的两交点坐标(x,0),(x。,0) 交点式 数,a关0),其中x,x。是抛物线与x轴 时,通常设函数的解析式为交点式 两交点的横坐标 _三 减小(,) 答案 0点坐标 -102=