2.2 有理数的乘除法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

2.2有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【变式3-1】简便运算 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【变式5-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)； (7) ； (8)； (9)； (10)． 【变式5-2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【变式6-3】计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 4．数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在下列选项中，计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．a、b、c均是不为零的有理数，则的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 二、解答题 8．计算：． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 12．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 13．【初探】 从1~9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为a，b，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1） ； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1~9这九个数字中任选三个不同数字，记为m，n，p，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为． （3）若，且，求的值． 14．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 15．在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式： ） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 16．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，，时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是______； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，则的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论． 【详解】解： ， ，异号， ， 正数的绝对值较大， 故选：D． 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据有理数乘法运算中乘法的交换律和结合律进行简便运算； （2）根据有理数乘法法则中任何数乘以0都得0． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则“同号得正、异号得负”、多个因数相乘时符号规律“奇负偶正”、任何数乘以0都得0是解题的关键． 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）分数连乘，能约分的要先约分． （2）利用乘法的分配律． （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算． （4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算． （5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【变式3-1】简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)101 (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】或 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相等，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题可知， 当时，原式； 当时，原式． ∴原式的值为或． 【点睛】本题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【答案】或 【分析】根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求出，，，分两种情况代入原式计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合运算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题关键． 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【答案】21 【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查有理数的乘法和除法，解题关键在于掌握运算法则． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9)27 (10) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查有理数的除法，有理数的乘法．有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，注意：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)180 (3) (4) 【分析】（1）把原式化为，再利用乘法的分配律进行计算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算即可； （3）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； （4）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，熟记乘除混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式6-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)16 (2) (3)1 (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法则． 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选D． 2．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 3．计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法运算法则是关键． 根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 4．数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的加法、乘法和除法，属于基础知识，解题的关键是根据在数轴上的位置确定数的符号．根据点在数轴上的位置判断字母的符号，从而判断各选项． 【详解】解：∵a在原点的左侧，b在原点的右侧， ∴， ∴，，， 两数的绝对值未知， ∴的符号无法确定， 故选：C． 5．在下列选项中，计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查有理数的运算和大小比较，解题的关键是掌握有理数的四则运算法则及数的大小比较． 依次对每个选项进行计算，再进行大小比较即可得到答案． 【详解】解：A.      B.      C.      D. ， ∵ 故计算结果最大的是， 故选：B． 6．如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键．根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④正确， 故选：D． 7．a、b、c均是不为零的有理数，则的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】分八种情况讨论，化简绝对值即可求解． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值有4个． 故选：C 【点睛】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 二、解答题 8．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把提出，可得再计算括号里面的减法，后计算乘法即可． 【详解】解： 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 10．计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)700 (2) (3) (4)3 【分析】本题考查的是乘法运算，分数的混合运算，掌握运算顺序以及简便运算方法是解本题的关键； （1）利用乘法的结合律进行简便运算即可； （2）先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （3）利用乘法分配律的逆用进行简便运算即可； （4）先利用乘法的分配律进行乘法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 11．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 12．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价元（不超过千米），超过千米，超过部分每千米元，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 【答案】(1)李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； (2)元． 【分析】（）把记录的数相加即可求解； （）根据收费标准列式计算即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东边，距离千米； （2）解：由里程数记录可知，第一批、第二批、第五批乘客里程超过了千米，其他批乘客没有，由收费标准可得，， 答：李师傅在这期间一共收入元． 13．【初探】 从1~9这九个数字中任选两个不同数字，分别记为a，b，由这两个数字可以组成两个两位数，再用这两个两位数相加的和除以11，所得的商记为．如：，可以组成12，21，它们的和为33，因为，所以． （1） ； （2）一定是整数吗？请说明理由； 【拓广】 从1~9这九个数字中任选三个不同数字，记为m，n，p，由这三个数字组成六个不同的两位数，再用这六个两位数相加的和除以22，所得的商记为． （3）若，且，求的值． 【答案】（1）9（2）一定是整数，理由见解析（3）1 【分析】本题主要考查新定义的应用以及有理数的混合运算： （1）根据已知条件中的新定义，直接列出算式，求出的值即可； （2）根据已知条件中的新定义，列出算式，进行化简即可； （3）根据定义，列出代数式，进行化简，求出的值，再根据题意，列出方程，进行代换即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9； （2）一定是整数，理由如下： 由题意得： ， ∵a，b都是整数， ∴也是整数， ∴一定是整数； （3）由题意得： , ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)已知m，n是有理数，当时，则______； (2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值； (3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)或3． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时， ∴同号， 当，时， ， 当，时， ； （2）∵ ∴m，n，t全负或m，n，t两正一负 ①当m，n，t全负时， ②当m，n，t两正一负时 Ⅰ）当，，时， Ⅱ）当，，时， Ⅲ）当，，时， 综上所述，的值为1或； （3）∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴m，n，t两正一负 由（2）可知的值为或3． 15．在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式： ） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)，9 (2)4 (3)能，需要294秒 【分析】（1）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （2）根据左减右加列式计算即可得解； （3）先求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，9． （2）解：Q处于：； ∴7秒后动点Q所在的位置是4； （3）解：设需要第次到达点，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 即需要294秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 16．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即，，时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是______； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)，且，则的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)0 【分析】（1）根据得出，即可求解； （2）根据题意可得a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，然后进行分类讨论即可； （3）由，且，可得，，不同号，且都不为0，则，，为两正一负，或一正两负，再分情况解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，则a、b异号， ∴； 故答案为：0； （2）解：∵， ∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负， 当a、b、c中两正一负时：； 当a、b、c均为负数时：； 综上：的值为1或； （3）解：∵，且， ∴，，不同号，且都不为0， ∴，，为两正一负，或一正两负， 当，，为两正一负时， 不妨设，，，则， ， 当，，为一正两负时， 不妨设，，，则， ， 综上：的值为0． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，乘除运算的符号确定，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$