专题：全等三角形九大解题模型训练-2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷

2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷 专题：全等三角形解题模型训练 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.46（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．精心选一选：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2024春•南海区月考）如图，梯形中，，是的中点，恰好是平分，若，，则的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2分）（2023•铁东区一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2023秋•临江市期末）已知是的边上的中线，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D．以上都不对 4．（2分）（2023秋•巴南区期末）如图，，，添加下面条件不能判断的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023•金东区二模）如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2分）（2023秋•唐河县期中）如图，在中，，，、是上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连结．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 8．（2分）（2022秋•孝感期末）如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C．6 D．8 9．（2分）（2023秋•滨海新区校级期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有　　 A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 10．（2分）（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023秋•重庆期中）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 　　． 12．（2分）（2023秋•重庆期末）如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是　 　． 13．（2分）（2023秋•淅川县期末）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 　　． 14．（2分）（2023春•孝感期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为 　　． 15．（2分）（2023秋•殷都区期末）如图，中，，，，点在边上，以为边在右上方作等边，若，则点到边的距离为 　　． 16．（2分）（2023秋•石狮市期末）如图，在中，，，点，都在上，，，，则的长为 　　 17．（2分）（2022秋•安溪县期末）在四边形中，，，，若，，则　　． 18．（2分）（2023秋•栖霞区校级月考）如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝　　． 19．（2分）（2023秋•东安区校级期末）如图，已知在和中，，请添加一个条件 　　，使（填一种情况即可）． 20．（2分）（2022秋•于都县期末）在平面直角坐标系中，点、，以为边在第一象限作等腰直角，则点的坐标为 　　． 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•东辽县期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 22．（6分）（2024•武威三模）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． （1）求证：； （2）求四边形草坪造型的面积． 23．（8分）（2023秋•新野县期末）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 24．（8分）（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是25，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 25．（8分）（2024春•镇海区校级期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． 26．（8分）（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 27．（8分）（2023秋•浉河区期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 28．（8分）（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷 专题：全等三角形解题模型训练 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.46（较难） 一．精心选一选：（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2024春•南海区月考）如图，梯形中，，是的中点，恰好是平分，若，，则的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 解：如图，延长交延长线于，， ，又，， ，又， ， 故选：． 2．（2分）（2023•铁东区一模）如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到△，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：将绕点按逆时针方向旋转后得到△，， ，， ． 故选：． 3．（2分）（2023秋•临江市期末）已知是的边上的中线，，，则中线的取值范围是　　 A． B． C． D．以上都不对 解：如图，延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，， 即，， ， ． 故选：． 4．（2分）（2023秋•巴南区期末）如图，，，添加下面条件不能判断的是　　 A． B． C． D． 解：， ， ， 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 故选：． 5．（2分）（2023•金东区二模）如图，点，，，共线，，，添加一个条件，不能判断的是　　 A． B． C． D． 解：， ． 、由，，可以判定，不符合题意； 、由，，不可以判定，符合题意； 、由，，可以判定，不符合题意； 、由，，可以判定，不符合题意； 故选：． 6．（2分）（2023秋•巴中期末）如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， 故结论①符合题意； （2）， ， ，， ， 故结论②符合题意； （3）垂直平分， ，， 又，， ， 故结论③符合题意； （4）， ， ， ， 故结论④不符合题意； （5）， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ， 故结论⑤符合题意． 故选：． 7．（2分）（2023秋•唐河县期中）如图，在中，，，、是上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连结．给出下列结论：①；②；③若，，则；④．其中正确的是　　 A．①②④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 解：， ． 又， ． ， 即． ， ， ， ． 又， ． 故①正确． ， ． 又， 且， ， 则． 又， ， ． 故②正确． ， ． 又， ， 则． 又， ， ． 故③正确． ， ， 又，， ，， ． 故④错误． 故选：． 8．（2分）（2022秋•孝感期末）如图，等腰中，，，点为直线上一动点，以线段为腰在右侧作等腰，且，连接，则的最小值为　　 A． B．4 C．6 D．8 解：连接并延长交延长线于， ，， ， ， ， ，， ， ， 为定直线，为定值， 当在直线上运动时，也在定直线上运动， 当时，最小， ， ， 当与重合时，最小，在中，，， ， ， 的最小值为， 故选：． 9．（2分）（2023秋•滨海新区校级期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④连接，平分；⑤．恒成立的结论有　　 A．①⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 解：①和都是正三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，故①正确； ②在和中， ， ． ， ， ， ，故②正确； ③由②可知，， ， 由①可知，， ， ，故③正确； ④如图，过点作于点，于点， 由①可知，， ，， ， ， ，， 平分，故④正确； ⑤由①可知，， ， ，故⑤正确； 综上所述，恒成立的结论有：①②③④⑤． 故选：． 10．（2分）（2023秋•河东区期末）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 解：延长交于点，交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：． 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023秋•重庆期中）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．若，，则的长度为 　2.3　． 解：作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 故答案为：2.3． 12．（2分）（2023秋•重庆期末）如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是　　． （1）解：延长至，使，连接，如图1所示 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为． 13．（2分）（2023秋•淅川县期末）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 　4　． 解：延长交于， 垂直的平分线于， ， 又知，， ， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为：4． 14．（2分）（2023春•孝感期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为 　①②③④　． 解：①，， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故结论①正确； ②如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确； ③， ，即， 故结论③正确； ④如图，延长至，使，连接， ，， 点在线段上从点至点运动时，点从点沿线段运动到， ， 点运动的路程是2 ， 故结论④正确； 故答案为：①②③④． 15．（2分）（2023秋•殷都区期末）如图，中，，，，点在边上，以为边在右上方作等边，若，则点到边的距离为 　5　． 解：过点作，垂足为， ， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 16．（2分）（2023秋•石狮市期末）如图，在中，，，点，都在上，，，，则的长为 　　 解：将绕点逆时针旋转至，使得与重合，如图所示， ， 连接， ，， ， ， ，，，， ， ， ， ，， ， ，， △， ， 故答案为：． 17．（2分）（2022秋•安溪县期末）在四边形中，，，，若，，则　　． 解：连接， ，， 为等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，如图， 由旋转的性质可得，，，， 为等边三角形， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 18．（2分）如图，五边形ABCDE中，AB＝BC＝7，AE＝ED＝8，∠ABC+∠AED＝180°，M为边CD的中点，BM＝9，EM＝10，则五边形ABCDE的面积为＝　　． 解：如图，延长BM到F，使FM＝BM，连接DF、EF、BE， 在△BMC和△FMD中， ， ∴△BMC≌△FMD中（SAS）， ∴BM＝FM，BC＝FD＝AB，∠C＝∠FDM， ∵∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED＝（5﹣2）×180°＝540°， ∵∠ABC+∠AED＝180°， ∴∠A+∠C+∠CDE＝360°， ∵∠CDE+∠CDF+∠EDF＝360°， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（SAS）， ∴BE＝EF， ∵BM＝FM， ∴EM⊥BF， ∴S五边形ABCDE ＝S△ABE+S△BCM+S四边形BMDE ＝S△BEF ＝BF•EM ＝×9×2×10 ＝90． 故答案为：90． 19．（2分）（2023秋•东安区校级期末）如图，已知在和中，，请添加一个条件 　或（填一个即可）　，使（填一种情况即可）． 解：在和中，，， 可以添加，此时根据推知． 可以添加，此时根据推知． 故答案为：或（填一个即可）． 20．（2分）（2022秋•于都县期末）在平面直角坐标系中，点、，以为边在第一象限作等腰直角，则点的坐标为 　或或　． 解：当时，作于， 、， ，， ，， ， ，， ， ，， ； 当时，作轴于， 同理可得， ，， ； 当时，过作轴于，作于， 同理可得，， ，， 设，则， ， ， ， ， 综上：或或． 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•东辽县期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【考点】全等三角形的判定与性质 （1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ． 22．（6分）（2024•武威三模）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． （1）求证：； （2）求四边形草坪造型的面积． （1）证明：在和中， ， ； （2）解：过点作于点， 米，， 米， （平方米）， 则（平方米）， 草坪造型的面积为：（平方米）． 23．（8分）（2023秋•新野县期末）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． （1）当他在甲房间时，测得 米，米，且，求甲房间的宽； （2）当在乙房间时，他用另一个梯子，测得米，且，． ① 的度数； ②求乙房间的宽． 解：（1）由题意得：，，， ， ， 在中， 米，米， （米， ， ， ， ， 米， （米， 甲房间的宽为3.1米； （2）①，， ， 的度数为； ②过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， 米， 乙房间的宽为2.8米． 24．（8分）（2024春•温江区校级期末）【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是25，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． （1）证明：，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ． （3）解：如图，在上截取，连接， ，且， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ， 平分， 如图所示，点在的内角的角平分线上上运动． 点的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ， ， 即点的运动路程为． 25．（8分）（2024春•镇海区校级期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程； 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积． （1）证明：过作于， ， ，， ， ； （2）解：， 理由：过作交于， ，， 点恰为线段中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图延长交于点，过作， 是角平分线， ， ， ， ， ， ，， 由（2）中证明方法可知， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 即， 解得， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 的面积为． 26．（8分）（2023秋•渝中区期末）已知，中，，，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边． （1）如图1，若，平分，求的长； （2）如图2，点是的中点，的延长线交于点，求证：； （3）若为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． （1）解：如图1， ，， ． 平分， ． ，， ． ， ． 是等边三角形， ． （2）证明：如图2，连接，在上截取，连接． ，， ，． 点是的中点， ． ． 是等边三角形． ， 是等边三角形， ，， ． ． ，， ，， ． ． ，． ． ． ． （3）解：当点在的延长线上时，如图3， 中，，，点是的中点， ， ， 为等腰三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 垂直平分， 平分， ， ， ， ， 点是的中点， 平分， ； 当点在边上时，如图4， 由（2）知，，是等边三角形， ，， ， ， ， 点是的中点， 为等腰三角形， ， ， ， ， 同理，， ，即点是的中点， 即点、重合， 在和中， ， ， ， 即； 当点在的延长线上时，如图5， ，为等腰三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ； 当点与点对称时，如图6， 则和均为等边三角形， 点是的中点， ； 综上所述，的度数为或或或． 27．（8分）（2023秋•浉河区期末）（1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，、三点都在直线上，并且有（其中为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点，、、互不重合，在运动过程中线段的长度始终为，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 解：（1）， 理由如下：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）结论成立， 理由如下：，，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）为等边三角形， 理由如下：由（2）得，， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 28．（8分）（2023秋•红桥区期末）在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是 　　，的度数为 　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 解：（1），， 理由如下：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ． 故答案为：，； （2），， 理由如下：如图2， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； （3）【拓展延伸】， 理由如下：如图3， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$