第三讲 探索三角形全等的条件（边角边-SAS）（新知预习+三大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第四讲 探索三角形全等的条件（边角边-SAS） 教学目标： 1. 探索三角形全等的判定方法——“边角边”. 2. 能熟练运用“边角边”判定方法解决有关问题 教学重点：能用三角形全等的判定方法——“边角边”解决问题. 教学难点：能熟练运用“边角边”判定方法解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 4 考点精讲1：用边角边（SAS）证明三角形全等 5 考点精讲1：用边角边（SAS）间接证明三角形全等 7 考点精讲3：全等的性质和边角边的综合 9 中档题真题练 10 培优题真题练 15 新知预习 情景导入 我们知道，全等三角形的对应边相等，对应角相等，那么反过来，当两个三角形有多少对边或角分别相等时，这两个三角形就全等呢？ 预习导学 知识点01：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可简写为“边角边”或“SAS”)  阅读课本“讨论”和“交流”部分的内容，思考判定两个三角形全等需要的条件. 思考　用一张长方形纸片，任意剪一个直角三角形，全班同学剪得的直角三角形能全等吗？如何剪一个直角三角形，使全班同学剪得的直角三角形都全等？ 答:通过实践操作，学生进一步明确只有一个条件的两个直角三角形不全等，有两条直角边相等的两个直角三角形全等. 操作 用直尺和圆规按下列作法作△ABC. 作法         已知图形 1.作∠MAN＝∠α. 2.在射线AM，AN上分别作线段AB＝a，AC＝b.连接BC. △ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的三角形和其他同学作的三角形能重合吗？ 答:通过实践作图比较，得出全等三角形的判定条件——“边角边”的基本事实. 归纳总结 两边及其 　 　⁠分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“ 　 　⁠”或“ 　 　⁠”)  下列三角形与如图所示的三角形全等的是(　 　) A. B. C. D 知识点02：“边角边”的应用格式 阅读课本“例1”中的内容，通过例1的证明过程，明确运用“边角边”判定三角形全等的一般步骤. 如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件利用“SAS”判定△ABE≌△ACD，并说明理由. 解:添加的一个条件为AB＝AC，理由:在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS). 故答案为AB＝AC(答案不唯一). 如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明:△ABD≌△ACD. 证明:在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS). 方法归纳交流 利用“SAS”判定三角形全等时，必须是两边及其 　　⁠，不能是两边和其中一边的 　　⁠.同时在书写时，一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角.  知识总结 知识点01：边角边（SAS）的定义 边角边公理（SAS）是指有两个三角形，如果它们有两边及这两边所夹的角分别对应相等，则这两个三角形全等。即，如果两个三角形ABC和DEF满足AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则△ABC≌△DEF。 知识点02：边角边（SAS）的理解与应用 理解边角边公理： 两边相等：两个三角形中，必须有两对对应边分别相等。 夹角相等：这两对对应边所夹的角也必须相等。 全等判定：满足上述两个条件的两个三角形一定全等。 应用边角边公理： 在证明两个三角形全等时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以直接应用边角边公理进行判定。 在解决与三角形全等相关的几何问题时，边角边公理是常用的证明手段之一。 知识点03：边角边（SAS）的注意事项 对应性：在应用边角边公理时，必须注意对应边和对应角的对应性，即哪两边对应相等，哪两个角对应相等。 夹角的确定：夹角必须是已知两边所夹的角，而不是其他角。 全等三角形的性质：一旦判定两个三角形全等，就可以利用全等三角形的性质（如对应边相等、对应角相等）进行进一步的推理和计算。 知识点04：边角边（SAS）的例题解析 例题：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。 证明： 已知AB=DE（边对应相等），AC=DF（边对应相等），∠BAC=∠EDF（夹角对应相等）。 根据边角边公理（SAS），当两个三角形有两边及它们之间的夹角分别对应相等时，这两个三角形全等。 因此，△ABC≌△DEF。 高频易错点拨 易错知识点01:忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02:判定条件使用错误 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易错误地使用判定条件，如将“SSA”误认为是有效的判定方法，或者在不满足特定条件的情况下使用“HL”定理。 解析与应对： 熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种方法的适用条件。 在证明过程中，要根据题目给出的条件选择合适的判定方法。 注意“SSA”不是有效的三角形全等判定方法，避免在证明过程中使用。 在使用“HL”定理时，要确保两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别相等。 易错知识点03:对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点04:对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点05:忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点精讲1：用边角边（SAS）证明三角形全等 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【举一反三1】（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【举一反三2】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    【举一反三3】．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，点A，D，C，F在同一直线上，，，．求证：．    考点精讲1：用边角边（SAS）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【举一反三2】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【举一反三3】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 考点精讲3：全等的性质和边角边的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（14-15八年级上·江苏南通·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    【举一反三3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 中档题真题练 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）下列结论中，正确的有 ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等； ④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等； ⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 5．（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    8．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，，，，若，则 ． 9．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 10．（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ． 11．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）． 12．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件： ①； ②； ③． 请你从①②③中选一个条件，使． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 14．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，点分别是正五边形的边上的点，连接交于点，且． (1)与全等吗？为什么？ (2)求的度数． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线．    (1)如图1，E为边上一点，若，求证： (2)如图2．，点P为延长线上一点， ① 猜想：比较大小_________（直接填“”或“”或“”） ② 试证明上述你的猜想． 16．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    培优题真题练 17．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 18．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）下列结论错误的是（    ） A．直角三角形的外角不可能为锐角 B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部 C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 19．（21-22七年级下·重庆·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（    ） A．49° B．59° C．41° D．51° 20．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 21．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．    22．（21-22八年级下·广东揭阳·阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 ； 23．（17-18八年级上·江西新余·阶段练习）如图：中，，，且，连接，则下列结论：①，②；③；其中正确的是    24．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 26．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 27．（19-20八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 28．（19-20八年级上·山东泰安·期中）附加题：（1）已知：如图①，在和中，OA=OB，OC=OD，，求证：①AC=BD；②． （2）如图②，在和中，若OA=OB，OC=OD，，则AC与BD间的等量关系式为 ；的大小为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第三讲 探索三角形全等的条件（边角边-SAS） 教学目标： 1. 探索三角形全等的判定方法——“边角边”. 2. 能熟练运用“边角边”判定方法解决有关问题 教学重点：能用三角形全等的判定方法——“边角边”解决问题. 教学难点：能熟练运用“边角边”判定方法解决有关问题. 新知预习 1 知识总结 3 高频易错点拨 4 考点精讲1：用边角边（SAS）证明三角形全等 5 考点精讲1：用边角边（SAS）间接证明三角形全等 8 考点精讲3：全等的性质和边角边的综合 12 中档题真题练 16 培优题真题练 31 新知预习 情景导入 我们知道，全等三角形的对应边相等，对应角相等，那么反过来，当两个三角形有多少对边或角分别相等时，这两个三角形就全等呢？ 预习导学 知识点01：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可简写为“边角边”或“SAS”)  阅读课本“讨论”和“交流”部分的内容，思考判定两个三角形全等需要的条件. 思考　用一张长方形纸片，任意剪一个直角三角形，全班同学剪得的直角三角形能全等吗？如何剪一个直角三角形，使全班同学剪得的直角三角形都全等？ 答:通过实践操作，学生进一步明确只有一个条件的两个直角三角形不全等，有两条直角边相等的两个直角三角形全等. 操作 用直尺和圆规按下列作法作△ABC. 作法         已知图形 1.作∠MAN＝∠α. 2.在射线AM，AN上分别作线段AB＝a，AC＝b.连接BC. △ABC就是所求作的三角形 比较一下，你作的三角形和其他同学作的三角形能重合吗？ 答:通过实践作图比较，得出全等三角形的判定条件——“边角边”的基本事实. 归纳总结 两边及其 　夹角　⁠分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“ 　边角边　⁠”或“ 　SAS　⁠”)  下列三角形与如图所示的三角形全等的是(　C　) A. B. C. D 知识点02：“边角边”的应用格式 阅读课本“例1”中的内容，通过例1的证明过程，明确运用“边角边”判定三角形全等的一般步骤. 如图，已知AE＝AD，请你添加一个条件利用“SAS”判定△ABE≌△ACD，并说明理由. 解:添加的一个条件为AB＝AC，理由:在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD(SAS). 故答案为AB＝AC(答案不唯一). 如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，证明:△ABD≌△ACD. 证明:在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(SAS). 方法归纳交流 利用“SAS”判定三角形全等时，必须是两边及其 　夹角　⁠，不能是两边和其中一边的 　对角　⁠.同时在书写时，一定要把夹角相等写在中间，以突出此角是两边的夹角.  知识总结 知识点01：边角边（SAS）的定义 边角边公理（SAS）是指有两个三角形，如果它们有两边及这两边所夹的角分别对应相等，则这两个三角形全等。即，如果两个三角形ABC和DEF满足AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则△ABC≌△DEF。 知识点02：边角边（SAS）的理解与应用 理解边角边公理： 两边相等：两个三角形中，必须有两对对应边分别相等。 夹角相等：这两对对应边所夹的角也必须相等。 全等判定：满足上述两个条件的两个三角形一定全等。 应用边角边公理： 在证明两个三角形全等时，如果已知两边及它们之间的夹角，可以直接应用边角边公理进行判定。 在解决与三角形全等相关的几何问题时，边角边公理是常用的证明手段之一。 知识点03：边角边（SAS）的注意事项 对应性：在应用边角边公理时，必须注意对应边和对应角的对应性，即哪两边对应相等，哪两个角对应相等。 夹角的确定：夹角必须是已知两边所夹的角，而不是其他角。 全等三角形的性质：一旦判定两个三角形全等，就可以利用全等三角形的性质（如对应边相等、对应角相等）进行进一步的推理和计算。 知识点04：边角边（SAS）的例题解析 例题：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠BAC=∠EDF，求证：△ABC≌△DEF。 证明： 已知AB=DE（边对应相等），AC=DF（边对应相等），∠BAC=∠EDF（夹角对应相等）。 根据边角边公理（SAS），当两个三角形有两边及它们之间的夹角分别对应相等时，这两个三角形全等。 因此，△ABC≌△DEF。 高频易错点拨 易错知识点01:忽视隐含条件 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易忽视题目中给出的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。这些条件往往对证明过程至关重要，但由于它们不是直接给出的，因此容易被忽略。 解析与应对： 在审题时，要仔细分析题目中给出的所有条件，包括直接条件和隐含条件。 善于利用图形的性质来发现隐含条件，如垂直线的性质、平行线的性质等。 在证明过程中，要时刻关注这些隐含条件，确保它们被充分利用。 易错知识点02:判定条件使用错误 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易错误地使用判定条件，如将“SSA”误认为是有效的判定方法，或者在不满足特定条件的情况下使用“HL”定理。 解析与应对： 熟练掌握全等三角形的五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），并明确每种方法的适用条件。 在证明过程中，要根据题目给出的条件选择合适的判定方法。 注意“SSA”不是有效的三角形全等判定方法，避免在证明过程中使用。 在使用“HL”定理时，要确保两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别相等。 易错知识点03:对应边、对应角找不准 易错点描述：在证明两个三角形全等时，学生容易找不准对应边和对应角，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在证明过程中，要仔细分析题目中给出的条件，明确哪个边与哪个边对应，哪个角与哪个角对应。 可以利用图形的性质来辅助判断对应边和对应角，如平行线的性质、垂直线的性质等。 在书写证明过程时，要清晰地标注对应边和对应角，避免出现混淆。 易错知识点04:对全等三角形书写的错误 易错点描述：在书写全等三角形时，学生容易将表示对应顶点的字母写在错误的位置上，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在书写全等三角形时，要严格按照对应顶点的顺序来书写字母。 如果在证明过程中需要标注多个全等三角形，要确保每个全等三角形的对应顶点都标注正确。 易错知识点05:忽视特殊情况 易错点描述：在涉及三角形的高的问题时，学生容易忽视三角形的不同类型（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）对高的位置的影响，导致证明过程出现错误。 解析与应对： 在处理涉及三角形高的问题时，要先明确三角形的类型。 根据三角形的类型来判断高的位置（锐角三角形的高在三角形内部，钝角三角形的高在三角形外部，直角三角形的高在三角形的边上）。 在证明过程中，要充分考虑高的位置对证明过程的影响。 考点精讲1：用边角边（SAS）证明三角形全等 【典例精讲】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，将两根钢条的中点连在一起，使可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工具，则的长等于内槽的长，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【思路点拨】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等是关键．因为是用两钢条中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是． 【规范解答】解：两钢条中点连在一起做成一个测量工件， ，， ， ． 所以的长等于内槽宽， 用的是的判定定理． 故选：A 【举一反三1】（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【思路点拨】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【规范解答】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 【举一反三2】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．    【答案】（或边角边） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【规范解答】由题意知，， 在和中， ， ． 故答案为：． 【举一反三3】．（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，点A，D，C，F在同一直线上，，，．求证：．    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定； 根据平行线的性质可得，结合已知即可利用证明． 【规范解答】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 考点精讲1：用边角边（SAS）间接证明三角形全等 【典例精讲】（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【规范解答】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 【举一反三1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【规范解答】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 【举一反三2】（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴． 考点精讲3：全等的性质和边角边的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【规范解答】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 【举一反三1】（14-15八年级上·江苏南通·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．    【答案】/45度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【规范解答】解：标注字母，如图所示，      在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【举一反三2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    【答案】4 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【举一反三3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 中档题真题练 1．（23-24八年级下·广东梅州·阶段练习）下列结论中，正确的有 ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等； ④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等； ⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路点拨】此题考查了对顶角的性质、平行线性质、全等三角形的判定、钝角三角形的高，根据相关知识分别进行判断即可得到答案． 【规范解答】解：①对顶角相等；选项正确； ②两直线平行，同旁内角互补；选项错误； ③面积相等的两个三角形不一定全等；选项错误； ④有两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；选项错误； ⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．选项正确； 故正确的结论有2个， 故选：A 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）使的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路点拨】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理． 【规范解答】解：、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，不能判定，不符合题意； 、满足，能判定，符合题意， 故选：． 3．（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，，表示两根长度相同的木条，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用求得，进而可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【规范解答】解： 是，的中点， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选B． 4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【思路点拨】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【规范解答】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 5．（20-21八年级上·湖北武汉·期中）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE 【答案】C 【思路点拨】证出∠ABC＝∠DEF，由SAS即可得出结论． 【规范解答】解：补充BE＝CF，理由如下： ∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 若要利用SAS判定，B、D选项不符合要求， 若A：AC=DF，构成的是SSA，不能证明三角形全等，A选项不符合要求， C选项：BE=CF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知“SAS”的判定的特点． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，把两个角的直角三角板放在一起，点B在上，A、C、D三点在一条直线上，连接延长线交于点F．若，则的面积为（　　） A．16 B．12.8 C．6.4 D．5.6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，先通过和都是等腰直角三角形，得出再证明，结合面积公式代入数值，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    【答案】2.5米 【思路点拨】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：在和中， ， ∴， ∴米． 故答案为：2.5米． 8．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，，，，若，则 ． 【答案】/117度 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及其性质等知识，根据平行线的性质得出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，D为的中点.，，则的取值范围为 . 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．延长至E，使得，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【规范解答】延长至E，使得，连接，如图， ∵点D是BC的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，，，将绕D逆时针旋转90°至，连接AE，若，则的面积是 ． 【答案】3 【思路点拨】由旋转可得，可求得，可求得的面积． 【规范解答】解：如图，过D作于点H，过E作交的延长线于F，则四边形是矩形，， ∴， ∴ ∴， ∴，且， ∴， 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键． 11．（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了用证明三角形全等． 【规范解答】解：根据题意可得：，，且对应边的夹角， ∴由可证明． 故答案为：. 12．（23-24八年级上·天津宁河·期中）如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件： ①； ②； ③． 请你从①②③中选一个条件，使． (1)你添加的条件是_______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或③ (2)见详解 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， 添加①或③均可证明全等； 由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择③角边角证明三角形全等． 【规范解答】（1）解：选择①或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴． 14．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，点分别是正五边形的边上的点，连接交于点，且． (1)与全等吗？为什么？ (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． （1）利用正五边形的性质得出，，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出，进而得出即可得出答案． 【规范解答】（1），理由为： ∵五边形是正五边形， ∴． 在与中， ， ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，为的角平分线．    (1)如图1，E为边上一点，若，求证： (2)如图2．，点P为延长线上一点， ① 猜想：比较大小_________（直接填“”或“”或“”） ② 试证明上述你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①②见解析 【思路点拨】（1）证明解题即可； （2）①；②在上取一点使得，连接，则有，由三角形任意两边之差小于第三边得解题即可． 【规范解答】（1）证明:∵为的角平分线 ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ （2）① ②证明:在上取一点使得，连， 由得 ∵ ∴ ∴， 在中,由三角形任意两边之差小于第三边得， 故； ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的证明，构造全等三角形证明结论以及三角形三边关系． 16．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 【规范解答】解：（1）能完全重合． 理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 培优题真题练 17．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【规范解答】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 18．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）下列结论错误的是（    ） A．直角三角形的外角不可能为锐角 B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部 C．如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形全等 D．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等 【答案】C 【思路点拨】根据平角的定义、根据三角形的中线、全等三角形的判定判断即可． 【规范解答】解：A．∵直角三角形的内角是锐角和直角，∴直角三角形的外角不可能为锐角，正确，故A不符合题意； B．三角形的三条中线交于一点，这一点一定在三角形内部，正确，故B不符合题意； C．如图，和中，，，但和不全等，所以如果两个直角三角形的两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等．故C符合题意； D．如图，和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且，求证：． 证明：，是边上的中线，是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 所以如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，正确，故D不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了直角三角形的定义，三角形外角的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 19．（21-22七年级下·重庆·期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（    ） A．49° B．59° C．41° D．51° 【答案】C 【思路点拨】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底边AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）. 【规范解答】在△ABE和△BCD中， ， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBD， ∵∠BAE＝21°，∠C＝28°， ∴∠CBD＝21°， ∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°， ∵BF⊥AC， ∴∠BFD＝90°， ∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41° 故选：C. 【考点评析】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质，此类题型比较灵活，但围绕的知识点是固定的，解题时注意结合图形寻找已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向. 20．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【规范解答】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 21．（20-21七年级上·山东烟台·期末）如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动 秒后，与全等．    【答案】6 【思路点拨】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【规范解答】解：∵于A，于， ∴， 设运动x秒钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，， ∴， ∴； ②若，则， 解得：， ∴， 此时与不全等； 综上所述：运动6秒钟后与全等； 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论． 22．（21-22八年级下·广东揭阳·阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 ； 【答案】 SAS HL 【思路点拨】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ． 由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ． 【规范解答】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理； 小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理． 故答案为：①SAS；②HL． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键． 23．（17-18八年级上·江西新余·阶段练习）如图：中，，，且，连接，则下列结论：①，②；③；其中正确的是    【答案】①②③ 【思路点拨】①根据：，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而得证结论正确；②根据，利用求证即可得出结论；③根据，利用等腰三角形的性质和，求出，然后即可得出结论． 【规范解答】解：如图：①， ， ， ， ，故①正确； ②， ，即， 在和中， ， ， ，故②正确； ③延长交于点F， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是①②③． 【考点评析】此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题． 24．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定， （1）根据证明三角形全等即可； （2）由两三角形全等，可得，再由三角形的外角性质即可解答． 【规范解答】（1）证明： 又， ， 在和中， ； （2）解： ， 又， ． 25．（23-24八年级上·重庆江津·期末）如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得．证明即可； （2）由，可得，，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 又∵， ∴，， ∴， ∴的度数为． 26．（21-22八年级下·山西运城·期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【思路点拨】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． 【规范解答】（1）证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3）证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 27．（19-20八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．    （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析． 【思路点拨】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题; （2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD； （3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120° （2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF． 理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，    ∵CE是∠BCA的平分线， ∴∠DCF＝∠GCF， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（SAS）， ∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG 由（1）∠AFC＝120°得， ∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°， ∴∠AFG＝60°， 又∵∠AFE＝∠CFD＝60°， ∴∠AFE＝∠AFG， 在△AFG和△AFE中， ， ∴△AFG≌△AFE（ASA）， ∴EF＝GF， ∴DF＝EF； （3）结论：AC＝AE+CD． 理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，    同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS）， ∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE ∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120° ∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°， ∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC， ∴∠CFG＝∠CFD＝60°， 同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA）， ∴CD＝CG， ∴AC＝AG+CG＝AE+CD． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形． 28．（19-20八年级上·山东泰安·期中）附加题：（1）已知：如图①，在和中，OA=OB，OC=OD，，求证：①AC=BD；②． （2）如图②，在和中，若OA=OB，OC=OD，，则AC与BD间的等量关系式为 ；的大小为 ． 【答案】（1）见解析；（2）， 【思路点拨】（1）①求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可； ②根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，再利用角的和差即可求出∠APB的度数； （2）求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可；根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，再利用角的和差即可求出求出∠APB． 【规范解答】（1）证明： ①∵∠AOB=∠COD=60°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， ∴∠AOC=∠BOD， 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD； ②由①得：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB， ∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB， ∴∠APB=60°； （2）∵∠AOB=∠COD， ∴∠AOC=∠BOD， 又∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD； ∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB， ∴∠OAC+=∠OBD+∠APB， ∴∠APB=； 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$