2.7弧长及扇形的面积（讲义）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 2.7弧长及扇形的面积（讲义） （暑期自学课） 知识梳理 【知识点】 1.弧长公式 　　半径为R的圆中 　　（1）360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　（2）n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 说明： (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即 ； (2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 2.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 3.扇形面积公式 　半径为R的圆中 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 说明： 　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， ； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；　　 (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 典型例题 【例1】60°的圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是（    ） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【例2】如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4， 则与长度之和的最小值为（　　） A．4π B．2π C． D． 【例3】如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（       ） A． B． C． D． 【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积． 举一反三 【变式1】若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（       ） A． B．6 C．12 D． 【变式2】如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（       ） A． B． C． D． 【变式3】如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（       ） A． B． C． D． 【变式4】如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧和的夹角为120°，长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知，AB为⊙O的弦，且AO⊥BO．如图，若OA＝2，求阴影部分的面积； 【变式6】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC． (1)求∠B的度数； (2)若AB＝3，求的长． 小试牛刀 一、选择题（共4题） 1.一个扇形的弧长是12πcm，面积是108πcm2，则此扇形的圆心角的度数是(　　) A．300° B．150° C．120° D．75° 2.如图，是一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥．已知AB的长为10，圆周角∠C＝30°，则的长为（　　） A．π B． C．5π D．π 3.如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 4.如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（       ）． A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 5.若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为__________． 6.已知扇形的圆心角是60°，半径为4，则这个扇形的面积是 　 　． 7.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________． 8.如图，在扇形AOB中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为 ．      三、解答题（共4题） 9.如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D． （1）弦AB的长为 　 　． （2）求劣弧的长． 10.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积． 11.已知是的直径，点是圆上一点，点为外一点，为的切线，． （1）求证：； （2）如果，求图中阴影部分面积． 12.如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若是的切线，，连接，如图2． ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$