第四讲 探索三角形全等的条件（角边角-ASA）（新知预习+三大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第四讲 探索三角形全等的条件（角边角-ASA） 教学目标： 1.探索三角形全等的判定方法——“角边角”. 2.能熟练运用“角边角”判定方法解决有关问题. 教学重点：能用三角形全等的判定方法——“角边角”解决问题. 教学难点：熟练运用“角边角”判定方法解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：角边角（ASA）性质的理解 7 考点精讲2：用ASA证明三角形全等 8 考点精讲3：用ASA证明三角形全等 9 中档题真题练 11 培优题真题练 15 新知预习 问题导入 如图，王辉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃？如果可以，那么带哪块去合适呢？ 预习导学 知识点01：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”)  阅读课本本课时“讨论”和“操作”部分的内容，回答下列问题. 思考　(1)用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，那么你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？ (2)如下图，△ABC与△PQR，△DEF能完全重合吗？ 答:思考(1)中的第一个被挡住的纸板不能画出唯一的三角形，第二个被挡住的纸板可以画出唯一的三角形. 思考(2)中△ABC与△DEF能完全重合，与△PQR不能完全重合. 操作 用直尺和圆规按下列作法作△ABC. 作法 已知图形 1.作AB＝a. 2.在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM，BN相交于点C. △ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的三角形和其他同学作的三角形能重合吗？ 答:根据要求所作出的三角形能完全重合.实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 归纳总结　两角及其 　 ⁠分别相等的两个三角形全等.(可以简写为“ 　 　⁠”或“  　⁠”)  已知a，b，c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是(　 　) A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙 知识点01：“角边角”判定与性质的综合运用 阅读课本本课时“例4”中的内容，掌握“角边角”判定与性质的综合运用. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC.求证:AC＝DF. 证明:∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD， 即AB＝ED，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AC＝DF. 合作探究 “ASA”判定的综合运用 1.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，求AB的长. 解:∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F. 在△AED和△CEF中， ∴△AED≌△CEF(ASA)， ∴AD＝CF＝5.又∵BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5＋2＝7. 变式演练　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证:AD＝MC. 方法归纳交流 利用“ASA”判定两个三角形全等，一定要证明两个三角形有两个角以及这两个角的 　夹边　⁠分别相等，证明时要加强对夹边的认识.  “ASA”判定的实际应用 2.如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行.那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？ 解:A，B两地到路段MN的距离相等. 理由:如图，过点A作AE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F. ∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠BFN＝∠AEM＝90°.∵AM∥BN，∴∠M＝∠N，∴∠A＝∠B. 在△AEM和△BFN中， ∴△AEM≌△BFN(ASA)， ∴AE＝BF，∴A，B两地到路段MN的距离相等. 变式演练　如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.小明测得C，D间的距离为90 m，求在A点处小明与游艇的距离. 方法归纳交流　将实际问题转化为三角形全等问题，其中正确画出示意图，把已知条件转化为三角形的边、角条件是解决问题的关键，同时，此类题也考查了学生的抽象思维能力. 知识总结 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：注意事项 找准对应关系：在应用角边角（ASA）定理时，需要准确找出两个三角形的对应角和对应边。特别是对应角的夹边，这是判定三角形全等的关键。 隐含条件的利用：有时题目中并未直接给出所有需要的条件，但可以通过隐含条件（如公共边、公共角等）进行推导和转化，从而得到所需的角边角对应相等条件。 辅助线的添加：在证明三角形全等的过程中，有时需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。添加辅助线时需要注意其合理性和必要性。 高频易错点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用角边角（ASA）定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用角边角（ASA）定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点精讲1：角边角（ASA）性质的理解 【典例精讲】（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024八上·黔西南期末）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【举一反三2】（2024八上·开化期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【举一反三3】（2024八上·昆明期中）如图，，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 考点精讲2：用ASA证明三角形全等 【典例精讲】（2024七下·顺德月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【举一反三1】（2024八上·海曙期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【举一反三2】（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（　　） A．， B．， C．， D．， 考点精讲3：用ASA证明三角形全等 【典例精讲】（2024八上·双辽期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，． （1）若，求证：； （2）若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【举一反三1】（2024八上·安乡县期末）如图1：在中，平分，且， （1）若，求的长； （2）如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【举一反三2】（2023八上·义乌月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形．根据定义解答下列各题： （1）如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，求∠DCE的度数． （2）在等边三角形ABC上，AB=15cm，完成以下问题： ①如图2，若动点P从点A沿着AB运动，速度为1cm/s，动点Q从点C沿着CA运动，速度为2cm/s．两个动点同时出发，当点Q运动到点A时所有运动停止．试说明运动5秒后四边形BPQC为对补四边形. ②如图3，若动点P从点A沿著AB运动，速度为1cm/s，动点Q从点A沿着AC运动，速度为1.5cm/s，两个动点同时出发，当点Q运动到点C时所有运动停止．连结PC，BQ交于点D，当四边形APDQ为对补四边形时，求此时的运动时间． 【举一反三3】（2023八上·潮南期末）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以， 请直接写出夹角α的大小； 若不可以，请说明理由． 中档题真题练 1．（2023八上·顺平期中）如图，垂直的平分线于点，为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 2．如图，，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024八上·余姚期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．AE+CF＝AB C．AE2+BF2＝EF2 D．△DEF始终为等腰直角三角形 4．（2024八上·潮州期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 5．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是　 　．（不添加辅助线，写出一个即可） 6．（2024八上·江口期末）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，延长AD至点E，连接BE，CE，∠ABD∠3＝90°，∠1＝∠2＝∠3，有以下几个结论：①△ABD为等腰三角形；②AE＝AC；③BE＝CE＝CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论是 　 　（填序号）． 7．（2023八上·萧山月考）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝2.8，BC＝1.6，则BD的长为　 　． 8．如图，已知于于是CD的中点，则AE的长为　 　. 9．（2024八上·通道期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P． （1）求证：； （2）作于点H，设，请用含的式子表示的长度． 10．（2024八上·绿园期末） 如图，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边作等边△ACD，等边△BCE，连接AE、BD分别交CD，CE于M、N两点． （1）求证：△ACE≌△DCB． （2）试猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想． 11．（2023八上·青羊月考）已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 12．（2024八上·江口期末）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD. （1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝ AD，求DE的长； （2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF. 培优题真题练 1．（2023八上·娄底月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．3 D．4 2．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　 　． 3．（2021八上·江阴期中）如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC=　 　. 4．（2023八上·洪山月考） 如图，，的延长线交于H． （1）求证：； （2）求证：点H是的中点； （3）若，求． 5．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD 6．（2024八上·衡山期末）综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． （1）探究一小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； （2）探究二小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由； （3）探究三小刚在的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积． 7．（2024八上·来宾月考）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证： （1） ； （2） ． 8．（2021八上·铁东期末）已知：在中，，，过点C作于点D，点E是边上一动点（不含端点A、B），连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G（如图①）. （1）求证：； （2）若点E运动到线段上时（如图②），试猜想、的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论； （3）过点A作垂直于直线，垂足为点H，并交的延长线于点M（如图③），找出图中与相等的线段，并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第四讲 探索三角形全等的条件（角边角-ASA） 教学目标： 1.探索三角形全等的判定方法——“角边角”. 2.能熟练运用“角边角”判定方法解决有关问题. 教学重点：能用三角形全等的判定方法——“角边角”解决问题. 教学难点：熟练运用“角边角”判定方法解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 6 考点精讲1：角边角（ASA）性质的理解 7 考点精讲2：用ASA证明三角形全等 9 考点精讲3：用ASA证明三角形全等 11 中档题真题练 18 培优题真题练 32 新知预习 问题导入 如图，王辉不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃？如果可以，那么带哪块去合适呢？ 预习导学 知识点01：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写为“角边角”或“ASA”)  阅读课本本课时“讨论”和“操作”部分的内容，回答下列问题. 思考　(1)用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？如果能，那么你画的三角形与其他同学画的三角形能完全重合吗？ (2)如下图，△ABC与△PQR，△DEF能完全重合吗？ 答:思考(1)中的第一个被挡住的纸板不能画出唯一的三角形，第二个被挡住的纸板可以画出唯一的三角形. 思考(2)中△ABC与△DEF能完全重合，与△PQR不能完全重合. 操作 用直尺和圆规按下列作法作△ABC. 作法 已知图形 1.作AB＝a. 2.在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，∠NBA＝∠β，AM，BN相交于点C. △ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的三角形和其他同学作的三角形能重合吗？ 答:根据要求所作出的三角形能完全重合.实践告诉我们判定两个三角形全等的又一个基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 归纳总结　两角及其 　夹边　⁠分别相等的两个三角形全等.(可以简写为“ 　角边角　⁠”或“ 　ASA　⁠”)  已知a，b，c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是(　C　) A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.只有丙 知识点01：“角边角”判定与性质的综合运用 阅读课本本课时“例4”中的内容，掌握“角边角”判定与性质的综合运用. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC.求证:AC＝DF. 证明:∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD， 即AB＝ED，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AC＝DF. 合作探究 “ASA”判定的综合运用 1.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，求AB的长. 解:∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F. 在△AED和△CEF中， ∴△AED≌△CEF(ASA)， ∴AD＝CF＝5.又∵BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5＋2＝7. 变式演练　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，M为对角线AC上一点，连接BM，若AC＝BC，∠AMB＝∠BCD，求证:AD＝MC. 证明:∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠MCB，∵∠AMB＝∠BCD， ∠CBM＋∠ACB＝∠AMB，∠ACB＋∠ACD＝∠BCD， ∴∠CBM＝∠ACD.在△ADC和△CMB中， ∴△ADC≌△CMB(ASA).∴AD＝MC. 方法归纳交流 利用“ASA”判定两个三角形全等，一定要证明两个三角形有两个角以及这两个角的 　夹边　⁠分别相等，证明时要加强对夹边的认识.  “ASA”判定的实际应用 2.如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行.那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？ 解:A，B两地到路段MN的距离相等. 理由:如图，过点A作AE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F. ∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠BFN＝∠AEM＝90°.∵AM∥BN，∴∠M＝∠N，∴∠A＝∠B. 在△AEM和△BFN中， ∴△AEM≌△BFN(ASA)， ∴AE＝BF，∴A，B两地到路段MN的距离相等. 变式演练　如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.小明测得C，D间的距离为90 m，求在A点处小明与游艇的距离. 解:在△ABS和△CBD中， ∴△ABS≌△CBD(ASA)，∴AS＝CD. ∵CD＝90 m，∴AS＝90 m. 答:在A点处小明与游艇的距离为90 m. 方法归纳交流　将实际问题转化为三角形全等问题，其中正确画出示意图，把已知条件转化为三角形的边、角条件是解决问题的关键，同时，此类题也考查了学生的抽象思维能力. 知识总结 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：注意事项 找准对应关系：在应用角边角（ASA）定理时，需要准确找出两个三角形的对应角和对应边。特别是对应角的夹边，这是判定三角形全等的关键。 隐含条件的利用：有时题目中并未直接给出所有需要的条件，但可以通过隐含条件（如公共边、公共角等）进行推导和转化，从而得到所需的角边角对应相等条件。 辅助线的添加：在证明三角形全等的过程中，有时需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。添加辅助线时需要注意其合理性和必要性。 高频易错点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用角边角（ASA）定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用角边角（ASA）定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点精讲1：角边角（ASA）性质的理解 【典例精讲】（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意； B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意； C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意； D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意. 故答案为：C. 【思路点拨】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项和图形即可判断求解. 【举一反三1】（2024八上·黔西南期末）一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【规范解答】由题意可得拿 ①② 或 ②④ 都可以得到三角形全等， 故答案为：B. 【思路点拨】根据ASA得到两个三角形全等，即可求解. 【举一反三2】（2024八上·开化期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【规范解答】解：由图知：有确定的两角及夹边， ∴师傅配出相同玻璃的依据是角边角（ASA）. 故答案为：D. 【思路点拨】由题意可知：师傅配出相同玻璃的依据是角边角. 【举一反三3】（2024八上·昆明期中）如图，，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解： MB=ND ， ∠MBA=∠NDC ， 当∠M=∠N时，根据ASA可判定△ABM≌△CDN ，故该选项不符合题意； 当AB=CD时，根据SAS可判定△ABM≌△CDN ，故该选项不符合题意； 当AM=CN时，不能判定△ABM≌△CDN ，故该选项符合题意； 当AM∥CN时，可得∠MAB=∠NCD，根据AAS可判定△ABM≌△CDN ，故该选项不符合题意； 故答案为：C． 【思路点拨】A、根据已知用角边角判断△ABM≌△CDN； B、根据已知用边角边判断△ABM≌△CDN； C、由已知条件用边边角不能判断△ABM≌△CDN； D、由平行线的性质并结合已知用角角边判断△ABM≌△CDN. 考点精讲2：用ASA证明三角形全等 【典例精讲】（2024七下·顺德月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D 【规范解答】解：∵∠BOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°， ∴∠BOD=∠OCE， 在△OBD与△COE中， ， ∴△OBD≌△COE， ∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m， ∴DE=OD-OE=0.4m， ∵B点距离地面1m， ∴AE=1+0.4=1.4m， ∴小丽距离地面的高度是1.4m . 故答案为：D. 【思路点拨】利用AAS证出△OBD≌△COE，得出CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，从而得出DE=0.4m，AE=1+0.4=1.4m，即可得出小丽距离地面的高度是1.4m . 【举一反三1】（2024八上·海曙期末）如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【思路点拨】（1）利用垂直的定义可证得∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，利用余角的性质可证得∠BAC=∠DCE，然后利用ASA可证得结论. （2）利用全等三角形的性质可证得AC=CE，同时可求出∠CED的度数，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠AEC的度数，然后根据∠AED=∠AEC+∠CED，代入计算求出∠AED的度数. 【举一反三2】（2024八上·黔东南期末）如图，是和的公共边，下列条件不能判定的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【规范解答】解：A、由SAS能判定 ，不符合题意； B、由SSA不能判定 ，符合题意； C、由SSS能判定 ，不符合题意； D、由ASA能判定 ，不符合题意. 故答案为：B. 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法：SAS、SSS、ASA即可判断. 考点精讲3：用ASA证明三角形全等 【典例精讲】（2024八上·双辽期末）如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，． （1）若，求证：； （2）若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵等腰直角中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【思路点拨】(1)根据题意证明Rt△AMB≌Rt△EMB，得AM=EM， ，从而说明为的垂直平分线 ，由垂直平分线的性质得 ，得到 ，最后证得∠BED=∠BAC=90°，所以DE⊥BC； (2)先证∠CAE=∠ABG=90°-∠ADB，再根据等腰直角三角形的性质得∠C=∠ABC=45°，因为AH⊥BC于点H，所以∠BAG=∠CAG=∠BAC=45°，则∠C=∠BAG，AC=BA，即可根据“ASA”证明△ACE≌△BAG，得CE=AG. 【举一反三1】（2024八上·安乡县期末）如图1：在中，平分，且， （1）若，求的长； （2）如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 【思路点拨】（1）延长AD交BC于点H，根据三角形全等条件ASA，可证△BAD≌△BHD，可得HB=AB=6，HD=AD=2，即AH=4，根据∠CAD=∠ACB，可得CH=AH=4，由此得出BC的长； （2）根据三角形全等条件ASA，可证△AHE≌△BFE，可得AH=BF=4 【举一反三2】（2023八上·义乌月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形．根据定义解答下列各题： （1）如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，求∠DCE的度数． （2）在等边三角形ABC上，AB=15cm，完成以下问题： ①如图2，若动点P从点A沿着AB运动，速度为1cm/s，动点Q从点C沿着CA运动，速度为2cm/s．两个动点同时出发，当点Q运动到点A时所有运动停止．试说明运动5秒后四边形BPQC为对补四边形. ②如图3，若动点P从点A沿著AB运动，速度为1cm/s，动点Q从点A沿着AC运动，速度为1.5cm/s，两个动点同时出发，当点Q运动到点C时所有运动停止．连结PC，BQ交于点D，当四边形APDQ为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD为对补四边形，∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A＝75°； （2）解：①如图2中，当t=5s时． ∴AP＝5cm，AQ=15-10=5cm ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B＝∠C＝60°， ∴∠APQ＝∠AQP＝60°∴∠CQP＝∠CPQ＝120°， ∴∠CQP+∠B＝∠CPQ+∠C＝180°，∴四边形BCQP是对补四边形． ②如图3中，设运动时间为xs， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝CB， ∵四边形APDQ是对补四边形， ∴∠PDQ＝∠BDC＝120°， ∴∠CBD+∠DCB＝60°， ∵∠BCD+∠ACP＝60°， ∴∠CBQ＝∠ACP， ∴△ACP≌△CBQ（ASA）， ∴AP＝CQ，∴x＝10﹣1.5x， 解得：x＝4． 【思路点拨】（1）根据对补四边形的定义得 ∠A+∠BCD＝180°， 根据平角的定义得 ∠BCD+∠DCE＝180°， 推出 ∠DCE＝∠A ，即可求得； （2） ①根据运功距离=运动速度×运动时间，求得AP和AQ，再根据等边三角形的性质得∠A=∠B＝∠C＝60°，即可证明； ②设运动时间为x s，根据等边三角形的性质得∠A＝∠ACB＝60°，AC＝CB，根据对补四边形的定义得 ∠PDQ＝∠BDC＝120°， 根据三角形的内角和定理得 ∠CBD+∠DCB＝60°，推出∠CBQ＝∠ACP ，依据ASA判定 △ACP≌△CBQ 得 AP＝CQ， 列出方程求解即可. 【举一反三3】（2023八上·潮南期末）如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由； （2）点P在滑动时，当AP长为多少时，△ADP与△BPC全等，并说明理由； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以， 请直接写出夹角α的大小； 若不可以，请说明理由． 【答案】（1）解：△ACP是直角三角形，理由为： ∵PN∥BC， ∴∠α＝∠NPM＝30°， 又∵∠ACB＝120°， ∴∠ACP＝120°−30°＝90°， ∴△ACP是直角三角形； （2）解：当AP=8时，△ADP≌△BPC， 理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°， 又∵∠APC是△BPC的一个外角， ∴∠APC＝∠B＋∠α＝30°＋∠α， ∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD， ∴∠α＝∠APD， 又∵AP＝BC＝8， ∴△ADP≌△BPC（ASA）； （3）解：△PCD的形状可以是等腰三角形，理由如下： ∵∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°， ∴∠α＝45°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°， ∴α＝90°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°， 即120°−α＝120°， ∴α＝0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形． 【思路点拨】（1）△ACP为直角三角形，理由为：由二直线平行，内错角相等得∠α＝∠NPM＝30°，进而根据角的和差求出∠ACP为直角，即可得证； （2）当AP＝8时，△ADP与△BPC全等，理由为：根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质及角的和差得到∠α＝∠APD，结合AP＝BC，利用ASA即可得证； （3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 中档题真题练 1．（2023八上·顺平期中）如图，垂直的平分线于点，为中点，连接，若的面积为4，则的面积为（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【规范解答】延长交于点， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点， 又∵为中点， ∴，，， ∴，即， ∴. 故答案为：D． 【思路点拨】延长交于点，证明，根据三角形中线的性质可得，，，进而即可求解． 2．如图，，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：∵ ∴∠BCA=∠CAD，AD∥BC，C正确； ∵∠BCA=∠CAD，AC=AC，∠1=∠2， ∴△ABC≌△CDA，A正确； ∴AB=CD，D正确； B无法判断，错误. 故答案为：B. 【思路点拨】根据内错角相等，两直线平行，可得AD∥BC；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得△ABC≌△CDA，AB=CD. 3．（2024八上·余姚期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．AE+CF＝AB C．AE2+BF2＝EF2 D．△DEF始终为等腰直角三角形 【答案】B 【规范解答】解：A、连接，如图所示： ∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，A不符合题意； B、∵，∴，即． ∴， 又∵， 而与不一定相等， ∴不一定等于，B符合题意； C、在中，∴，C不符合题意； D、∵，∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，D不符合题意； 故答案为：B. 【思路点拨】连接CD，证出即可证得A；根据线段相等证出，可证得B；根据线段相等和勾股定理可证得C；根据判断角度即可. 4．（2024八上·潮州期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【规范解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA. 故答案为：D. 【思路点拨】由图可知：三角形两角及夹边可以作出，然后根据全等三角形的判定定理进行解答. 5．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是　 　．（不添加辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【规范解答】解：∵∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， 故答案为：∠BAD=∠CAE. 【思路点拨】判定一般三角形全等的方法有：SAS、ASA、SSS、AAS.由已知∠B=∠C，可得AB=AC，要判定△ABE≌△ACD，添加条件∠BAD=∠CAE利用ASA判定其全等。 6．（2024八上·江口期末）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，延长AD至点E，连接BE，CE，∠ABD∠3＝90°，∠1＝∠2＝∠3，有以下几个结论：①△ABD为等腰三角形；②AE＝AC；③BE＝CE＝CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论是 　 　（填序号）． 【答案】①②③ 【规范解答】解：①作AF平分∠BAD，交BC于点F， ∵∠BAD＝∠3，∠ABD∠3＝90°， ∴∠BAF∠3＝∠DAF， ∴∠ABF+∠BAF＝90°， ∴AF⊥BD， ∴AB＝AD，故①正确； ②∵∠ABE＝∠ABD+∠3，∠ADC＝∠1+∠ABD，∠1＝∠3， ∴∠ABE＝∠ADC， 在△ABE和△ADC中， ， ∴△ABE≌△ADC（ASA）， ∴AE＝AC，故②正确， ③∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠BCE+∠ACB（180°﹣∠2）＝90°∠2， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴∠CDE＝∠ADB＝∠ABD（180°﹣∠1）＝90°∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠CDE＝∠AEC＝90°∠1， ∴CE＝CD，∠BCE＝180°﹣∠CDE﹣∠AEC＝180°﹣2×（90°∠1）＝∠1， ∵∠1＝∠3， ∴∠BCE＝∠3， ∴BE＝CE， ∴BE＝CE＝CD，故③正确； ④∵∠ABC＝90°﹣∠2∠1＝90°∠2，∠BCE＝∠3＝∠2， ∴∠ABC与∠BCE不一定相等， ∴CB不一定平分∠ACE，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【思路点拨】结合图形，根据角平分线，全等三角形的判定与性质等计算求解即可。 7．（2023八上·萧山月考）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝2.8，BC＝1.6，则BD的长为　 　． 【答案】0.6 【规范解答】解：延长BD交AC于点E，如图， ∵ CD平分∠ACB， ∴ ∠BCD=∠ECD， ∵ BD⊥CD， ∴ ∠BDC=∠EDC=90°， ∵ CD=CD， ∴ △BCD≌△ECD（ASA）， ∴ BC=EC=1.6，BD=ED， ∴ AE=AC-EC=1.2， ∵ ∠A=∠ABD， ∴ △ABE为等腰三角形， ∴ AE=BE=1.2， ∴ BD=BE=0.6. 故答案为：0.6. 【思路点拨】延长BD交AC于点E，依据ASA判定△BCD≌△ECD得到 BC=EC，BD=ED，再根据等腰三角形的判定和性质，即可求得. 8．如图，已知于于是CD的中点，则AE的长为　 　. 【答案】6.5 【规范解答】解：延长AE交BC于点F， ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD//BC， ∵∠D＝∠C， ∵点E是CD的中点， ∴DE=CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△EAD≌△EFC（ASA）， ∴AE=FE，AD=CF=5， ∴BF=BC-CF=5， ∴， ∴. 故答案为：6.5. 【思路点拨】延长AE交BC于点F，证明△EAD≌△EFC，则可以得到FB的值，由勾股定理计算得到AE的长.​​​​​​​ 9．（2024八上·通道期末）如图，在等边中，点M为上任意一点，延长至点N，使，连接交于点P． （1）求证：； （2）作于点H，设，请用含的式子表示的长度． 【答案】（1）证明：如图，在等边中过点作与交于， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ， ； （2）解：∵于点，且是等边三角形， ∴是的中点， 又∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【思路点拨】（1）在等边中过点作与交于，先根据平行线的性质结合题意得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解； （2）先根据等边三角形的性质得到是的中点，进而根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行线段的运算即可求解。 10．（2024八上·绿园期末） 如图，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边作等边△ACD，等边△BCE，连接AE、BD分别交CD，CE于M、N两点． （1）求证：△ACE≌△DCB． （2）试猜想MN与AB的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°， ∵∠DCA＝∠ECB＝60°， ∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△DCB中， ． ∴△ACE≌△DCB（SAS）； （2）解：MN∥AB， 理由如下：由（1）得∠CAE＝∠CDB， ∵∠MCN＝180°﹣∠ECB﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ACM＝∠DCN＝60°， 在△ACM和△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM＝CN， ∴∠CMN＝∠CNM＝（180°﹣∠MCN）÷2＝（180°﹣60°）÷2＝60°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠CMN＝∠ACD， ∴MN∥AB． 【思路点拨】(1)从问题入手，要证两三角形全等，已知条件中有2个等边三角形，可以得到两组对应边分别相等，考虑SSS定理或者SAS定理，等边三角形的性质有各个内角都是60°，相等的两个角加上同一个角之后仍相等，故由SAS定理判定全等；（2）观察图形， MN与AB的位置关系，从相交或平行来看，明显是平行，那么证明两直线平行可以从内错角相等入手，即∠CMN＝∠ACD，因为在（1）的证明中我们已经找到了几个60°的角包括∠MCN=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可得∠CMN＝∠ACD，把问题转化为求证CM＝CN，因此观察两条线段所在的三角形△ACM和△DCN，在（1）的结论下可以判定符合ASA定理，故整理思路即可证明MN∥AB。 11．（2023八上·青羊月考）已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得， 又 ∴ 【思路点拨】（1）先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解； （2）先结合题意运用勾股定理求出DF的长，进而运用三角形的面积即可求解。 12．（2024八上·江口期末）已知：如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，EC＝DC，BD⊥AD于点D，AD交BC于点F，点A、E、D三点共线，连接BD. （1）若∠ACE＝∠BCD，AD＝8，BD＝ AD，求DE的长； （2）若∠ACB＝∠ECD＝90°，且BD＝CE，求证：BC＝AB﹣CF. 【答案】（1）解：在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（ASA）， ∴AE＝BD， ∵BD＝ AD，AD＝8， ∴BD＝ ， ∴AE＝ ， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣ ＝ . （2）证明：延长AC、BD，它们相交于点H，如图， ∵CE＝BD， 而CE＝CD， ∴BD＝CD， ∴∠DCB＝∠DBC， ∵∠H+∠CBH＝90°，∠CHD+∠DCB＝90°， ∴∠H＝∠HCD， ∴CD＝HD， ∴DH＝DB， 而AD⊥BH， ∴AB＝AH， ∵∠ACF＝∠ADB＝90°，∠AFC＝∠BFD， ∴∠CAF＝∠CBH， 在△ACF和△BCH中， ， ∴△ACF≌△BCH（ASA）， ∴CF＝CH， ∴AB＝AC+CH＝AC+CF， ∵AC＝BC， ∴BC＝AB﹣CF. 【思路点拨】（1）易证△ACE≌△BCD，得到AE＝BD，由已知条件可得BD、AE的值，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）延长AC、BD，相交于点H，可得BD＝CD，则∠DCB＝∠DBC，由同角的余角相等可得∠H＝∠HCD，推出DH＝DB，然后证明△ACF≌△BCH，得到CF＝CH，然后根据线段间的和差关系证明即可. 培优题真题练 1．（2023八上·娄底月考）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC边的中线，有AD⊥BM；垂足为点E交BC于点D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．连接DM．则下列结论：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【规范解答】如图，作KC⊥CA交AD的延长线于K． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， ∴AH＝BH＝CH， ∵AD⊥BM， ∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°， ∵∠BNH＝∠ANE， ∴∠HBN＝∠DAH， ∴△BHN≌△AHD（ASA）， ∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正确， ∵∠BAM＝∠ACK＝90°， ∴∠BAE+∠CAK＝90°， ∴∠BAE+∠ABM＝90°， ∴∠ABM＝∠CAK， ∵AB＝AC， ∴△ABM≌△CAK（ASA）， ∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM， ∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD， ∴△CDM≌△CDK（SAS）， ∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD， ∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正确． 故选：A． 【思路点拨】作KC⊥CA交AD的延长线于K，利用“ASA”证出△BHN≌△AHD和△ABM≌△CAK，利用“SAS”证出△CDM≌△CDK，再利用全等三角形的性质逐项分析判断即可. 2．（2023八上·洪山月考）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　 　． 【答案】12.5 【规范解答】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图， ∵ AD是∠BAC的角平分线， ∴ ∠EAD=∠CAD， ∵ CD⊥AD， ∴ ∠ADE=∠ADC=90°， ∵ AD=AD， ∴ △ADE≌△ADC（ASA）， ∴ DE=DC，AE=AC， ∴ S△BDC=S△BCE， ∵ AC-AB=5， ∴ BE=5， ∵ 当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大， ∴ S△BDC=S△BCE，=×BC·BE=12.5. 故答案为：12.5. 【思路点拨】延长AB交CD的延长线于点E，根据角平分线的定义和垂直的定义可得∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，根据ASA判定△ADE≌△ADC推出 DE=DC，从而得到S△BDC=S△BCE，当BE⊥BC时，S△BCE最大，即S△BDC最大，即可求得. 3．（2021八上·江阴期中）如图，△ABC中，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，若△BCD的面积最大值为20，此时BC=　 　. 【答案】20 【规范解答】解：如图：延长AB，CD交点于E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠EAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADC=∠ADE=90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（ASA）， ∴AC=AE，DE=CD； ∵AC-AB=4， ∴AE-AB=4，即BE=4； ∵DE=DC， ∴S△BDC= S△BEC， ∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大， 即S△BDC最大面积= × ×BC×BE=20， ∴BC=20. 故答案为：20. 【思路点拨】延长AB，CD交点于E，利用ASA证明△ADE≌△ADC，得出AC=AE，DE=CD，则可根据线段间的和差关系求出BE的长，根据等底同高三角形面积相等，把△BDC的面积转化为△BEC的面积，由于当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，最后根据三角形面积公式列式计算即可. 4．（2023八上·洪山月考） 如图，，的延长线交于H． （1）求证：； （2）求证：点H是的中点； （3）若，求． 【答案】（1）证明：∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠CAH+∠BAF=90°， ∵ AF⊥BE， ∴∠AFB=90°， ∴ ∠ABE+∠BAF=90°， ∴ ∠CAH=∠ABE； （2）证明：过点C作CG∥AD交FH的延长线于点G，如图， ∵ CG∥AD， ∴ ∠ACG+∠CAD=180°， ∵ ∠BAC=∠DAE=90°， ∴ ∠CAD+∠BAE=180°， ∴ ∠ACG=∠BAE， ∵ ∠CAH=∠ABE，AC=AB， ∴ △ACG≌△BAE（ASA）， ∴ CG=AE， ∵ AD=AE， ∴ CG=AD， ∵ CG∥AD， ∴ ∠GCH=∠ADH，∠CGH=∠DAH， ∴ △CHG≌△DHA（ASA）， ∴ CH=DH， ∴ 点H是CD的中点. （3）解：∵ ，△ACG≌△BAE， ∴ S△ACG=S△BAE=12， ∵ S△ACG=S△ACH+S△DHA，△CHG≌△DHA， ∴ S△ACG=S△ACH+S△CHG， ∵ CH=DH， ∴ S△ACH=S△CHG， ∴ S△ACH=S△ACG=×12=6. 【思路点拨】（1）根据平角的定义得∠CAH+∠BAF=90°，根据三角形的内角和得∠ABE+∠BAF=90°，进而根据同角的余角相等即可求得； （2）过点C作CG∥AD交FH的延长线于点G，根据平行线的性质得∠ACG+∠CAD=180°，由同角的补角相等推出∠ACG=∠BAE，依据ASA判定△ACG≌△BAE得CG=AE，进而推出CG=AD，根据平行线的性质得∠GCH=∠ADH，∠CGH=∠DAH，依据ASA判定 △CHG≌△DHA，即可求得； （3）依据全等三角形的性质得S△ACG=S△BAE=12， S△ACG=S△ACH+S△CHG，再依据（2）中的结论CH=DH得S△ACH=S△CHG，即可求得. 5．（2021八上·盖州月考）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E，且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD 【答案】证明：延长CE、BA交于点F． ∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF． 在△ABD与△ACF中， ∵ ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝CF． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE． 在△BCE与△BFE中， ∵ ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝EF， 即CE＝ CF， ∴CE＝ BD． 【思路点拨】延长CE、BA交于点F．利用全等等三角形的性质证出△ABD≌△ACF（ASA），得出BD＝CF．因为BD平分∠ABC，得出∠CBE＝∠FBE．再证出△BCE≌△BFE（ASA），得出CE＝EF，即可得出结论。 6．（2024八上·衡山期末）综合与探究：问题情景：如图所示，已知，在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． （1）探究一小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； （2）探究二小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，如图所示，即可得，符合题意吗？请说明理由； （3）探究三小刚在的基础上，连接，如图所示，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， ， ； （2）解：符合题意．理由如下： 平分， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； （3）解：延长交与点，如图，则， 是的中点， ， 在和中， ， ≌． 是的中线， ， 又， 则， 的面积为． 【思路点拨】（1）利用等角的余角相等的性质分析求解即可； （2）先利用角的运算可得，再利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得； （3）延长交与点，先利用“SAS”证出AD是的中线，可得，再利用三角形的面积公式求出即可. 7．（2024八上·来宾月考）如图，在中，，，为边的中点，过点A作交的延长线于点平分交于点，为边上一点，连接，且．求证： （1） ； （2） ． 【答案】（1）证明： ， ， ， 平分 ， ， ， 在 与 中， ， ； （2）证明： 为 边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， 由（1）可得： ， ， ． 【思路点拨】（1）先证明，利用“ASA”证明 即可； （2）先利用“ASA”证明 ，可得AD=CG，再利用，可得，即可得到。 8．（2021八上·铁东期末）已知：在中，，，过点C作于点D，点E是边上一动点（不含端点A、B），连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G（如图①）. （1）求证：； （2）若点E运动到线段上时（如图②），试猜想、的数量关系是否发生变化，请直接写出你的结论； （3）过点A作垂直于直线，垂足为点H，并交的延长线于点M（如图③），找出图中与相等的线段，并证明. 【答案】（1）证明：∵AC=BC， ∴∠ABC=∠A． ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°． ∵BF⊥CE， ∴∠BFC=90°， ∴∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠CBF ∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC， ∴∠BCD=∠ACD=45° ∴∠A=∠BCD． 在△BCG和△ACE中 ∴△BCG≌△ACE（ASA）， ∴AE=CG； （2）不变 （3）解：BE=CM， ∵AC=BC， ∴∠ABC=∠CAB． ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠CAB=45°，∠ACE+∠BCE=90°． ∵AH⊥CE， ∴∠AHC=90°， ∴∠HAC+∠ACE=90°， ∴∠BCE=∠HAC． ∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC， ∴∠BCD=∠ACD=45° ∴∠ACD=∠ABC． 在△BCE和△CAM中 ∴△BCE≌△CAM（ASA）， ∴BE=CM． 【规范解答】解：（2）不变．AE=CG． 理由：∵AC=BC， ∴∠ABC=∠A． ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°． ∵BF⊥CE， ∴∠BFC=90°， ∴∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠ACE=∠CBF ∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC， ∴∠BCD=∠ACD=45° ∴∠A=∠BCD． 在△BCG和△ACE中 ∴△BCG≌△ACE（ASA）， ∴AE=CG； 【思路点拨】（1）利用“ASA”证明△BCG≌△ACE，再利用全等三角形的性质可得AE=CG； （2）方法同（1），利用“ASA”证明△BCG≌△ACE，再利用全等三角形的性质可得AE=CG； （3）利用“ASA”证明△BCE≌△CAM，再利用全等三角形的性质可得BE=CM。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$