第五讲 探索三角形全等的条件（角角边-AAS）（新知预习+二大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第五讲 探索三角形全等的条件（角边角-AAS） 教学重点 1. 探索全等三角形的判定方法——“角角边”. 2. 能熟练运用“角角边”判定方法解决有关问题. 3.注重全等三角形的性质与判定的综合应用，能把证明一对角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等. 重点:能用全等三角形的判定方法——“角角边”解决问题. 难点:能综合应用全等三角形的性质与判定解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：用ASA或AAS证明三角形全等 7 考点精讲2：全等的性质ASA或者AAS的综合 9 中档题真题练 10 培优题真题练 16 新知预习 问题导入 在上节课中我们学习了通过“角边角”判断两个三角形全等，如图，若我们将“两角及夹边”中的边换成其中一个角的对边，这样的两个三角形还会全等吗？ 预习导学 知识点01：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等  阅读课本本课时“思考”部分的内容，探讨判定三角形全等的“角角边”条件. 思考　如图，在△ABC和△MNP中，∠A＝∠M，∠B＝∠N，BC＝NP.则△ABC与△MNP 全等吗？为什么？ 答:全等.由三角形的内角和定理可知∠C＝∠P，根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP. 由此可以得到基本事实(AAS)的推论:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 归纳总结　两角分别相等且其中一组等角的 　 　⁠相等的两个三角形全等.(可以简写成“ 　 　⁠”或“ 　⁠”)  如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠D，再添加一个条件仍无法判断两个三角形全等的是(　 　) A.∠A＝∠F B.BC＝DE C.AB＝FD D.AC＝FE 知识点01：全等三角形判定的综合运用  阅读课本“例5”中的内容，掌握全等三角形性质与判定的综合运用. 讨论:如果AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线(或中线)，那么AD与A'D'还相等吗？试证明你的结论. 答:AD＝A'D'仍成立.理由如下: 如图，当AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线时，BD＝CD，B'D'＝C'D'. ∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，∴BD＝B'D'. 在△ABD和△A'B'D'中 ∴△ABD≌△A'B'D'(SAS)，∴AD＝A'D'. 当AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线时，∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'，∴∠BAD＝∠B'A'D'. 在△ABD和△A'B'D'中， ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)，∴AD＝A'D'. 如图，点B为AC上一点，AD∥CE，∠ADB＝∠CBE，BD＝EB.求证:AC＝AD＋CE. 合作探究 利用“AAS”判定线段之间的关系 1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证:BE＝CF. 证明:∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE＝CF. 变式演练　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，EF∥BC，PG∥AB，EF＝GC，求证:AP＝CF. 方法归纳交流 利用全等三角形说明线段或角相等，思路如下:(1)观察要说明的线段或角在哪两个可能全等的三角形中；(2)看准要说明的这两个三角形，看证明它们全等需要的条件中，已知什么，还缺什么；(3)探索、发现及推理所缺条件；(4)因为全等三角形对应角、对应边相等，所以要证明这两个角(或两条边)所在的三角形全等. 利用“AAS”判定三角形全等解决实际问题 2.如图，李华同学用11块高度都是1 cm的相同长方体(除颜色外，其他都相同)小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD(∠ABC＝90°，AB＝BC)，点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF. 解:∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠EAB＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF.在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE＝BF＝5 cm，BE＝CF＝6 cm， ∴EF＝5＋6＝11(cm). 答:两堵木墙之间的距离EF为11 cm. 变式演练　如图，把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6 m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8 m，求梯子下滑的高度. 方法归纳交流　全等三角形在生活中的实际应用，应抓住实际问题不变的量再结合已知条件进行判断两个三角形全等，从而求解. 知识总结 知识点01：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点02：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点03：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点04：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 知识点05：角角边（AAS）的应用实例 假设有两个三角形△ABC和△DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=EF。根据角角边（AAS）全等判定定理，我们可以得出△ABC≌△DEF的结论。 高频易错点拨 易错知识点01：基本概念理解不清 易错点：学生可能对“角角边”判定方法的基本定义理解不够深入，导致在应用时出错。 解析：“角角边”判定方法指的是如果两个三角形中有两对角分别相等，并且其中一组等角的对边也相等，那么这两个三角形全等。这里的关键是理解“两对角分别相等”和“其中一组等角的对边也相等”的含义。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在应用“角角边”判定方法时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确判定三角形全等。 解析：隐含条件包括公共角、对顶角相等，以及由角平分线、垂直平分线等性质得出的相等角或相等边。例如，如果两个三角形有公共边，并且这条公共边是两个相等角的夹边，那么就可以利用这条公共边和这两个相等角来判定三角形全等，尽管题目中没有直接给出这条边的信息。 易错知识点03：对应边、对应角找不准 易错点：在证明三角形全等时，学生可能会混淆对应边和对应角，导致证明过程出错。 解析：在“角角边”判定方法中，必须明确哪一对角是相等的，以及这一对相等角的对边也是相等的。如果找错了对应边或对应角，那么就无法正确应用“角角边”判定方法。因此，在证明过程中，要仔细分析题目给出的条件，并准确地标出对应边和对应角。 易错知识点04：混淆判定方法 易错点：学生可能会混淆不同的三角形全等判定方法，将“角角边”与其他判定方法（如“边角边”、“角边角”、“边边边”等）混淆。 解析：不同的三角形全等判定方法有不同的应用条件和适用范围。例如，“边角边”要求两边及其夹角分别相等，“角边角”要求两角及其夹边分别相等，“边边边”要求三边分别相等。而“角角边”则要求两对角分别相等且其中一组等角的对边也相等。因此，在应用时要仔细区分这些判定方法的不同之处。 易错知识点05：忽视图形特征 易错点：在解决具体问题时，学生可能会忽视图形的特殊性质（如直角三角形的直角、等腰三角形的底边和腰等），导致无法正确应用“角角边”判定方法。 解析：在解决与三角形全等有关的问题时，要充分利用图形的特殊性质。例如，在直角三角形中，可以利用直角这一特殊性质来简化证明过程；在等腰三角形中，可以利用底边和腰的相等关系来找出更多的相等元素。这些特殊性质往往能为证明三角形全等提供有力的帮助。 考点精讲1：用ASA或AAS证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·云南昭通·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【举一反三1】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 【举一反三2】（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【举一反三3】（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且，，，求证：． 考点精讲2：全等的性质ASA或者AAS的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【举一反三2】（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【举一反三3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 中档题真题练 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 4．（22-23八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，要测量一条河的宽度，先在的垂线上取两点、，使，再过点作，使点、、在同一条直线上，则可以说明，从而得到，因此测得的长就是的长．判定的依据是（    ） A．SAS B．HL C．SSS D．ASA 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是（    ）    A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 6．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C在上，，，与交于点O，则的度数为（    ） A．71° B．73° C．75° D．77° 7．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图所示：要测量河岸相对的两点、之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，使、与在同一直线上，那么测得、的距离为 米． 10．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 11．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．    12．（11-12八年级上·河南周口·期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 去． 13．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，，，求证：． 15．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    16．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，D是上一点，交于点E，，，求证：． 17．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    18．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于点G，交于点E，交于点F，连接．求证：，．    19．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2) 当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 培优题真题练 20．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 21．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024八年级·全国·竞赛）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 23．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于点G，交于点H；下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 25．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，则的长度为 ． 26．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得旗杆与楼之间距离米，楼高 米． 27．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 28．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 29．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 30．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是 ． A．①②    B．①③    C．①②③    D．②③④    31．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 32．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求边上的高的长度． 33．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，．求证：． 34．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 35．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第五讲 探索三角形全等的条件（角边角-AAS） 教学重点 1. 探索全等三角形的判定方法——“角角边”. 2. 能熟练运用“角角边”判定方法解决有关问题. 3.注重全等三角形的性质与判定的综合应用，能把证明一对角或线段相等的问题转化为证明它们所在的两个三角形全等. 重点:能用全等三角形的判定方法——“角角边”解决问题. 难点:能综合应用全等三角形的性质与判定解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：用ASA或AAS证明三角形全等 7 考点精讲2：全等的性质ASA或者AAS的综合 13 中档题真题练 17 培优题真题练 31 新知预习 问题导入 在上节课中我们学习了通过“角边角”判断两个三角形全等，如图，若我们将“两角及夹边”中的边换成其中一个角的对边，这样的两个三角形还会全等吗？ 预习导学 知识点01：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等  阅读课本本课时“思考”部分的内容，探讨判定三角形全等的“角角边”条件. 思考　如图，在△ABC和△MNP中，∠A＝∠M，∠B＝∠N，BC＝NP.则△ABC与△MNP 全等吗？为什么？ 答:全等.由三角形的内角和定理可知∠C＝∠P，根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP. 由此可以得到基本事实(AAS)的推论:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 归纳总结　两角分别相等且其中一组等角的 　对边　⁠相等的两个三角形全等.(可以简写成“ 　角角边　⁠”或“ 　AAS　⁠”)  如图，在△ABC和△DEF中，∠C＝∠E＝90°，∠B＝∠D，再添加一个条件仍无法判断两个三角形全等的是(　A　) A.∠A＝∠F B.BC＝DE C.AB＝FD D.AC＝FE 知识点01：全等三角形判定的综合运用  阅读课本“例5”中的内容，掌握全等三角形性质与判定的综合运用. 讨论:如果AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线(或中线)，那么AD与A'D'还相等吗？试证明你的结论. 答:AD＝A'D'仍成立.理由如下: 如图，当AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线时，BD＝CD，B'D'＝C'D'. ∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'，∴BD＝B'D'. 在△ABD和△A'B'D'中 ∴△ABD≌△A'B'D'(SAS)，∴AD＝A'D'. 当AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线时，∵△ABC≌△A'B'C'，∴AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C'，∴∠BAD＝∠B'A'D'. 在△ABD和△A'B'D'中， ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA)，∴AD＝A'D'. 如图，点B为AC上一点，AD∥CE，∠ADB＝∠CBE，BD＝EB.求证:AC＝AD＋CE. 证明:∵AD∥CE，∴∠A＝∠C. 在△ABD和△CEB中， ∴△ABD≌△CEB(AAS)，∴AD＝BC，AB＝CE. ∵AC＝AB＋BC，∴AC＝AD＋CE. 合作探究 利用“AAS”判定线段之间的关系 1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证:BE＝CF. 证明:∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE＝CF. 变式演练　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，EF∥BC，PG∥AB，EF＝GC，求证:AP＝CF. 证明:∵EF∥BC，PG∥AB，∠ABC＝90°，∴∠AEF＝∠ABC＝∠PGC＝90°，∠CPG＝∠A， 在△AEF和△PGC中， ∴△AEF≌△PGC(AAS)，∴AF＝CP，∴AF－PF＝CP－PF，∴AP＝CF. 方法归纳交流 利用全等三角形说明线段或角相等，思路如下:(1)观察要说明的线段或角在哪两个可能全等的三角形中；(2)看准要说明的这两个三角形，看证明它们全等需要的条件中，已知什么，还缺什么；(3)探索、发现及推理所缺条件；(4)因为全等三角形对应角、对应边相等，所以要证明这两个角(或两条边)所在的三角形全等. 利用“AAS”判定三角形全等解决实际问题 2.如图，李华同学用11块高度都是1 cm的相同长方体(除颜色外，其他都相同)小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD(∠ABC＝90°，AB＝BC)，点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF. 解:∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴∠EAB＋∠ABE＝90°. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF.在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF(AAS)， ∴AE＝BF＝5 cm，BE＝CF＝6 cm， ∴EF＝5＋6＝11(cm). 答:两堵木墙之间的距离EF为11 cm. 变式演练　如图，把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6 m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8 m，求梯子下滑的高度. 解:∵在△ABM和△DCM中， ∴△ABM≌△DCM(AAS)，∴BM＝CM＝6 m，AM＝DM＝8 m， ∴AC＝AM－CM＝2 m.答:梯子下滑的高度是2 m. 方法归纳交流　全等三角形在生活中的实际应用，应抓住实际问题不变的量再结合已知条件进行判断两个三角形全等，从而求解. 知识总结 知识点01：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点02：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点03：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点04：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 知识点05：角角边（AAS）的应用实例 假设有两个三角形△ABC和△DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，且AB=EF。根据角角边（AAS）全等判定定理，我们可以得出△ABC≌△DEF的结论。 高频易错点拨 易错知识点01：基本概念理解不清 易错点：学生可能对“角角边”判定方法的基本定义理解不够深入，导致在应用时出错。 解析：“角角边”判定方法指的是如果两个三角形中有两对角分别相等，并且其中一组等角的对边也相等，那么这两个三角形全等。这里的关键是理解“两对角分别相等”和“其中一组等角的对边也相等”的含义。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在应用“角角边”判定方法时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确判定三角形全等。 解析：隐含条件包括公共角、对顶角相等，以及由角平分线、垂直平分线等性质得出的相等角或相等边。例如，如果两个三角形有公共边，并且这条公共边是两个相等角的夹边，那么就可以利用这条公共边和这两个相等角来判定三角形全等，尽管题目中没有直接给出这条边的信息。 易错知识点03：对应边、对应角找不准 易错点：在证明三角形全等时，学生可能会混淆对应边和对应角，导致证明过程出错。 解析：在“角角边”判定方法中，必须明确哪一对角是相等的，以及这一对相等角的对边也是相等的。如果找错了对应边或对应角，那么就无法正确应用“角角边”判定方法。因此，在证明过程中，要仔细分析题目给出的条件，并准确地标出对应边和对应角。 易错知识点04：混淆判定方法 易错点：学生可能会混淆不同的三角形全等判定方法，将“角角边”与其他判定方法（如“边角边”、“角边角”、“边边边”等）混淆。 解析：不同的三角形全等判定方法有不同的应用条件和适用范围。例如，“边角边”要求两边及其夹角分别相等，“角边角”要求两角及其夹边分别相等，“边边边”要求三边分别相等。而“角角边”则要求两对角分别相等且其中一组等角的对边也相等。因此，在应用时要仔细区分这些判定方法的不同之处。 易错知识点05：忽视图形特征 易错点：在解决具体问题时，学生可能会忽视图形的特殊性质（如直角三角形的直角、等腰三角形的底边和腰等），导致无法正确应用“角角边”判定方法。 解析：在解决与三角形全等有关的问题时，要充分利用图形的特殊性质。例如，在直角三角形中，可以利用直角这一特殊性质来简化证明过程；在等腰三角形中，可以利用底边和腰的相等关系来找出更多的相等元素。这些特殊性质往往能为证明三角形全等提供有力的帮助。 考点精讲1：用ASA或AAS证明三角形全等 【典例精讲】（21-22八年级上·云南昭通·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法： ①； ②和面积相等； ③； ④； ⑤． 其中正确的有（    ） A．1个 B．5个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，故④正确 ∴，故①正确， ∵， ∴，故⑤正确， ∴，故③正确， ∵，点A到的距离相等， ∴和面积相等，故②正确， 综上所述，正确的有5个， 故选：B． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键． 【举一反三1】（22-23八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【思路点拨】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【规范解答】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【考点剖析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【举一反三2】（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 【答案】(1) (2)12000元 (3)千克 【思路点拨】（1）由直接可以得到； （2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】（1）， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使，连接． . 在与中， ， ，. ，即. 在与中， ， ， （米）． 五边形的周长为（米）， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元. （3）千克 ， 需小麦种数量为：(千克）． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”． 【举一反三3】（22-23八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，且，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】根据可得，根据可得，即可根据进行求证． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理． 考点精讲2：全等的性质ASA或者AAS的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【规范解答】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 【举一反三1】（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【思路点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三2】（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】/45度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【规范解答】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 中档题真题练 1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】A 【规范解答】试题分析：∵∠1=∠2，∴∠ACD+∠2=∠ACD+∠1，即∠ACB=∠ECD．又∵BC=DC，AC=EC，∴△ABC≌△EDC（SAS）．故选A． 考点：全等三角形的判定． 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形全等判定及性质，余角的性质，解题关键是证明三角形全等．先根据等角的余角相等得出，再证明，然后利用全等三角形的性质并结合已知数据即可求得结果． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 在和中， ， ， 故选：B． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键． ①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理． 【规范解答】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意； B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意； C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意； D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．（22-23八年级上·河北石家庄·开学考试）如图，要测量一条河的宽度，先在的垂线上取两点、，使，再过点作，使点、、在同一条直线上，则可以说明，从而得到，因此测得的长就是的长．判定的依据是（    ） A．SAS B．HL C．SSS D．ASA 【答案】D 【思路点拨】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意可知利用ASA即可判定出，继而得到本题答案． 【规范解答】解：∵，在的垂线上取两点、， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知的六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与全等的三角形是（    ）    A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 甲的与的夹边和的与的夹边对应相等，故可利用证明乙三角形与全等； 丙的角和边与的角和边对应相等，故可利用证明丙三角形与全等， 甲、乙、丙三个三角形中和全等的是乙和丙， 故选：D． 6．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C在上，，，与交于点O，则的度数为（    ） A．71° B．73° C．75° D．77° 【答案】B 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质求出是解题的关键．根据三角形内角和定理推出根据等量代换及角的和差求出利用证明，根据全等三角形的性质得出再根据等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 7．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D， 则下列结论：；；；．其中一定成立的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；先证得，，，则①②③成立，再由直角三角形的性质得，，当时，，则④不一定成立，即可得出结论． 【规范解答】∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故①②③成立， ∵， ∴，， 当时，， 故④不一定成立，一定成立的有3个， 故选：C． 8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则 ． 【答案】7 【思路点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ， ． 故答案是：7． 9．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图所示：要测量河岸相对的两点、之间的距离，先从处出发与成角方向，向前走米到处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转沿方向再走米，到达处，使、与在同一直线上，那么测得、的距离为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．先分别证明，，，进而得，从而得，即可求解． 【规范解答】∵先从处出发与成角方向， ∴， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵沿方向再走米，到达处，即 ∴， 故答案为： 10．（23-24八年级上·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【规范解答】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 11．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．    【答案】110 【思路点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 12．（11-12八年级上·河南周口·期中）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带 去． 【答案】③ 【思路点拨】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 【规范解答】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③ 13．（23-24八年级上·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案． 【规范解答】解：是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：6． 14．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查平行线性质，全等三角形判定．根据平行线的性质可得，，再根据等式的性质可得，然后利用可证明． 【规范解答】解：证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知：如图，、交于点，、为上的两点，，，，求证：．    【答案】见详解 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．首先证明，推出，再根据可以证明． 【规范解答】证明：在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 16．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，D是上一点，交于点E，，，求证：． 【答案】详见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键；由平行线的性质得，，利用证明即可． 【规范解答】证明：， ，， 在和中，， ， （全等三角形的对应边相等）； 17．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．    【答案】博智楼的高度是18米 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【规范解答】解：由题意，得． ∵，， ∴． 在与中， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即． 答：博智楼的高度是18米． 18．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，是斜边上的高，的平分线交于点G，交于点E，交于点F，连接．求证：，．    【答案】证明见解析 【思路点拨】此题考查了平行线的性质，同角的余角相等，全等三角形的性质和判定等知识， 首先根据平行线的性质和同角的余角相等得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明． 【规范解答】∵在中，是斜边上的高， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵的平分线交于点G， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 19．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【思路点拨】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 培优题真题练 20．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【规范解答】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 21．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 22．（2024八年级·全国·竞赛）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：在和中， ∵， ∴， 在和中， ，， ∵， ∴， ∴与不全等， 故选：． 23．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可． 【规范解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 24．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于点G，交于点H；下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，对顶角相等，等角的余角相等判断①，证明，结合外角的性质，判断②，外角的性质判断③，平角的定义，四边形的内角和和三角形的外角判断④． 【规范解答】解：∵、分别是高和角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴；故①正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴；故④正确； 故选C． 25．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，使得，连接交于点H，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，过点作于点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，证明，进而得到，通过证明，得到，则． 【规范解答】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）为了测量一幢楼高，在旗杆与楼之间选定一点，使点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶视线与地面夹角，量得旗杆与楼之间距离米，楼高 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 27．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【规范解答】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， ， ； ②，， 则，， 解得：，， 故答案为：或． 29．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案； 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， 在与， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（23-24八年级上·北京丰台·阶段练习）如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是 ． A．①②    B．①③    C．①②③    D．②③④    【答案】 【思路点拨】本题要判定，已知，公共角，具备了一组边，一组角对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能． 【规范解答】解：、已知，公共角，添加，根据，能判定，故①符合题意；已知，公共角，添加，根据能判定，故②符合题意；已知，公共角，添加，根据能判定，故③符合题意；已知，公共角，添加，不判定，故④不符合题意， 综上所述：正确的条件有：①②③． 故选：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 31．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 . 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平行线的判定和性质． 延长交直线a于F，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到，推出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据即可得到结论． 【规范解答】解：延长交直线a于F， 于点D，于点E， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 32．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求边上的高的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等面积法等知识点，关键是选择恰当的判定条件判定三角形全等成为解题的关键． （1）利用“”即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再利用等面积法求解即． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， 设边上的高的长度为， ∵ ∴， 解得：， ∴边上的高的长度为． 33．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据，，得出， ，再证明，即可证明． 【规范解答】证明：∵，， ， ， ， ，即， 在和中 ， ． 34．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连． (1)求证： (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案． 【规范解答】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 35．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）（1）如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，由，可得，证明，则，； （2）证明过程同理（1）． 【规范解答】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：成立，证明如下； ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$