第六讲 探索三角形全等的条件（边边边-SSS）（新知预习+三大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第六讲 探索三角形全等的条件（边边边-SSS） 教学重点 1. 探索并掌握两个三角形全等的条件“SSS”； 2.能利用“SSS”判定两个三角形全等，并能解决一些简单的实际问题，初步了解添加辅助线构造全等三角形； 3.了解三角形的稳定性和及其在生活中的应用. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 5 考点精讲1：用边边边（SSS）证明三角形全等 7 考点精讲2：用边边边（SSS）间接证明三角形全等 8 考点精讲3：全等的性质和边边边（SSS）的综合 10 中档题真题练 11 培优题真题练 16 新知预习 复习回顾 有三个条件对应相等时 七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直想知道这样作出的角和已知角为何相等？你能给小明解开这个谜团吗？ 操作思考 操作1：每人用事先准备好的一根长20cm的铁丝围成一个三角形，围成的三角形全等知识总结 操作2：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a． 作法： 1．作线段AB＝c． 2．分别以点A、B为圆心，b 、a 的长为半径画弧，两弧相交于点C． 3．连接AC，BC. △ABC就是所求作的三角形． 操作3：(1)用准备好的硬纸条(数学实验手册附录1)，分别钉成三角形、四边形、五边形，分别拉动三角形、四边形、五边形的两条边，它们的形状发生变化吗？ (2)想办法固定四边形、五边形的形状，说说你的理由. 从上述操作中,你能得出判定两个三角形全等的新方法吗?概括你的发现. 归纳总结 以上实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实： 三边分别相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”) 符号语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 新知应用 下列图形中，哪两个三角形全等？ 你能给小明解开这个谜团了吗？ 解：理由如下： ∵在△OCD和△O^′C^′D^′中， ∴ △OCD≅△O^′C^′D^′（SSS）． ∴∠O=∠O^′ 新知归纳 经验告诉我们： 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 这个事实也说明了“三边分别相等的两个三角形全等”. 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用. 四边形不具有稳定性 当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状和大小不唯一确定. 用四根木条钉成的四边形框架的形状是可以改变的. 四边形的不稳定性在生活中也有着广泛的应用. 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。这一判定方法简称为“边边边”或SSS（Side-Side-Side）。 理解：“边边边”条件要求的是两个三角形的三边必须一一对应相等，而不是任意两边或两边和夹角相等。 这一条件是基于三角形的稳定性和唯一性得出的，即当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。 知识点02：性质与定理 性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线也分别相等。 定理：边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用： 在证明两个三角形全等时，如果已知三个条件都是关于边的，且这三个条件分别对应两个三角形的三边，则可以直接应用“边边边”条件进行判定。 在求解三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个三角形的三边分别对应相等，则可以利用“边边边”条件得出两个三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例： 假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。根据“边边边”条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同时，它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 易错知识点01：对“边边边”条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解“边边边”条件，即认为只要两个三角形的三边长度相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“对应”二字至关重要，必须确保两个三角形的三边是分别对应相等的。 解析：在判断两个三角形是否全等时，要特别注意边的对应关系。例如，不能简单地将一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边相对应，并认为这两个三角形满足“边边边”条件。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在解决与三角形全等相关的问题时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用“边边边”条件。 解析：有些题目在给出三边长度相等的同时，还可能隐含了其他条件（如公共边、公共角等）。这些隐含条件对于判断三角形全等至关重要。因此，在解题过程中，要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。 易错知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）等不同的三角形全等判定条件。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。例如，“边边边”条件要求两个三角形的三边分别对应相等；而“边角边”条件则要求两个三角形有两边及它们之间的夹角对应相等。因此，在解题过程中，要根据题目的具体要求选择合适的判定条件。 易错知识点04：计算错误或疏忽 易错点：在求解三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况。 解析：在进行三角形全等的判断时，通常需要求解或比较三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致错误的结论。因此，在解题过程中，要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 易错知识点05：忽视图形的变换 易错点：学生可能忽视三角形可以通过平移、旋转、翻折等变换得到全等三角形的事实。 解析：虽然“边边边”条件本身并不直接涉及图形的变换，但了解三角形可以通过这些变换得到全等三角形对于理解三角形全等的本质和应用“边边边”条件都是有帮助的。因此，在教学过程中可以适当引入这方面的内容以加深学生对三角形全等概念的理解。 考点精讲1：用边边边（SSS）证明三角形全等 【典例精讲】（2024七年级下·上海·专题练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024·贵州黔南·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与（不含）全等的格点三角形共有（    ）个 A．4 B．5 C．8 D．7 【举一反三3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    考点精讲2：用边边边（SSS）间接证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【举一反三2】（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【举一反三3】（22-23八年级上·河南许昌·期末）我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 考点精讲3：全等的性质和边边边（SSS）的综合 【典例精讲】（11-12八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 【举一反三1】（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 【举一反三2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，是一个风筝架，，是连接点与中点的支架，求证：． 【举一反三3】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 中档题真题练 1．（22-23七年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 5．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 6．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 7．（12-13八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 8．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 9．（21-22七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（填） 10．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 11．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，，，．求证：． 12．（18-19八年级上·浙江·课后作业）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明． 13．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 15．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）如图，点在上，．求证：． 培优题真题练 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 17．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的 3 个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角 形，图中与全等的格点三角形共有（不含）（    ）个．    A．3 B．4 C．7 D．8 18．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 19．（21-22八年级上·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 20．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·河北邢台·期末）如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（    ）    A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确 23．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 24．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可） 25．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 26．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知，，若，则 度． 27．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，E在边上，，，，若，则 ， ．    28．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点， (1)求证； (2)若，，求的度数． 29．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 30．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 31．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第六讲 探索三角形全等的条件（边边边-SSS） 教学重点 1. 探索并掌握两个三角形全等的条件“SSS”； 2.能利用“SSS”判定两个三角形全等，并能解决一些简单的实际问题，初步了解添加辅助线构造全等三角形； 3.了解三角形的稳定性和及其在生活中的应用. 新知预习 1 知识总结 5 高频易错点拨 5 考点精讲1：用边边边（SSS）证明三角形全等 7 考点精讲2：用边边边（SSS）间接证明三角形全等 10 考点精讲3：全等的性质和边边边（SSS）的综合 14 中档题真题练 17 培优题真题练 28 新知预习 复习回顾 有三个条件对应相等时 七上学过的利用尺规“作一个角等于已知角”的过程，爱思考的小明一直想知道这样作出的角和已知角为何相等？你能给小明解开这个谜团吗？ 操作思考 操作1：每人用事先准备好的一根长20cm的铁丝围成一个三角形，围成的三角形全等知识总结 操作2：按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a． 作法： 1．作线段AB＝c． 2．分别以点A、B为圆心，b 、a 的长为半径画弧，两弧相交于点C． 3．连接AC，BC. △ABC就是所求作的三角形． 操作3：(1)用准备好的硬纸条(数学实验手册附录1)，分别钉成三角形、四边形、五边形，分别拉动三角形、四边形、五边形的两条边，它们的形状发生变化吗？ (2)想办法固定四边形、五边形的形状，说说你的理由. 从上述操作中,你能得出判定两个三角形全等的新方法吗?概括你的发现. 归纳总结 以上实践告诉我们判定两个三角形全等的一个基本事实： 三边分别相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”) 符号语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 新知应用 下列图形中，哪两个三角形全等？ 你能给小明解开这个谜团了吗？ 解：理由如下： ∵在△OCD和△O^′C^′D^′中， ∴ △OCD≅△O^′C^′D^′（SSS）． ∴∠O=∠O^′ 新知归纳 经验告诉我们： 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 这个事实也说明了“三边分别相等的两个三角形全等”. 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用. 四边形不具有稳定性 当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状和大小不唯一确定. 用四根木条钉成的四边形框架的形状是可以改变的. 四边形的不稳定性在生活中也有着广泛的应用. 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：如果两个三角形的三边分别对应相等，则这两个三角形全等。这一判定方法简称为“边边边”或SSS（Side-Side-Side）。 理解：“边边边”条件要求的是两个三角形的三边必须一一对应相等，而不是任意两边或两边和夹角相等。 这一条件是基于三角形的稳定性和唯一性得出的，即当三角形的三边长度确定时，其形状和大小也就唯一确定了。 知识点02：性质与定理 性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线也分别相等。 定理：边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用： 在证明两个三角形全等时，如果已知三个条件都是关于边的，且这三个条件分别对应两个三角形的三边，则可以直接应用“边边边”条件进行判定。 在求解三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个三角形的三边分别对应相等，则可以利用“边边边”条件得出两个三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例： 假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。根据“边边边”条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。同时，它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 易错知识点01：对“边边边”条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解“边边边”条件，即认为只要两个三角形的三边长度相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“对应”二字至关重要，必须确保两个三角形的三边是分别对应相等的。 解析：在判断两个三角形是否全等时，要特别注意边的对应关系。例如，不能简单地将一个三角形的最长边与另一个三角形的最短边相对应，并认为这两个三角形满足“边边边”条件。 易错知识点02：忽视隐含条件 易错点：在解决与三角形全等相关的问题时，学生可能会忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用“边边边”条件。 解析：有些题目在给出三边长度相等的同时，还可能隐含了其他条件（如公共边、公共角等）。这些隐含条件对于判断三角形全等至关重要。因此，在解题过程中，要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。 易错知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）等不同的三角形全等判定条件。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。例如，“边边边”条件要求两个三角形的三边分别对应相等；而“边角边”条件则要求两个三角形有两边及它们之间的夹角对应相等。因此，在解题过程中，要根据题目的具体要求选择合适的判定条件。 易错知识点04：计算错误或疏忽 易错点：在求解三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况。 解析：在进行三角形全等的判断时，通常需要求解或比较三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致错误的结论。因此，在解题过程中，要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 易错知识点05：忽视图形的变换 易错点：学生可能忽视三角形可以通过平移、旋转、翻折等变换得到全等三角形的事实。 解析：虽然“边边边”条件本身并不直接涉及图形的变换，但了解三角形可以通过这些变换得到全等三角形对于理解三角形全等的本质和应用“边边边”条件都是有帮助的。因此，在教学过程中可以适当引入这方面的内容以加深学生对三角形全等概念的理解。 考点精讲1：用边边边（SSS）证明三角形全等 【典例精讲】（2024七年级下·上海·专题练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得． 【规范解答】解：由尺规作图可知，，，， 在和中， ， ∴ 即这两个三角形全等的依据是， 故选：C． 【举一反三1】（2024·贵州黔南·一模）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，连接，根据题意得出，，证即可求解，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 【规范解答】解：如图，连接， 根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 【举一反三2】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与（不含）全等的格点三角形共有（    ）个 A．4 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果． 【规范解答】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形， 所以共有8个全等三角形，除去外有7个与全等的三角形．即： 故选D． 【举一反三3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．    【答案】4 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据全等三角形的判定画出图形，即可判断． 【规范解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．      由图可得，所有格点三角形的个数是4， 故答案为：4． 考点精讲2：用边边边（SSS）间接证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【思路点拨】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【规范解答】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见详解 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【规范解答】证明：， ， . 在和中， ， ． 【举一反三2】（23-24八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    【答案】见解析 【思路点拨】由可得，然后利用证明即可证明结论． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【举一反三3】（22-23八年级上·河南许昌·期末）我们知道：三角形全等的判定方法有：“”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图，把一条一短的两根木板的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木板，得到，这个实验说明了什么？    这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．        (1)如果这两个三角形都是直角三角形，则“”成立．如图1，在和中，．根据________，可直接证得； (2)如果这两个三角形都是锐角三角形，则“”也成立，如图2，在锐角和锐角中，．求证：． 证明：作，垂足分别为G，H， 在和中，． ∴． …… 请你完成余下的证明过程： (3)如果这两个三角形都是钝角三角形，则“”仍然成立．如图3，在钝角和钝角中，，求证：．请简要叙述你的证明思路． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据题意即可得出； （2）同理可证，再根据即可证明； （3）根据条件证明和即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：根据，可证得； （2）证明：作，垂足分别为G，H， 在和中， ， ∴．， ∴， 同理可证，， ∴， ∴，即， ∴； （3）证明：延长，过点A作，延长，过点D作，如图所示，    ∵，， ∴， ∴. ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【考点剖析】本题考查三角形全等的应用，正确理解题意是关键． 考点精讲3：全等的性质和边边边（SSS）的综合 【典例精讲】（11-12八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，用直尺和圆规作一个角等于已知角．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得． 【规范解答】解：由作图可知，在和中， ， ， ，即， 说明的依据是． 故选B． 【举一反三1】（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，用直尺和圆规作一个已知角的等角，在尺规作图时，用到的三角形全等的判定方法是 ．（从，，，中选择） 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定和性质和基本作图，熟练掌握三角形全等的判定和性质，以及基本作图是解题的关键．从作图可知，，，根据证，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【规范解答】解：连接，， 从作图可知，，， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，是一个风筝架，，是连接点与中点的支架，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，要证，根据垂直定义，需证，可由证得． 【规范解答】证明：是的中点，．在和中， ， 全等三角形的对应角相等． ， ， 垂直定义． 【举一反三3】（21-22七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示，，，，是上两点，且． (1)试说明； (2)请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先证明，然后结合已知条件即可证明； （2）根据，得出，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 中档题真题练 1．（22-23七年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【思路点拨】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【规范解答】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种作法的道理是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【规范解答】 解：由图可知，， 在和中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：B 3．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，点，在的边上．小龙同学现进行如下操作： ①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接； ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交②中所画的弧于点，作射线，连接． 根据上述操作，不成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【规范解答】解：如图，连接，    在和中， ∵， ∴， ∴． ∴， 故A、B、D都可得到，无法得到C． 故选：C． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 【规范解答】解：在中， ， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 【答案】100 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【规范解答】解：在和中， ， ， ， 故答案为：100． 6．（21-22八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 【答案】41° 【思路点拨】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 7．（12-13八年级上·吉林白城·期中）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形． 【答案】3 【思路点拨】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【规范解答】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 8．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）请仔细观察用尺规作一个角等于已知角的示意图，我们可以由得到，请你写出的理由 ． 【答案】SSS 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，由作图痕迹得，即可解答，熟知判定全等三角形的条件：，是解题的关键。 【规范解答】 解：由作图痕迹得， 在和中， ， ， ∴． 故答案为：SSS． 9．（21-22七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（填） 【答案】 【思路点拨】由作法得，，，得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知．本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理． 【规范解答】解：连接， 由作法得，，， 依据可判定， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图，若点、、、在同一直线上，，，．.那么吗？请说明理由. 【答案】，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有，，，，根据全等三角形的判定定理证即可． 【规范解答】证明：， ， ， 在和中 ， ． 11．（23-24八年级上·陕西延安·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的证明．由可得，从而通过“”即可证明． 【规范解答】∵， ∴，即． 在和中， ， ． 12．（18-19八年级上·浙江·课后作业）如图，AB＝AE，AC＝AD，BD＝CE，△ABC≌△AED吗？试证明． 【答案】△ABC≌△AED,证明见解析. 【思路点拨】由BD=CE，得到BC=ED，根据“边、边、边”判定定理可得△ABC≌△AED． 【规范解答】解：△ABC≌△AED. 证明：∵BD＝CE， ∴BC＋CD＝CD＋DE， 即BC＝ED. 在△ABC与△AED中， ∴△ABC≌△AED(SSS) 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证得BC=ED是解题的关键． 13．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【思路点拨】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足． (1)求证：； (2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，利用五边形ABFDG的面积，求出，再根据四边形的面积求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵五边形的面积， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：3． 15．（23-24八年级上·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）如图，点在上，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【思路点拨】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解； （2）先证明，然后根据，即可证明． 【规范解答】解：（1） ； （2）证明：∵， ∴， 在中， ∴． 【考点剖析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，全等三角形的判定定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 培优题真题练 16．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【规范解答】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 17．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中的 3 个顶点分别在正方形的顶点（格点上）．这样的三角形叫格点三角 形，图中与全等的格点三角形共有（不含）（    ）个．    A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】根据在图中画出格点，使得，则可得出答案． 【规范解答】解：如图    所示，根据，可得， 即以大正方形的每个边为底边，都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去外有七个与全等的三角形． 即：    故选：C． 【考点剖析】本题考查全等三角形的性质与判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【规范解答】，, ， ，， ． 故选：A． 19．（21-22八年级上·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【思路点拨】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【规范解答】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【考点剖析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 20．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 21．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【规范解答】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 22．（23-24八年级上·河北邢台·期末）如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（    ）    A．甲、乙两种作法都正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲不正确、乙正确 D．甲乙两种作法都不正确 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．分别根据甲、乙的条件证明即可． 【规范解答】解：甲：作底边的中线，则， 在与中， ， ， ， 故甲的作法正确； 乙：作平分交于C，则有， 在与中， ， ， ， 故乙的作法正确． 综上所述，甲、乙都正确． 故选A． 23．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【规范解答】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 24．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，根据已知图形有一个公共角，再结合即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：添加的条件为：或（填写一个条件即可）. 理由：当添加的条件为时， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴； 当添加的条件为时， ∵，， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； 故答案为：或（填写一个条件即可）． 25．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【规范解答】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 26．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知，，若，则 度． 【答案】105 【思路点拨】本题考查邻补角定义，全等三角形性质及判定．根据题意可证，继而得到，再利用邻补角定义计算度数即可． 【规范解答】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：105． 27．（23-24八年级上·河北承德·期中）如图，在与中，E在边上，，，，若，则 ， ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，进而根据三角形内角和即可求出结果． 【规范解答】解：如图，    在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 28．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，已知在同一条直线上，，，．与交于点， (1)求证； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路点拨】（）由，可得，利用即可证明； （）如图，由（）知，，则，得到，进而推导出，由三角形内角和定理可得，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图， 由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 29．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，在线段上有两点，，在线段的异侧有两点，，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判断是解题的关键． （1）根据，得到即，利用三边对应相等的三角形全等证明即可． （2）根据全等三角形的性质，结合角的平分线计算即可． 【规范解答】（1）∵， ∴即， ∵， ∴． （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分时， ∴， ∵， ∴． 30．（20-21七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知，E、F是上两点，且，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．先证明，再利用证明即可； （2）本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定；先证明，再利用证明，可得，从而可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 31．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 【答案】（1）SAS；（2）3；（3）6；（4） 【思路点拨】（1）利用SAS判定△ABD≌△ACD即可； （2）由（1）知△ABD≌△ACD，利用SAS证△ABE≌△ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证△BDE≌△CDE，即可得出答案； （3）由（2）知△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，再利用SAS证△ABF≌△ACF，利用SSS证△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，即可得出答案； （4）由（1）（2）（3）总结出规律即可求解． 【规范解答】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）知△ABD≌△ACD， ∴BD=CD， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE=CE， 在△BDE和△CDE中， ， ∴△BDE≌△CDE， ∴全等三角形共有3个， 故答案为：3； （3）同理可得△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，共有6对全等三角形， 故答案为：6； （4）第1个图有1对全等三角形， 第2个图有3=对全等三角形， 第3个图有6=对全等三角形， … 第x个图有对全等三角形， 故答案为：． 【考点剖析】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$