第八讲 证明三角形全等的解题方法与模型（新知学习+九大考点讲练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第八讲 证明三角形全等的解题方法与模型 全等三角形的判定方法——边角边(SAS) 全等三角形的判定方法——角边角(ASA) 全等三角形的判定方法——角角边(AAS) 全等三角形的判定方法——边边边(SSS) 三角形的稳定性 用尺规作角平分线和垂线 直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(HL) 考点精讲1：一线三等角构造全等图形 5 考点精讲2：手拉手模型—旋转型全等 6 考点精讲3：倍长中线模型 8 考点精讲4：平行线+线段中点构造全等三角形 10 考点精讲5：角平分线+垂直构造全等三角形 12 考点精讲6：正方形中的半角模型 13 考点精讲7：等腰三角形中的半角模型 17 考点精讲8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 19 考点精讲9：“边边角”模型 22 一、平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 二、轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 三、旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 四、一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 五、倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS) 六、半角模型 1. 等边三角形含半角 已知:是等边三角形,, , 结论:, 2. 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 3. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 七、手拉手模型 已知:在和中, , 连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 八、截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知：如图,在中,平分 1. 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接，结论: 2. 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接，结论: 考点精讲1：一线三等角构造全等图形 【典例精讲】（2024春•沈阳校级期中）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，∠BAO＝60°，点C（﹣4，0），点D（﹣5，3）在线段AB上，将线段CD沿射线AB方向平移，平移过程中的线段记为C1D1，点G是y轴上一个动点，当△C1D1G为等腰直角三角形（G点在C1D1右侧）时，平移的距离为 ． 【举一反三1】（2023秋•龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 　 　． 【举一反三2】（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 考点精讲2：手拉手模型—旋转型全等 【典例精讲】（2024•武侯区校级三模）如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． 【举一反三2】（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 【举一反三3】（2024春•历下区期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 　　，位置关系为 　　； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 　　米． 考点精讲3：倍长中线模型 【典例精讲】（2023秋•大渡口区期末）在中，，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点． （1）如图1，在右侧，，，求的面积； （2）如图2，在右侧，点是的中点，求证：； （3）如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值． 【举一反三1】（2023秋•黄冈期末）中，，，则边的中线的取值范围是　　． 【举一反三2】（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【举一反三3】（2023秋•呼和浩特期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 考点精讲4：平行线+线段中点构造全等三角形 【典例精讲】（2024春•历下区期末）如图，点为的对角线，的交点，经过点的直线分别与的延长线和的延长线交于点，．求证：． 【举一反三1】（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 【举一反三2】（2023•三穗县校级一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 【举一反三3】（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 考点精讲5：角平分线+垂直构造全等三角形 【典例精讲】（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2024春•渠县期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 【举一反三2】（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【举一反三3】（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1） 　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 考点精讲6：正方形中的半角模型 【典例精讲】（2022秋•广饶县校级期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． （1）证明：如图1，过作于， 【举一反三1】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【举一反三2】（2019•夏津县二模）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立； （1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 【举一反三3】（2022秋•龙凤区校级月考）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点旋转到时（如图，易证． （1）当绕点旋转到时（如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． （3）图3中若，，求的面积为　7.5　． 考点精讲7：等腰三角形中的半角模型 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【举一反三1】（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 　　． 【举一反三2】（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【举一反三3】（2022秋•宜丰县校级期中）如图1，是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、边于、两点，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由． （2）若的边长为2，求的周长． 考点精讲8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 【典例精讲】（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【举一反三1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【举一反三2】（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，线段、、之间的关系是　　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【举一反三3】（2021秋•邗江区期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 考点精讲9：“边边角”模型 【典例精讲】（2024春•高新区期末）数学实践活动中，为了测量校园内假山底部，两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，并测得，两点之间的距离为，则，两点之间的距离为 　　． 【举一反三1】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【举一反三2】（2023秋•伊金霍洛旗期中）如图，已知，下列条件中，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【举一反三3】（2023秋•滦南县期中）如图，在长方形中，，点在线段上，且，动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，同时点在线段上，以的速度由点向点运动，当与全等时，的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第八讲 证明三角形全等的解题方法与模型 全等三角形的判定方法——边角边(SAS) 全等三角形的判定方法——角边角(ASA) 全等三角形的判定方法——角角边(AAS) 全等三角形的判定方法——边边边(SSS) 三角形的稳定性 用尺规作角平分线和垂线 直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边(HL) 考点精讲1：一线三等角构造全等图形 5 考点精讲2：手拉手模型—旋转型全等 9 考点精讲3：倍长中线模型 14 考点精讲4：平行线+线段中点构造全等三角形 23 考点精讲5：角平分线+垂直构造全等三角形 28 考点精讲6：正方形中的半角模型 32 考点精讲7：等腰三角形中的半角模型 41 考点精讲8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 47 考点精讲9：“边边角”模型 57 一、平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 二、轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 三、旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 四、一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 五、倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长至点,使,连接.结论:(SAS) 六、半角模型 1. 等边三角形含半角 已知:是等边三角形,, , 结论:, 2. 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 3. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 七、手拉手模型 已知:在和中, , 连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 八、截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知：如图,在中,平分 1. 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接，结论: 2. 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接，结论: 考点精讲1：一线三等角构造全等图形 【典例精讲】（2024春•沈阳校级期中）如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，∠BAO＝60°，点C（﹣4，0），点D（﹣5，3）在线段AB上，将线段CD沿射线AB方向平移，平移过程中的线段记为C1D1，点G是y轴上一个动点，当△C1D1G为等腰直角三角形（G点在C1D1右侧）时，平移的距离为 　2或4或6　． 解：当∠C1D1G＝90°时，过点D1作x轴的垂线，过点C1作C1N⊥MN于点N，过点G作GM⊥MN于点M，过点D作DP⊥MN于点P， 由题意得：C1N＝1，D1N＝3， ∵△C1D1G为等腰直角三角形， ∴∠C1D1G＝90°，C1D1＝GD1， ∵∠MGD1+∠MD1G＝90°，∠MD1G+∠ND1C1＝90°， ∴∠MGD1＝∠ND1C1， ∴△MGD1≌△ND1C1（AAS）， ∴MG＝D1N＝3， ∴D1的横坐标为﹣3， ∴DP＝2， ∴DD1＝4， ∴平移的距离为4； 当∠D1C1G＝90°时，同理可得：D1的横坐标为﹣4， ∴DD1＝2， ∴平移的距离为2； 当∠D1GC1＝90°时，同理可得：△MGD1≌△NC1G（AAS）， ∴MG＝NC1＝a，MD1＝GN＝3﹣a＝a+1， ∴a＝1， ∴D1的横坐标为﹣2， ∴DD1＝6， ∴平移的距离为6； 综上所述，平移的距离为2或4或6． 【举一反三1】（2023秋•龙华区校级期末）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 　2　． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：2． 【举一反三2】（2023秋•右玉县期末）在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． （1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 考点精讲2：手拉手模型—旋转型全等 【典例精讲】（2024•武侯区校级三模）如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 解：、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 故选：． 【举一反三1】（2023秋•武都区期末）如图，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． （2）解：由（1）可得， ． ， ， 即． 【举一反三2】（2023秋•张家港市期末）如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 解：连接，过点作，交直线于点， ， 是等腰直角三角形，， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的面积， 故答案为：． ‘’（2024春•历下区期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 　　，位置关系为 　　； （2）类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； （3）解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 　　米． 解：（1）和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 设与交于点，与交于点， ， ， ． 故答案为：，． （2）和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ． （3）如图，作，使，连接、，则为等腰直角三角形． 按照第二问思路同理可证：， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， 米， 米， 故答案为：50． 考点精讲3：倍长中线模型 【典例精讲】（2023秋•大渡口区期末）在中，，，以为斜边作，，再将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，点． （1）如图1，在右侧，，，求的面积； （2）如图2，在右侧，点是的中点，求证：； （3）如图3，在左侧，的延长线过的中点，当点在的中垂线上时，交于点，直接写出的值． （1）解：， ， ，， ， ， 绕点逆时针旋转得到， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：在上截取，连接，， ，交于点， ， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：作，交延长线于点， 绕点逆时针旋转得到， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 点在的中垂线上， ， 设， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 得， ， 过点作，垂足为点， ， 是等腰直角三角形， ， 得， ， ． 【举一反三1】（2023秋•黄冈期末）中，，，则边的中线的取值范围是　　． 解：如图，延长至，使， 是的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：． 【举一反三2】（2024•邢台模拟）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． （1）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，如图2， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接、， 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【举一反三3】（2023秋•呼和浩特期末）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 解：（1）， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 考点精讲4：平行线+线段中点构造全等三角形 【典例精讲】（2024春•历下区期末）如图，点为的对角线，的交点，经过点的直线分别与的延长线和的延长线交于点，．求证：． 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【举一反三1】（2023秋•宝安区期末）如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 解：（1）选择②③， 选②时：，， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ； 选③时：，， ， ，， 点是中点， ， 在和中， ， ， ； （2），，，， ，， ，， ， ． 【举一反三2】（2023•三穗县校级一模）如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 【举一反三3】（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 【探究】解：． 如图1，分别延长、，交于点， ， ，， 为边的中点， ， ， ， 又， 而， ， ， ． 【应用】解：如图2，延长交的延长线于． 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点精讲5：角平分线+垂直构造全等三角形 【典例精讲】（2024•济南二模）如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 故选：． 【举一反三1】（2024春•渠县期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积等于　　 A． B． C． D．不能确定 解：延长交于点， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积， 故选：． 【举一反三2】（2023秋•金山区期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【举一反三3】（2023秋•潢川县期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　4　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 解：（1），， ， ， 点是边的中点， ， 平分， ； 故答案为：4，45． （2）四边形为轴对称图形，平分， 对称轴为直线， ； （3）平分， ， 当时， ， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的度数为或或． （4）如图，点在上，且，作点关于的对称点， ， ， 平分， ， 在和△中， ， △， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 又根据垂线段最短， 当时，有最小值， ， ，， ， ， ． 考点精讲6：正方形中的半角模型 【典例精讲】（2022秋•广饶县校级期末）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． （1）证明：如图1，过作于， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 即， ； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下： 延长至，使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 由（1）知， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， 即， ． 【举一反三1】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． （1）证明：在正方形中， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点，截取，使．连接、． ，，． ，． 在和中， ， ． ，． ，， ． 于是，由， 得． 在和中， ， ． ． 在中，由勾股定理，得． ． ，， ， ． 【举一反三2】（2019•夏津县二模）如图1，在正方形中，、分别是，上的点，且度．则有结论成立； （1）如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由． （2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 解：（1）延长到，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ． （2）结论不成立，应为， 证明：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ，． ． ． ， ． ． 【举一反三3】（2022秋•龙凤区校级月考）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．当绕点旋转到时（如图，易证． （1）当绕点旋转到时（如图，线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． （3）图3中若，，求的面积为　7.5　． 解：（1）猜想：， 证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）， 证明如下：如图3，在上截取，连接， 和中， ， ， ，， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， ， 的面积为：， 则的面积为7.5， 故答案为：7.5． 考点精讲7：等腰三角形中的半角模型 【典例精讲】（2023秋•宿迁期末）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 解：将逆时针旋转到，连接， ，，．， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【举一反三1】（2023•长春模拟）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则点到直线的距离为 　　． 解：和均为等边三角形， ，，，， ， ， 即：， 在和中， ， ， ， 即：， ，， ， ， 过点作，垂足为， 是等边三角形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：． 点到直线的距离为． 故答案为：． 【举一反三2】（2023秋•新城区校级期中）中，，，是线段上的一个动点． （1）如图，若与重合，平分，，垂足在的延长线上，试探究与的数量关系，并说明理由． （2）若在线段上且不与，重合，在线段上，且，过作，垂足在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 解：（1）， 理由：延长交延长线于点， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）， 理由：过作交延长线于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ， ， ， ，， ， ， ． 【举一反三3】（2022秋•宜丰县校级期中）如图1，是正三角形，是等腰三角形，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交、边于、两点，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由． （2）若的边长为2，求的周长． 解：（1）．理由如下： 延长至，使得，连接，如图所示： 为等腰三角形，为等边三角形， ，，， 又，且， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， 又，， ， ，即， ， 在与中， ， ， ， 又，， ； （2）为等边三角形， ， 利用（1）中的结论得出：，， 的周长 ． 考点精讲8：对角互补且一组邻边相等的半角模型 【典例精讲】（2024春•乐平市期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 【举一反三1】（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【举一反三2】（2023春•连城县期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，线段、、之间的关系是　　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 解：（1）， 理由如下：如图1，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长至，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 理由如下：如图3，在上截取，连接， 同（2）中证法可得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【举一反三3】（2021秋•邗江区期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 解：，， ， 故①正确； 点为的中点，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ， 和互补， 故③正确； 不是定长，故②不正确． 正确的有：①③④， 故选：． 考点精讲9：“边边角”模型 【典例精讲】（2024春•高新区期末）数学实践活动中，为了测量校园内假山底部，两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，并测得，两点之间的距离为，则，两点之间的距离为 　　． 解：在和中， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三1】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． （1）证明：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意得：，， ， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【举一反三2】（2023秋•伊金霍洛旗期中）如图，已知，下列条件中，不能判定的是　　 A． B． C． D． 解：由题知，，， 当时，，故选项能判定两个三角形全等，所以不选； 当，不能判定，，故选； 当，，故选项能判定两个三角形全等，所以不选； 当，，故选项能判定两个三角形全等，所以不选． 故选：． 【举一反三3】（2023秋•滦南县期中）如图，在长方形中，，点在线段上，且，动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，同时点在线段上，以的速度由点向点运动，当与全等时，的值为 　2或　． 当与全等时，有两种情况： ①当时，， ，， ，， ； 动点在线段上，从点出发以的速度向点运动， 点和点的运动时间为：， 的值为：； ②当时，， ，， ，， ， ， 故答案为：2或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$