1.3.2等比数列与指数函数（2知识点+5题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.3.2 等比数列与指数函数 课程标准 学习目标 （1）体会等比数列与指数函数的关系。 （1）理解等比数列与指数函数的关系; （2）理解等比数列的单调性，并会利用其求最大（小）项； （3）掌握等比数列性质的运用。（难点) 知识点01 等比数列与指数函数的关系 1 等比数列与指数函数的图象 （1）当时，等比数列的通项公式是，若把正整数自变量换成实数自变量，则可得到函数它可看成，它是一个非零常数与指数函数（指数函数底数为公比）的乘积。 这说明，当用直角坐标系中的点来表示等比数列时，所有的点一定在一指数函数图象上，且等比数列的图象由图象横坐标为正整数的孤立点组成。 （2）当时，等比数列的各项都是常数，其图象是一系列行左至右呈水平状的孤立点； （3）当时，等比数列对应的图象是一系列上下波动的孤立点. 2 等比数列的单调性 当 时，等比数列递增；当 时，等比数列递减； 当 时，等比数列递减；当 时，等比数列递增。 当时，等比数列是不增不减. 【即学即练1】 （多选）关于递减等比数列，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D． 知识点02 等比数列的性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； 证明 由等比数列通项公式可得，， 两式相除可得，即. 意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等比数列中，，，则 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等比数列任意两项可求公比. 例 若等比数列中，，,则公比 . 若 则 ； 证明 由等比数列通项公式可得， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的积相等. 例 ，但不一定等于。 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 证明 ,得证. 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 证明 ,得证. 【即学即练2】 （多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型一：等比数列通项公式的指数函数特征】 例1．已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．(多选)若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．某工厂去年产值为，计划10年内每年比上一年产值增长，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过？（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式1-3．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 变式1-4．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 当时，等比数列的通项公式，与指数型函数有关，在判断等比数列的单调性或最大（小）项时可以借助指数函数的图象与性质进行思考. 2 等比数列的单调性 当 时，等比数列递增；当 时，等比数列递减； 当 时，等比数列递减；当 时，等比数列递增。 当时，等比数列是不增不减. 【题型二：等比数列的最大（小）项】 例2．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 变式2-1．（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 【方法技巧与总结】 1 求数列中的最大（小）项，主要是作差法或作商法得到数列的单调性再求解； 2 求等比数列的最大（小）项，先分析等比数列的单调性，有时可借助指数函数的图象与性质进行分析. 【题型三：等比数列下标和性质及应用】 例3．已知数列为等比数列， ，则 （    ） A． B． C．2 D． 变式3-1．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式3-2．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 变式3-3．(多选)已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最大 D．成等比数列 【方法技巧与总结】 1 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ；意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. ；意义 利用等比数列任意两项可求公比. 若 则 ；意义 下标和相等，其对应项的积相等. 要理解以上等比数列的性质，明白其意义方能更好利用; 2 要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点. 【题型四：等比数列子数列性质及应用】 例4．在等比数列中，已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 变式4-2．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ． 变式4-3．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 3 要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点. 【题型五：等比数列综合性质的运用】 例5．对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等比数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列. 变式5-1．已知数列满足，且，则中整数项的个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 变式5-2．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 变式5-3．已知数列的前项和为，满足（是常数，），且，则 . 变式5-4．已知数列中，，，其前项和满足；数列中，， . （1）求数列、的通项公式； （2）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立． 变式5-5．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值； (3)记，求证：． 一、单选题 1．已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4.已知数列为正项递增等比数列，，，则该等比数列的公比（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 6.设数列：，，…，，若存在公比为q的等比数列：，，…，，使得，其中，2，…，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法不正确的是（    ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 8.设等比数列的公比为，前项积为，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 二、多选题 9．已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 10.等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 11.已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 三、填空题 12．写出一个通项公式 ，使你写出的数列具有性质①②： ①；②为递减数列． 13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 14.在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 四、解答题 15．已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 16.在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 17.已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 18.某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元. (1)求； (2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值. 19．如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2 等比数列与指数函数 课程标准 学习目标 （1）体会等比数列与指数函数的关系。 （1）理解等比数列与指数函数的关系; （2）理解等比数列的单调性，并会利用其求最大（小）项； （3）掌握等比数列性质的运用。（难点) 知识点01 等比数列与指数函数的关系 1 等比数列与指数函数的图象 （1）当时，等比数列的通项公式是，若把正整数自变量换成实数自变量，则可得到函数它可看成，它是一个非零常数与指数函数（指数函数底数为公比）的乘积。 这说明，当用直角坐标系中的点来表示等比数列时，所有的点一定在一指数函数图象上，且等比数列的图象由图象横坐标为正整数的孤立点组成。 （2）当时，等比数列的各项都是常数，其图象是一系列行左至右呈水平状的孤立点； （3）当时，等比数列对应的图象是一系列上下波动的孤立点. 2 等比数列的单调性 当 时，等比数列递增；当 时，等比数列递减； 当 时，等比数列递减；当 时，等比数列递增。 当时，等比数列是不增不减. 【即学即练1】 （多选）关于递减等比数列，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D． 【答案】AC 【分析】根据等比数列的通项公式判断即可 【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都小于前一项，所以数列递减，A正确； B．当，时，为摆动数列，故B错误； C．当，时，数列为递减数列，故C正确； D．，当时，，此时，当时，，，故D错误． 故选：AC． 知识点02 等比数列的性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； 证明 由等比数列通项公式可得，， 两式相除可得，即. 意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等比数列中，，，则 . 解 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等比数列任意两项可求公比. 例 若等比数列中，，,则公比 . 解 . 若 则 ； 证明 由等比数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的积相等. 例 ，但不一定等于。 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 证明 ,得证. 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 证明 ,得证. 【即学即练2】 （多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用数列的基本性质可得出，，求出的取值范围，可判断AB选项；利用等比数列的性质可判断CD选项. 【详解】因为数列等比数列的公比为且， 则， 所以，，， 又因为，则，所以，，从而， 故对任意的，，由可得，A对B错； ，，即，C对D错. 故选：AC. 【题型一：等比数列通项公式的指数函数特征】 例1．已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可知，由得，设，则，利用一次函数和指数函数的性质，结合图形，可得时；时；时，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为()， 若，则，得，解得，不符合题意； 所以，得，又， 令，得，即①， 设，则且， 所以①式变为， 由题意，知和是方程的两个解， 令，且， 则一次函数与指数函数的图象至少有2个交点， 作出两个函数图象，如图， 当函数与单调递增或递减时，才会有2个解， 且无论哪种情况，都有时，； 时，；时，； 所以，，，， 即，，，. 故选：C. 变式1-1．(多选)若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确； 故选：ABD 变式1-2．某工厂去年产值为，计划10年内每年比上一年产值增长，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过？（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由题意可得，今年的产值为，且每年的产值构成一个等比数列，公比为1.1，写出等比数列的通项公式，列出不等式，代入选项，即可得解. 【详解】由题意知，今年的产值为，且每年的产值构成以为首项，公比为1.1的等比数列，则 ，即， 又，，. 故选：C 变式1-3．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， . 【答案】6 【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解. 【详解】由题意可得，， ，且， 当时，最大，即，解得. 故答案为：6. 变式1-4．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列公差为，正项等比数列公比为，，， 由可得出，从而分析出时，，时，． 把方程变形为，引入函数，利用两个函数的图象可得结论． 【详解】设等差数列公差为，正项等比数列公比为， 因为，所以，即，所以，又，所以， 由得，，， 所以时，，时，． ，，由，， 即，（*）， 令，，（*）式为，其中，且， 由已知和是方程的两个解， 记， 且，是一次函数，是指数函数， 由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）． 如图，作出和的图象，它们在和时相交， 无论还是，由图象可得，，， 时，，时，， 因此，，，， 即， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差和公比的关系，考虑到方程有两解，把此方程变形为，引入函数，通过函数图象观察得到和的关系，从而由数形结合思想得出结论． 【方法技巧与总结】 1 当时，等比数列的通项公式，与指数型函数有关，在判断等比数列的单调性或最大（小）项时可以借助指数函数的图象与性质进行思考. 2 等比数列的单调性 当 时，等比数列递增；当 时，等比数列递减； 当 时，等比数列递减；当 时，等比数列递增。 当时，等比数列是不增不减. 【题型二：等比数列的最大（小）项】 例2．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 变式2-1．（多选）无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可. 【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值； ，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值； ，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 所以等比数列有最大值，也有最小值； ，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值， 偶数项为正无最大值. 故选：BC 变式2-2．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以，即数列为正项等比数列， 当时，则，不满足，舍去， 所以，即数列为单调递减数列，A说法正确； 由可得，， 所以，即，B说法错误； 因为数列单调递减，且，，所以是数列中的最大项，C说法正确； 由等比中项可知，D说法正确； 故选：B 【方法技巧与总结】 1 求数列中的最大（小）项，主要是作差法或作商法得到数列的单调性再求解； 2 求等比数列的最大（小）项，先分析等比数列的单调性，有时可借助指数函数的图象与性质进行分析. 【题型三：等比数列下标和性质及应用】 例3．已知数列为等比数列， ，则 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 变式3-1．若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出. 【详解】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 变式3-2．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 变式3-3．(多选)已知为每项均为正数等比数列的前n项积，若，则（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最大 D．成等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的性质结合可推出且，从而可判断等比数列的公比的范围，即可判断A，B，C；利用等比数列的定义可判断D. 【详解】因为，且，所以，即， 同理由可得，即，所以且， 又，所以，又，为正数等比数列， 设公比为q，则， 所以单调递减，且最大，故A，C正确，B错误； 因为，的公比为q，则， 即为等比数列，故D正确． 故选：ACD 【方法技巧与总结】 1 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ；意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. ；意义 利用等比数列任意两项可求公比. 若 则 ；意义 下标和相等，其对应项的积相等. 要理解以上等比数列的性质，明白其意义方能更好利用; 2 要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点. 【题型四：等比数列子数列性质及应用】 例4．在等比数列中，已知，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件求出等比数列的公比，再由 可计算出的值. 【详解】设等比数列的公比为，， ， ，故选A. 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 变式4-1．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 变式4-2．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ． 【答案】 81 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式和性质解得，再根据等比数列的定义分析求解. 【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即， 则，解得或（舍去）， 则，解得， 所以，. 故答案为：81；. 变式4-3．已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，利用等比数列的性质得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为数列为正项等比数列，， 设，则，则， 由于是等比数列，所以也成等比数列， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 3 要利用等比数列的性质求解基本量，要主要题中各项下标的特点. 【题型五：等比数列综合性质的运用】 例5．对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”. （1）证明：等比数列是“数列”； （2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明. （2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案. 【详解】（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得： 等比数列是“数列”. （2）证明：既是“数列”又是“数列”， 可得，（） （） ，（） 可得：对于任意都成立， 即 成等比数列， 即成等比数列， 成等比数列， 成等比数列， 设，（） 数列是“数列” 时，由（）可得： 时，由（）可得： ， 可得，同理可证 成等比数列， 数列是等比数列 【点睛】本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题. 变式5-1．已知数列满足，且，则中整数项的个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】由题设得，即是等比数列，进而写出通项公式，根据所得通项公式讨论确定中整数项的个数. 【详解】由题意得：，， ∴， 若显然与矛盾，故是公比为的等比数列， ∴，可得， ∴， 综上，且. 当为奇数且时，为整数；当为偶数且时，为整数， ∴中整数项的个数为22. 故选：C. 变式5-2．已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 变式5-3．已知数列的前项和为，满足（是常数，），且，则 . 【答案】 【分析】 由与的关系推导出数列为等比数列，再利用等比数列的基本性质可求得的值. 【详解】 对任意的，（是常数，）， 当时，，可得， 当时，， 所以，， 所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为， . 故答案为：. 变式5-4．已知数列中，，，其前项和满足；数列中，， . （1）求数列、的通项公式； （2）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）把变形为即可发现等差数列，从而求得通项；把变形为，借助为等比数的通项求解． （2）转化为恒成立，再分为奇数和为偶数分类讨论，结合指数函数的性质，即可求出结果． 【详解】（1）由已知，， 所以， () 又 ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列． ∴ 又 是以4为公比，4为首项的等比数列 ，即. （2）∵，∴， 要使恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立， ∴恒成立． （ⅰ）当为奇数时，即恒成立， 当且仅当时，有最小值为1， ∴ （ⅱ）当为偶数时，即恒成立， 当且仅当时，有最大值，∴ 即，又为非零整数，则． 综上所述，存在，使得对任意，都有． 变式5-5．约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，． (1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； (2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值； (3)记，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)，中为质数； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据定义得，然后取公比为2即可得； （2）根据约数定义分析其规律，然后化简可得，由是整数的最小质因数可得，进而可得公比，然后可求a； （3）利用变形得，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证. 【详解】（1）由题意可知，， 当时,正整数的个正约数构成等比数列， 取公比为2得：，，，为的所有正约数，即． （2）根据约数定义可知，数列中，首尾对称的两项之积等于a， 即， 所以，，，， 因为，依题意可知，所以， 化简可得，所以， 因为，所以， 因此可知是完全平方数． 由于是整数的最小质因数，是的因子，且，所以， 所以，数列，，，的公比为， 所以，，为，，，， 所以，其中为质数． （3）由题意知（）， 所以， 因为，，， 所以 因为，，所以， 所以，即． 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住，，以及为质数即可求解. 一、单选题 1．已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得. 【详解】由已知， 则，解得， 故选：A. 2.已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3.已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用等比中项和等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列， 所以，解得， 所以， 故选：C 4.已知数列为正项递增等比数列，，，则该等比数列的公比（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质求出，进而可求出公比. 【详解】由题意， 由，， 得，所以（舍去）， 所以， 整理得，解得（舍去）， 所以. 故选：A. 5.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项. 【详解】等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上， 而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上， 如图所示当时，如下图所示， 当公差时，如下图所示， 如图可知当时，，，，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项. 6.设数列：，，…，，若存在公比为q的等比数列：，，…，，使得，其中，2，…，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可得且，可得，再根据指数函数的单调性求出的最小值即可 【详解】由题意可得，， 所以，且， 当时，成立；当，3，…，10时，应有成立， 因为在R上单调递增，所以随着n的增大而减小， 故，综上，q的取值范围是. 故选：C. 7.在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法不正确的是（    ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】A 【解析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：A 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 8.设等比数列的公比为，前项积为，下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且为数列的唯一最大项，则 D．若，且，则使得成立的的最大值为20 【答案】A 【分析】根据前项积的定义和性质即可结合等比数列的性质即可逐一求解. 【详解】若，则，可得，即选项A错误； 而，即选项B正确. 若，且是数列的唯一最大项. 当时，，不合题意； 当时，由，可得， 即，解得，即选项C正确. 若，当时，， 又，不满足，不合题意； 当时，由可得，，， 所以，， 则为单调递减数列， 因此当时，故，当时，故， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 又，，， 所以使得成立的的最大值为20，即选项D正确. 故选：A 二、多选题 9．已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由等比数列的首项为，公比为， 对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误； 对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确； 对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误； 对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确. 故选：BD. 10.等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 【答案】ABD 【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得. 【详解】对于A，，，即， ，又，又， ，且， ，故A正确； 对于B，，，即，故B正确； 对于C，由于，而，故有，故C错误； 对于D，由题可知， 所以当时，，即，当时，，即， ∴T99的值是Tn中最大的，故D正确. 故选：. 11.已知数列的通项公式为，，在中依次选取若干项（至少3项），，，，，，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．若取，，则 B．满足题意的也必是一个等比数列 C．在的前100项中，的可能项数最多是6 D．如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列 【答案】AB 【分析】根据等比数列的性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】因为数列的通项公式为， 对于A，取，，则，， 由于为等比数列，则，则有，即，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 若为等比数列，即，，，，，是等比数列， 则，，，，，，是等比数列， 故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确； 对于C，在的前项中，可以取，，，，，，， 可以使成为一个等比数列，此时为项，故C错误； 对于D，取，，则，则， 不是数列的项， 所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．写出一个通项公式 ，使你写出的数列具有性质①②： ①；②为递减数列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出当数列为等比数列时需满足的条件即可. 【详解】当数列为等比数列时，，，， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为为递减数列，所以当时符合题意， 可取，此时 故答案为：（答案不唯一） 13.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差和等比数列的性质，再结合特殊角的正切值，即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知，，即，而， 根据等比数列的性质可知，，则，， 所以. 故答案为： 14.在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】 利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【详解】 在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 四、解答题 15．已知数列为等比数列． (1)若，求； (2)若，，求公比. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由等比数列的性质可得，结合条件可得，所以是方程的两根和，解方程结合等比数列的通项公式即可得出答案； （2）由等比数列的性质可得，即可得出答案. 【详解】（1）∵，∴， ∴. 又， ∴是方程的两根和. 当时，，； 当时，，； （2）∵， ∴，∴. 16.在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 因为与的等比中项为2，所以， 则，解得（舍去）， 所以，所以（舍去） 所以； （2）由（1）得， 令，则， 令，则， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 17.已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)，理由见解析. 【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论； (2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出； (3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 整理得， ， 是以-15为首项，为公比的等比数列； （2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列， 得，所以， （3）由(2)得， ， 当时，， 故， 当时，， 所以当时，，同理当时，； 故时，取得最小值，即为最小值. 18.某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元. (1)求； (2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，，利用构造法可得； （2）由已知，根据函数的单调性解不等式. 【详解】（1）由已知可得， 且，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ； （2）由（1）得， 所以，， 即，， 设，，且单调递增， 又，， 所以的解集为， 所以的最小值为. 19．如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 【答案】(1)不具有性质P，理由见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）因为当数列具有“性质P”时，列举出前两项，需要满足，（不是正整数），所以不符合条件． （2）利用反证法，分且，且，且三种情况，证明这三种情况下数列均不具有“性质”，从而证明当数列具有“性质”时，需要满足且． （3）从这四个数中任选两个共有以下6种情况： .对于每组所在的等比数列{an}是否满足具有“性质P”，即可得出结论． 【详解】（1）解：若，公差，则数列不具有性质． 理由如下： 由题知， 对于和，假设存在正整数， 使得， 则有， 解得，（k不是正整数） 得出矛盾， 所以对任意的，． （2）证明：若数列具有“性质”， 则：①假设，， 则对任意的，． 设，则，矛盾！ ②假设，，则存在正整数， 使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项小于等于0，矛盾！ ③假设，， 则存在正整数，使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项大于等于0，矛盾！ 综上，，． （3）从这四个数中任选两个共有以下6种情况： ． ①对于为正整数， 可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1． 下面说明此数列具有“性质P”： ，任取， 则为正整数，因此此数列具有“性质P”， ②对于为正整数，认为是等比数列中的项， ，首项的最小值为． 下面说明此数列不具有“性质P”： ，若不为等比数列{an}中的项， 因此此数列不具有“性质P”． 同理可得：每组所在等比数列{an}不具有“性质P． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、新定义数列、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$