3.1.1 椭圆及其标准方程（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.1 椭圆及其标准方程 【考点1：椭圆的定义 】 【考点2：利用椭圆的定义求方程】 【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】 【考点4：含有参数的椭圆方程 】 【考点5：共焦点的椭圆方程】 【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】 知识点1 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点3 椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 【考点1：椭圆的定义 】 【典例1】点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式1-1】已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式1-2】已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1-3】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 . 【考点2：利用椭圆的定义求方程】 【典例2】椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】 【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【变式3-1】若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-12】已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【考点4：含有参数的椭圆方程 】 【典例4】已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【考点5：共焦点的椭圆方程】 【典例5】过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过点，两点； (2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点． 【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】 【典例6】设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆：，点，在椭圆上且在轴异侧，，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（    ） A．8 B．4 C．3 D． 【变式6-3】已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 【典例7】已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式7-2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为 ． 【变式7-3】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 1．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 4．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．椭圆的短轴长为 . 6．设为曲线：上一点，，，，则 . 7．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 8．已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上，求椭圆的标准方程 9．求经过点和点的椭圆的标准方程. 10．如图，椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，求△的周长． 11．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 12．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且. (1)求的面积； (2)求点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆及其标准方程 【考点1：椭圆的定义 】 【考点2：利用椭圆的定义求方程】 【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】 【考点4：含有参数的椭圆方程 】 【考点5：共焦点的椭圆方程】 【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】 知识点1 椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 知识点3 椭圆中的几个常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． （4）焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 【考点1：椭圆的定义 】 【典例1】点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解即可. 【详解】由可得：， 由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为. 故选：C. 【变式1-1】已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆的定义可知，. 故选：A. 【变式1-2】已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可得，求解即可. 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以. 故选：C. 【变式1-3】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为 . 【答案】4 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的长半轴长，所以到该椭圆的两个焦点的距离之和为. 故答案为：4 【考点2：利用椭圆的定义求方程】 【典例2】椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 【变式2-1】已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 【变式2-2】方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 【变式2-3】平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程. 【详解】由题意， 平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ， 故选: B. 【考点3：待定系数法求椭圆的标准方程】 【典例3】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 【变式3-1】若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，即可得解. 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式3-12】已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由，可得， 由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为， 故选：A 【变式3-3】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解，代入坐标即可求解. 【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为， 故选：A 【考点4：含有参数的椭圆方程 】 【典例4】已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可. 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆, 需满足，解得. 故选：B. 【变式4-1】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得. 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 【变式4-2】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，解得. 故选：B. 【变式4-3】若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等. 【详解】由题意可知且. 故答案为： 【考点5：共焦点的椭圆方程】 【典例5】过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 【变式5-1】过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果. 【详解】因为焦点坐标为，设方程为， 将代入方程可得，解得，故方程为， 故选：A. 【变式5-2】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)经过点，两点； (2)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分析可得所求椭圆的焦点在x轴上，以及可求得的值，有椭圆的标准方程形式可得答案. （2）求出椭圆的两个焦点坐标，由焦点坐标以及椭圆过可计算出，根据椭圆的标准方程写出即可. 【详解】（1）（1）解：由题意得： ， P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且交点在x轴上 ， 故所求椭圆的焦点在x轴上 设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去) 所以椭圆的标准方程为. 【考点6：椭圆中有关三角形的周长/面积问题】 【典例6】设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长. 【详解】根据题意，椭圆中， 根据椭圆定义，的周长为 . 故选：C 【变式6-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可由焦点三角形的周长公式求解. 【详解】由题意可得， 的周长为， 故选：D 【变式6-2】已知椭圆：，点，在椭圆上且在轴异侧，，分别为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（    ） A．8 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】 根据椭圆定义进行求解. 【详解】 由椭圆的定义，，故四边形的周长为8. 故选：A. 【变式6-3】已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得经过椭圆的右焦点，结合椭圆定义计算即可得. 【详解】由，故经过椭圆的右焦点， 故的周长. 故选：D. 【典例7】已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 【变式7-1】椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】由椭圆的方程求出的值、以及的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由椭圆可得，所以， 令可得，所以， 所以的面积为， 故选：D 【变式7-2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，⊥x轴，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】⊥x轴可得P点横坐标，再根据点P在椭圆上，求出P的纵坐标，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意不妨设﹣，0)， ，0)， ∵P⊥x轴，∴P(，±)， ∵△P的面积＝|P|||＝ 2＝， 故答案为：． 【变式7-3】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 1．椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标. 【详解】，可得焦点坐标为和. 故选：B 2．已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解. 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 3．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 4．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 5．椭圆的短轴长为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的标准方程即可求解. 【详解】由，可得， 所以，所以椭圆的短轴长为. 故答案为：. 6．设为曲线：上一点，，，，则 . 【答案】 【分析】由可知为椭圆的右半部分上一点，由椭圆定义可知，进而得出，由数量积公式计算可得结果. 【详解】易知曲线表示椭圆的右半部分，，分别为该椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义可知，则， 又，则. 故答案为： 7．已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得三边长，根据三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 8．已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上，求椭圆的标准方程 【答案】 【分析】由及，点在椭圆上，即可求解的值. 【详解】由，可得，解得， 又，所以， 因为点在椭圆上， 所以，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 9．求经过点和点的椭圆的标准方程. 【答案】. 【分析】根据给定条件，设出椭圆的方程，利用待定系数法计算作答. 【详解】设椭圆的方程为：，因该椭圆经过点和， 于是得，解得，即有， 所以椭圆的标准方程为：. 10．如图，椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，求△的周长． 【答案】8 【分析】确定，利用椭圆的定义可推得的周长为 ，即得答案. 【详解】由知，， 由椭圆定义可得，， 故的周长为 ， 所以的周长为8. 11．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程 （2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）设C的焦距为，长轴长为， 则， 所以，所以， 所以C的方程为． （2）设， 代入椭圆方程得 两式相减可得， 即． 由点为线段的中点， 得， 则l的斜率， 所以l的方程为， 即． 12．设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且. (1)求的面积； (2)求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用椭圆的定义及勾股定理可求得，再用面积公式计算即可； （2）由（1）可得，代入椭圆方程可求点的坐标. 【详解】（1）由题知，因为点在椭圆上，所以. 从而， 又， ，从而； （2）设，由，得， 将代入椭圆方程解得， 所以或或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$