1.4.1 一元二次函数-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 4 4 一元二次函数与一元二次不等式 2 4 4.1 一元二次函数 刷基础 3 1.[甘肃天水第一中学2023高一开学考] 不论取任何实数，抛物线 的 顶点都( ) B A.在直线上 B.在直线上 C.在轴上 D.在 轴上 题型1 二次函数的概念 4 解析 不论取任何实数，抛物线的顶点坐标均为 ， 因此，该抛物线的顶点都在直线 上，故选B. 题型1 二次函数的概念 5 2.二次函数的图象的对称轴为直线，则当时， 的值为( ) D A. B.1 C.17 D.25 题型1 二次函数的概念 6 解析 二次函数的图象的对称轴为直线，，即 ， ，当时， ，故选D. 题型1 二次函数的概念 7 3.某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度与水平距离 之间的函数关系 式为 ，则该运动员的成绩是( ) B A. B. C. D. 题型1 二次函数的概念 8 解析 当时，，解得或 （舍去），故选B. 题型1 二次函数的概念 9 4.已知一个二次函数的图象经过点，， ，则这个函数的解析式为( ) A A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 10 解析 设所求二次函数的解析式为 由题意得解得 所求二次函数的解析式为 .故选A. 题型2 二次函数的图象 11 5.已知二次函数图象的顶点坐标为，且过点 ，则该二次函数的解析式为( ) C A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 12 解析 设二次函数的解析式为，,将点 的坐标代入函数解析式得 ，解得，所以二次函数的解析式为 ，故选C. 题型2 二次函数的图象 13 6.[广东惠州2024高一月考] 已知一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 14 解析 由一次函数的图象可知， ， 所以二次函数的图象开口向下，且对称轴方程 ，故选D. 题型2 二次函数的图象 15 7.（多选）[河南驻马店高中2024高一月考] 如图所示的是一元二次函数 图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线 ，则以 下选项中正确的为( ) BCD A. B. C. D. 题型2 二次函数的图象 16 解析 结合题图可知，当时，，即 ，故A错误； 因为函数图象与轴交于两点，所以，即 ，故B正确； 因为抛物线过点，对称轴为直线，则抛物线与轴另一个交点为 ，于是有 ，故C正确； 对称轴为直线，即，所以 ， 根据抛物线开口向下，知，则，则 ，故D正确． 故选 ． 题型2 二次函数的图象 17 8.[湖南郴州一中2024高一月考] 某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这 个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数 满足二次函数关系，其函数图象如 图所示，则这个车间产出的年平均利润 最大时，运行的年数为( ) B A.4 B.6 C.8 D.10 题型2 二次函数的图象 18 解析 由题意可设.由图象可知，当时， ，解得 ， ， （当且仅当时取等号）， 当车间运行6年时， 其产出的年平均利润 最大，故选B. 题型2 二次函数的图象 19 名师点拨 已知二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为和 ，可以设二次函数的 解析式为,再结合其他条件求 的值,从而求出二次函数的解析式. 题型2 二次函数的图象 20 9.[江西南昌2024高一联考] 将二次函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向 上平移4个单位长度，得到二次函数的图象，则 ___. 2 题型2 二次函数的图象 21 解析 由题意可得 ， 所以,,，则 . 题型2 二次函数的图象 22 10.[吉林松原2023高一质量验收] 已知某二次函数最小值为1，图象顶点在直线 上，并 且图象经过点 . （1）求该二次函数的解析式； 【解】 二次函数的最小值为1， 可设二次函数的顶点为，，解得 ， 可设二次函数的解析式为， . 又二次函数的图象过点，，解得 ， 该二次函数的解析式为，即 . 题型2 二次函数的图象 23 （2）当时，，求实数 的取值范围. [答案] 由（1）知，当时，；令，得或 ，结合 二次函数的图象可得若时，，则 ， 即实数的取值范围为 . 题型2 二次函数的图象 24 11.[广东深圳2024高一阶段考试] 二次函数在 上的最大值为( ) C A. B.0 C.3 D.4 题型3 二次函数的性质与应用 25 解析 因为函数的图象开口向上，且对称轴为直线 ， 所以在上随着的增大而减小，在上随着的增大而增大，且 ， 所以当时，函数取得最大值，且最大值为 .故选C. 题型3 二次函数的性质与应用 26 12.已知函数的图象的对称轴为直线，记，, 时的函数值分 别为,, ,则( ) D A. B. C. D. 题型3 二次函数的性质与应用 27 解析 函数的图象是开口向下、对称轴为直线的抛物线， ，且 .故选D. 题型3 二次函数的性质与应用 28 13.[浙江杭州2024高一期末] 如果函数在区间上随着 的增大而增大， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型3 二次函数的性质与应用 29 解析 当时，，满足在上随着 的增大而增大，符合题意； 当时，则二次函数的图象开口向下，且对称轴在直线 右侧，即 解得 . 综上可得，实数的取值范围为 .故选D. 题型3 二次函数的性质与应用 30 14.若函数在区间内存在最小值，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 二次函数的性质与应用 31 解析 函数图象的对称轴为直线， 函数 在 区间内存在最小值，，解得 ，故选B. 题型3 二次函数的性质与应用 32 15.[山东淄博普通高中2024学科素养检测] 已知二次函数，当 时， 若该函数的最大值为，最小值为，则 等于( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型3 二次函数的性质与应用 33 解析 因为二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向下， 所以当或 时取得最小值. 令，可得或 . 当时，，当时，有最大值，且最大值为 ； 当时，，又在上随着的增大而增大，不满足在 时取得 最小值，舍去； 当时，在上随着的增大而减小，不满足在 时取得最小值，舍去; 当时，,当时，有最大值，且最大值为 . 所以 等于3.故选C. 题型3 二次函数的性质与应用 34 16.已知二次函数，当时有最小值，且它的图象与 轴两交点间 的距离为6，则这个二次函数的解析式为_________________. 题型3 二次函数的性质与应用 35 解析 由题意知二次函数图象的对称轴为直线，其与 轴的两交点 的坐标是与，则其图象的顶点为，且过点， .将三个点的坐标代入得 解得 所求二次函数的解析式为 . 题型3 二次函数的性质与应用 36 17.已知函数,，若,，求实数, 的值. 【解】,函数图象的对称轴为直线 . 若,当时，取得最大值，即;当时， 取得最小值，即 , 解得 若，当时，取得最大值，即;当时， 取得最小值，即 ,解得 综上，或 题型3 二次函数的性质与应用 37 18.[河南新乡2024高一月考] 已知，点,, 都在二次函数 的图象上，则( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 38 解析 二次函数，其图象对称轴的方程为 ， 而，所以 ， 当时，随着 的增大而增大， 又因为，所以，所以 . 综上， ．故选D． 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 39 19.[重庆辅仁中学2024高一期中] 已知函数在闭区间 上有最大值3，最小值 2，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 40 解析 二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶 点坐标为，与轴的交点为，其大致图象如图所示.由对称性可知，当时， 或 ， 二次函数在闭区间上有最大值3，最小值2， ，故选D． 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 41 易错警示 二次函数值的大小比较、最值等问题，要先根据对称轴的位置，判断函数的性质，然后解题. 易错点1 忽略二次函数的增减性而致错 20.已知某二次函数的图象与轴交于点，，且过点 . （1）求此二次函数的解析式； 【解】设二次函数的解析式为，将点 的坐标代入得 ，解得， . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 43 （2）求 时的最大值和最小值. [答案] 由（1）得图象的对称轴为直线，与点 关于该对称轴对称的点 为 . 若时，随着 的增大而减小， 则当时取得最大值，为，当时取得最小值，为 ； 若时，当时取得最大值，为，当 时取得最小值，为 ； 若时，当时取得最大值，为；当 时取得最小值，为 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 44 易错警示 二次函数的最值问题，若函数含参数，或者 的取值区间不确定，要对图象的对称轴与 区间的位置关系进行分类讨论，再根据函数的增减性求出函数的最值. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 45 21.[江苏常州高级中学2023高一调研] 已知函数，， 为常数. （1）若函数的图象与轴交于点，，且线段 的长度为6， 求该函数 的解析式； 【解】，令，可得，由题意得， 为该方程的根， 则,,.由 ， 得，解得，故或 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 46 （2）若函数的图象不恒在函数的图象上方，求实数 的取值范围. [答案] 由题意，函数的图象不恒在函数的图象上方，即有解，即 有解， 等价于 有解. 当时，函数的图象与轴有交点，即，解得 ， 故 ； 当时，不等式为 ，符合题意； 当时，函数 的图象开口向下，符合题意. 综上，实数的取值范围为 . 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 47 $$