第6章 统计 素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 6 第六章素养检测 刷速度 2 建议用时：90分钟 1.为了了解某校600名学生的学习情况，随机抽取了100名学生进行调查，在这个问题中样本是 ( ) C A.100 B.100名学生 C.100名学生的学习情况 D.600名学生的学习情况 3 解析 为了了解某校600名学生的学习情况，随机抽取了100名学生进行调查，在这个问题中样本 是100名学生的学习情况.故选C. 4 2.[安徽亳州2024高一期末联考] 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七 百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六.凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算 数多少出之，何各几何？”意思是北乡有8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人.现要按人 数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从南乡征集的人数为( ) B A.128 B.130 C.132 D.134 5 解析 设从南乡征集人，则，解得 ，故选B. 6 3.[山东威海2023高一期末] 某学校组织高一学生参加数学测试，现 将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组 依次为，， .若高于60分的人数是 350，则高一学生人数为( ) C A.1 000 B.750 C.500 D.250 7 解析 由频率分布直方图得高于60分的人数所占的频率为 ，所以高一学 生人数为 ，故选C. 8 4.[湖南邵阳2024高一拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）] 如果将一组数据5,4,6,5,4,13,5依次 重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下 列说法正确的是( ) A A.中位数和众数都是5 B.众数是10 C.中位数是4 D.中位数、平均数都是5 9 解析 将这组数据按从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5， 每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5， 这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，B，C错误． 平均数为 ，故D错误．故选A. 10 5.[湖南郴州2024高一期末] 某地区实行新高考政策，选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤 如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定，，，， 共五个等级 （见下表）.第二步，将至 五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到 ，，，和 五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分. 等级 比例 赋分区间 赋分公式：，计算出来的 经过四舍五入后即 为赋分成绩. 某次考试，化学成绩 等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分， 则该学生的化学赋分分数为( ) C A.85 B.88 C.91 D.95 11 解析 由题意设该学生的化学赋分分数为，则 ， 所以,解得 . 12 6.[陕西铜川2024月考] 构建德、智、体、美、劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的 方向，某校积极响应党的号召，开展各项有益于德、智、体、美、劳全面发展的活动.如图所示的 是该校高三（1）（2）班两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分对照图 （得分越高，说明该项教育越好），则下列结论正确的是( ) C ①高三（2）班五项评价得分的极差为1； ②除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分； ③高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平 均数要高； ④各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大. A.②③ B.②④ C.①③ D.①④ 13 解析 对于①，高三（2）班德、智、体、美、劳各项得分依次为，9，，9， ， 所以极差为 ，故①正确； 对于②，两班的德育分相等，故②错误； 对于③，高三（1）班的平均分为 ， 高三（2）班的平均分为 ，故③正确； 对于④，两班的体育分相差 ， 而两班的劳育分相差 ，故④错误. 14 7.[安徽淮北2024高一期末] 下列命题是真命题的有( ) B A.有甲、乙、丙三种个体按 的比例分层随机抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容 量为32 B.数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同 C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲 D.一组数7,6,5,4,3,3,3,2,2,1的 分位数为4 15 解析 对于A, 甲、乙、丙三种个体按的比例分层随机抽样，故乙占了, 样本容量为 ，故A不是真命题； 对于B,数据1,2,3,3,4,5的平均数为，众数为3，中位数为 ，故B是真命题； 对于C,乙组数据的平均数为 ， 方差为,, 乙组数据更稳定，故C不是真命题； 对于D,将这组数据从小到大排列为1，2，2，3，3,3,4,5,6,7,又 ，则这组数据的 分位数是第七个数与第八个数的平均数，为 ，故D不是真命题.故选B. 16 8.[辽宁沈阳2023高一期末] 从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数法抽取样本时，先将8 00件产品按001，002， ，800进行编号.如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数 （随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的 分位数是( ) 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566711 6910567175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954 C A.105 B.556 C.671 D.169 17 解析 由题设，依次读取的编号为859,169,556,671,169,105,671,751,286, ， 根据编号规则易知抽取的6件产品编号为169,556,671,105,751,286， 所以将它们从小到大排序为105,169,286,556,671,751， 又，所以 分位数为671.故选C. 18 9.[河南三门峡2024月考] 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放 回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差 小于1，则( ) BD A.可能取到数字4 B.中位数可能是2 C.极差可能是4 D.众数可能是2 19 解析 设这5个数字分别为,,,, . 对于A：若取到数字4，不妨设为 ， 则，可得 ，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为 ， 则这5个数字的方差 ，不符合题意，故A错误. 对于C：因为这5个数字的平均数为2，所以这5个数字全是2或至少有1个1，若5个数全是2，则极差为0;若至少有1个1，不妨设为 ， 若极差是4，则最大数为5，不妨设为 ， 20 则这5个数字的平均数 ， 则 ，可知这3个数有2个1，1个2， 此时这5个数字的方差 ， 不符合题意，故C错误； 对于B，D：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意， 且中位数是2，众数是2，故B，D正确. 10.[江西上饶2024高一期末] 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水 问题较为突出.某政府为了制定居民节约用水相关政策，抽样调查了该市200 户居民月均用水量（单位： ），绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说 法正确的是( ) ABC A.图中小矩形 的面积为0.24 B.该市居民月均用水量的众数约为 C.大约有的居民月均用水量不超过 D.这200户居民月均用水量的中位数大于平均数 22 解析 由，可得 ， 所以 ，故A正确； 由题意可知该市居民月均用水量的众数约为 ，故B正确； 由题意可得该市居民月均用水量不超过 的频率为 ，故C正确； 设这200户居民月均用水量的中位数为 ， 因为第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积为 ，所以中位数 , 则 . 这200户居民月均用水量的平均数 ,因为 ， 所以这200户居民月均用水量的中位数小于平均数，故D不正确．故选 . 23 11.[山西朔州2024质量调研] 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，如图①②③④分别为20 23年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入（单位：元）及一次乡村旅游花费金额（单位：元） 的有关数据分析，根据这些图，下列结论错误的是( ) BC A.2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁 之间的男性占比超过 B.2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万 元的占比超过 C.2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费金 额中4个范围占比的中位数为 D.2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的 平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用 其中间值作代表） 24 解析 由题图①和题图②可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在 岁之间的男性占比 为 ，故A正确； 由题图③可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为 ，故B错误； 由题图④可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费金额中4个范围占比的中位数为 ，故C错误； 由题图④可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为 ，故D正确. 25 12.抽样调查某地区120名教师的年龄和学历状况，调查情况如图，则估计该地区35岁以下具有 研究生学历的教师人数为____. 30 26 解析 由题图可知35岁以下的本科教师人数有50人，35岁以下教师本科学历的比例为 ，所 以35岁以下的本科和研究生学历教师人数的和为 ，所以35岁以下的研究生学历 人数为 . 27 13.[河南南阳六校2024高一期末] 为了解全校学生平均每年阅读多少本书，甲同学抽取了一个容 量为20的样本，并算得样本的平均数为5，方差为1；乙同学抽取了一个容量为10的样本，并算 得样本的平均数为4，方差为1.若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为30的样本， 则合在一起后的样本方差为___. 28 解析 依题意，合在一起后的样本平均数为 ， 故合在一起后的样本方差为 . 29 14.[江西南昌2023月考] 某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试 成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中A等级占,B等级占,C等级占 ,D等级占 的比例，规定达到C等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为____. 24 30 解析 由图可知，分数在20分以下的比例为 ，在40分以下的比例为 ，因此分位数位于内，由 ，所 以通过本次考试分数至少为24. 15.（本小题满分13分）某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况，随机抽取了500户居民去 年的用电量（单位： ），将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示,其中直方图从 左到右前3个小矩形的面积之比为 . 32 （1）抽取的样本中月均用电量在 之内的居民共有多少户？ 【解】 从左到右前3个小矩形的面积之比为 ， 前三组数据的频率之比为 . 前三组数据的频率之和为 ， 月均用电量在之内的频率为 ， 月均用电量在之内的居民共有 （户）. 33 （2）试根据直方图估算该乡镇居民月均用电量的中位数是多少？（精确到 ） [答案] 由（1）得，月均用电量在之内的频率为 ， 月均用电量在之内的频率为 . ， ， 中位数在第3组， 中位数为 . 34 16.（本小题满分15分）[江西上饶2024高一期末] 2023年秋末冬初，某市发生了流感疫情.为了 彻底击败病毒，人们更加讲究卫生、讲究环保.某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从 中抽取200名学生记录他们的首轮竞赛成绩，并作出如图所示的频率分布直方图，根据直方图， 请回答下列问题： 35 （1）若从成绩低于60分的同学中按分层随机抽样方法抽取5人的成绩，求5人中成绩低于50分的人数； 【解】成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为 ， 则按分层随机抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为 即5人中成绩低于50分的人数为2. 36 （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； [答案] 由，得 ， 则平均数 ， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分. 37 （3）首轮竞赛成绩位列前 的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成 绩（记为 ）. [答案] 根据频率分布直方图可知, 的频率为，的频率为 ， 所以入围复赛的成绩一定在 内， 可知入围复赛的成绩的临界值为 ， 则 ， 解得 ， 38 17.（本小题满分15分）[陕西渭南2023高一期末] 随着2022年卡塔尔世界杯的举行，世界各地 又掀起了新一轮足球热潮.一般被用做正规大型赛事的足球大小为周长 之间， 甲、乙两个工厂都一直为大型赛事生产足球，随机从两个工厂生产的足球中各抽取50个做产品检 测，足球周长（单位: ）的频数分布表如表所示，且已知甲工厂生产的50个足球周长的平均值 约为 .（同组数据用该组区间的中点值作代表） 足球周长 频数（甲工厂） 6 8 20 频数（乙工厂） 5 5 26 13 1 （1）求， 的值. 39 【解】由题意知， ，且 ， 即解得 即， 的值分别为12,4. 40 （2）如果用甲、乙两个工厂生产的足球的周长的平均值和方差分析甲、乙两个工厂的生产水平， 哪个工厂的水平更高一些呢？ [答案] 设甲、乙两个工厂生产足球的周长的平均值分别为,，方差分别为， .因为 ， ， 所以 . 又因为 , ，所以 . 甲、乙两个工厂生产的足球的周长的平均值均约为 ，乙工厂生产的足球的周长的方差略小 于甲工厂生产的足球的周长的方差，所以乙工厂的水平更高一些. 41 18.（本小题满分17分）[河南安阳2023高一期末] 某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中 甲班有60名学生，乙班有48名学生,为分析他们的英语成绩，该老师计划用分层随机抽样的方法 抽取18名学生，统计他们英语考试的分数. 42 （1）该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为 ， 按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随 机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481 2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322 8303 9822 5888 2410 1158 2729 6443 2943 【解】根据分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为 ， 在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 将读取的编号按从小到大的顺序依次排列为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为 ． 43 （2）已知甲班的样本平均数，方差，两班总的样本平均数，方差 . （ⅰ）求乙班的样本平均数和方差 ； [答案] 依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由分层随机抽样的平均数和方差的公 式，得，即,因此 ， ，即，解得 . 所以， . 44 （ⅱ）判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.（如果 ，则认为两班学生的 英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异） [答案] 因为 , ， 因此 ，所以两班学生的英语成绩有明显差异． 45 19.（本小题满分17分）[江西南昌二中2024高一月考] 南昌的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实在 南昌还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉.南昌某种 植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在 ，， （单位：克）中，经统计绘制频率分布直 方图如图所示. 46 （1）在样本中，按分层随机抽样从质量在中的香瓜中随机抽取了 个香瓜，其中质量 在中的香瓜有6个，求 的值. 【解】按分层随机抽样的方法得，所以 . （2）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）. [答案] 由频率分布直方图知，各区间频率依次为，，，， ， 这组数据的平均数 . 47 （3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本 估计总体，该种植园中大概有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5 元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香 瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？ 48 [答案] 方案①：由题意可知20 000个香瓜中： 200克的有 个， 300克的有 个， 400克的有 个， 500克的有 个， 600克的有 个，则以5元/500克收购获得利润为 元； 方案②：质量低于350克的香瓜有 个， 质量高于或等于350克的香瓜有 个， 则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的 利润为 元. 因为 ， 所以该种植园选择方案②获利更多. $$