3.4循环小数（讲义）-2024-2025学年五年级数学上册人教版

第三单元 小数除法 3.4循环小数 （知识梳理+专项练习） 1、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.简写作6.32 2、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数分为有限小数和无限小数。 例一．哪些数是循环小数？把循环小数用简便方法表示出来． 0.777…  1.125125     5.4666…      11.181818… 解：0.777…是循环小数 5.4666…是循环小数 11.181818…是循环小数 【详解】本题考查的主要内容是循环小数的应用问题，根据循环小数的简便表示方法进行分析即可. 例二．与2比，哪个大？为什么？ 20．2大，因为2的整数部分大 【分析】小数大小的比较：先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大……，据此解答即可。 【详解】与2比，2＞，因为2的整数部分大。 【点睛】熟记小数大小比较的方法。 一、选择题 1．3.8313131……的循环节是（    ） A．831 B．31 C．13 2．下列说法中，正确的有（    ）个。 ①4.8除以一个小数，商可能大于被除数。 ②用“四舍五入”法将2.995保留两位小数约是3.00。 ③15.6÷6的商是循环小数。 ④37.8÷1.25×8＝37.8÷10。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．在0.2323，，和中，最大的是（    ）。 A．0.2323 B． C． D． 4．循环小数的小数部分第36位上的数字是（    ）。 A．6 B．2 C．7 D．9 二、填空题 5．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.9×0.99( )7.9÷0.99          2÷6( )0.333… 6．4.78×0.29的结果是( )位小数，9.5÷9.9用循环小数的简便记法表示商是( )，保留一位小数约是( )。 7．在3.14、、、、3.41这些数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 8．4.95656……是( )小数，还可以记作( )，保留一位小数是( )，小数点后面第2022位是( )。 三、判断题 9．8.453453……的循环节是435。( ) 10．0.098009800980是循环小数。( ) 11．3÷5的商是循环小数。( ) 12．1.353535可以写作( )． 四、计算题 13．用竖式计算。（带☆的要验算）         ☆15.75÷2.1＝    70.7÷33＝      （商用循环小数表示） 五、解答题 14．小华家去年缴电费1132元，平均每月缴电费多少元？（得数用循环小数表示） 15．在循环节0．ABC中，小数部分前90位上的数字和是180，这个循环小数的循环节最大是多少？最小是多少？（A、B、C为3个不同的自然数） 16．五年级三个班的同学们参加植树活动，共植树220棵树，一班植的棵数是二班的2倍，二班比三班多植20棵。三个班各植多少棵树？ 17．果农在葡萄园采摘了380千克葡萄，要按照每箱7.5千克的规格分装运往市场，至少要多少个箱子才能把这批葡萄全部运走？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 2．B 【分析】①一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大，据此举例判断即可； ②在求小数的近似数时，保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可； ③根据小数除法的计算方法，求出15.6÷6的商，再结合循环小数的定义判断即可； ④根据小数乘除法的计算方法，分别求出37.8÷1.25×8和37.8÷10的结果，再对比即可。 【详解】①如4.8÷0.2＞4.8，此时的商大于被除数，原题干说法正确； ②用“四舍五入”法将2.995保留两位小数约是3.00，原题干说法正确； ③15.6÷6＝2.6，2.6是有限小数，不是循环小数，原题干说法错误； ④37.8÷1.25×8 ＝30.24×8 ＝241.92 37.8÷10＝3.78 241.92≠3.78 则原算式错误。 则正确的有①②共2个。 故答案为：B 3．B 【分析】一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 【详解】＞＞0.2323＞ 在0.2323，，和中，最大的是。 故答案为：B 4．D 【分析】观察可知，循环节是279，即一个周期，确定周期后，用36除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】36÷3＝12 则循环小数的小数部分第36位上的数字是9。 故答案为：D 5． ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；除以小于1的数，商比原数大；第二个空，计算出结果，比较即可。 【详解】0.99＜1，7.9×0.99＜7.9÷0.99 2÷6＝0.333… 【点睛】关键是灵活选择比较大小的方法，掌握小数乘除法的计算方法。 6． 4 1.0 【分析】第一个空，根据小数乘法计算法则，数出两个因数中一共有几位小数，积就有几位小数； 第二个空，根据小数除法的计算方法进行计算，商的小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做“循环点”。 第三个空，根据四舍五入法保留近似数即可。 【详解】4.78×0.29的结果是4位小数，9.5÷9.9＝≈1.0，9.5÷9.9用循环小数的简便记法表示商是，保留一位小数约是1.0。 【点睛】关键是掌握小数乘除法的计算方法和循环小数的记数方法，保留一位小数看百分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一，保留近似数时，小数末尾的0不能省略。 7． 3.41 3.14 【分析】根据小数的比较大小方法：先比较整数部分，整数部分大的就大，整数部分相等，就比较小数部分的十分位，十分位大的就大；依次比较直到比较出大小为止，据此解答。 【详解】根据分析得， 在3.14、、、、3.41这些数中，最大的数是3.41，最小的数是3.14。 【点睛】此题考查的是小数大小比较，掌握比较方法是解题关键。 8． 循环 5.0 5 【分析】一个无限小数，如果从小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。 循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留一位小数看百分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 先确定周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数格周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量例减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】4.95656……≈5.0 周期是56 （2022－1）÷2 ＝2021÷2 ＝1010……1，第1011组的第一个，是5。 4.95656……是循环小数，还可以记作，保留一位小数是5.0，小数点后面第2022位是5。 【点睛】关键是掌握循环小数的记数方法和用四舍五入法保留近似数的方法，解答周期问题的关键是找出周期。 9．× 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。依次重复出现的数字就是循环节。 【详解】8.453453……依次重复出现的数字是453，所以这个循环小数的循环节是453，不是435。 故答案×。 【点睛】此题考查判断循环节的方法，注意“依次重复出现”这一条件。 10．× 【分析】一个小数的小数部分是有限的，这样的小数就是有限小数；一个小数的小数部分是无限的，这样的小数就是无限小数；从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 0.098009800980是有限小数，不是循环小数。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查循环小数，明确循环小数的定义是解题的关键。 11．× 【分析】个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。用被除数除以除数，计算出3÷5的商，根据循环小数的定义判断即可解答。 【详解】3÷5＝0.6 0.6是有限小数，不是无限小数，也不是循环小数；所以原题的说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题的解题关键是理解掌握循环小数的定义。 12．× 【详解】试题分析：因为1.353535是有限小数，所以不能写作；据此判断． 解：1.353535不可以写作，原题说法错误； 故答案为×． 点评：明确循环小数是无限小数，是解答此题的关键． 13．0.8376；7.5 0.86； 【分析】小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位。 根据“四舍五入”法求积的近似数，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添”0”继续除；除不尽时，如果是循环小数，商用循环小数表示。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】   ☆15.75÷2.1＝7.5                 验算：              70.7÷33＝                  14．元 【分析】用小华家去年缴电费的钱数除以一年总月份即可解答。 小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数，要添“0”继续除。循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“·”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【详解】1132÷12＝（元） 答：平均每月缴电费元。 15．最大：0.510   最小：0.015 【详解】循环节的个数是： 90÷3＝30（个）， 每个循环节上数字的和是： 180÷30＝6， 把6写成三个不同自然数和的形式有： 6＝5+1+0， 6＝4+2+0， 6＝3+2+1， 根据小数大小比较的方法可知：组成最大的三位数是0.510，最小的是0.015．所以这个循环小数的循环节最大是0.510，最小是0.015． 答：这个循环小数的循环节最大是0.510，最小是0.015． 16．一班植树120棵，二班植树60棵，三班植树40棵。 【分析】一班植的棵数是二班的2倍，二班比三班多植20棵，把二班植树棵数看作标准量，则植树220棵树再加20棵树就是二班植树棵数的4倍，据此先求出二班棵数，再求一班和三班棵数。 【详解】二班：（220＋20）÷（1＋2＋1） ＝240÷4 ＝60（棵） 一班：60×2＝120（棵） 三班：60－20＝40（棵） 答：一班植树120棵，二班植树60棵，三班植树40棵。 【点睛】本题考查和差倍问题，解答本题的关键是理解三个班植树棵数的关系。 17．51个 【分析】用采摘葡萄的总重量除以每个箱子能够装葡萄的重量，等于箱子的数量，算出箱子的数量，对结果采用进一法。 【详解】380÷7.5＝50.6666⋯（个） 50＋1＝51（个） 因为考虑实际情况，小数点后面的数还需要一个箱子才能装完，所以需要50＋1＝51个。 答：至少要51个箱子才能把这批葡萄全部运走。 【点睛】此题的解题关键是针对商的近似值，根据实际情况，合理的使用进一法，得到最终的结果。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$