1.3.1 不等式的性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §3 §3 不等式 2 §3 3.1 不等式的性质 刷基础 3 1.（多选）下列关于不等关系的说法正确的是( ) ACD A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度 （米）满足 B.用不等式表示“与的差是非负数”为 C.不等式的含义是指 不小于2 D.若或之中有一个正确，则 正确 题型1 不等关系的建立 4 解析 因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”,不超过用“ ”表示，故选项A正确；因为 “非负数”即为“不是负数”，所以，故选项B错误；因为不等式表示 或 ，即不小于2，故选项C正确；因为不等式表示或，故若或 中 有一个正确，则一定正确，故选项D正确.故选 . 题型1 不等关系的建立 5 2.[广东深圳2024高一月考] 某公司运输一批木材，总重量为600吨，车队有两种货车， 型货车 载重量30吨，型货车载重量24吨.设派出型货车辆，型货车 辆，则运输方案应满足的关系 式是( ) B A. B. C. D. 题型1 不等关系的建立 6 解析 由题意可得, , 所以有 .故选B. 题型1 不等关系的建立 7 3.（多选）[山东名校联盟2024高一期中] 下列不等式中不成立的是( ) AC A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 题型2 不等式的性质 8 解析 A.若，当时， ，故A满足题意； B.若，则，即 ，故B不满足题意； C.若，则,，即 ，故C满足题意； D.若，则，即 ，故D不满足题意. 故选 . 题型2 不等式的性质 9 4.[湖南长沙2024高一质量检测] 下列说法中，错误的是( ) A A.若，，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，，则 题型2 不等式的性质 10 解析 对A，取,，则 ，故A错误； 对B，由，，得 ，故B正确； 对C,，由，，得，所以 ，故 C正确； 对D，由得，又，所以 ，故D正确.故选A. 题型2 不等式的性质 11 5.已知，则,, 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 题型3 利用不等式的性质比较大小 12 解析 ，，, ， , ．故选B． 题型3 利用不等式的性质比较大小 13 归纳总结 作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等.比较含参数的量的大小时， 若不能确定差的符号，可对参数进行分类讨论. 题型3 利用不等式的性质比较大小 14 6. [浙江杭州六校2024高一联考] 设， ，则有( ) C A. B. C. D. 题型3 利用不等式的性质比较大小 15 解析 ,故 ,故选C. 题型3 利用不等式的性质比较大小 16 链接教材 这道题目是由教材上第26页练习第3题改编得到的,基本的解题思路是作差法比较大小. 比较大小的常用方法有: （1）作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论. （2）作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系；④下结论. 题型3 利用不等式的性质比较大小 17 7.[安徽安庆2023高一月考] 已知，，，则，， 的大小关系为 ( ) B A. B. C. D. 题型3 利用不等式的性质比较大小 18 解析 ，且，故 ； ,且，故 ； ,且，故 . 所以 ，故选B. 题型3 利用不等式的性质比较大小 19 多种解法（分子有理化）因为， ， ，从而得到 . 题型3 利用不等式的性质比较大小 20 8.[陕西咸阳实验中学2024高一段考] 已知，，则 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型4 利用不等式的性质求取值范围 21 解析 由题意可知,,,所以 ,故选D. 题型4 利用不等式的性质求取值范围 9.（多选）实数,满足， ，则下列结论正确的有( ) AC A. B. C. D. 题型4 利用不等式的性质求取值范围 23 解析 根据不等式的性质可得 ，所以A正确； 由可得，所以 ，所以B不正确； 由不等式的基本性质可得 ，所以C正确； 由可得，所以，所以D不正确.故选 . 题型4 利用不等式的性质求取值范围 24 10.[江西南昌2024高一月考] 实数,满足， . （1）求实数, 的取值范围； 【解】由， ， 两式相加得，则,即实数的取值范围是 . 由得 . 又 ， 两式相加得，则，即实数的取值范围是 . 易错点 误用不等式的性质而致错 25 （2）求 的取值范围. [答案] 设 ， 则解得 . , ， ,，则，即 的取值范围是 . 易错点 误用不等式的性质而致错 26 易错警示 同向不等式的两边可以相加减，但是这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次 使用这种转化，就有可能扩大了所求代数式的取值范围.如若由, ,得 ,,两式相加得 ，就扩大了取值范围.因为每个不等式 中的，不是相互独立的，是相互制约的，即随着的变化而变化.在这里需要把和 各 自看作一个整体，用待定系数法令，求出, 的值，然后利用不 等式的性质求出 的取值范围. 易错点 误用不等式的性质而致错 27 §3 3.1 不等式的性质 刷提升 28 1.[辽宁名校联盟2023高一适应性考试] 已知,，设, ，则( ) C A. B. C. D. 29 解析 因为, ， 所以 ， 当且仅当且时等号成立，所以 ，故选C. 30 2.若，，且，，则，，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 31 解析 因为，，所以 . 因为，，所以或.而，，所以 ． 所以 ．故选A． 32 3.已知, ，则( ) B A. B. C. D. 33 解析 由题知，所以，故.由题知 ，所以 ，故 . 因为， ，且 ，所以，故 .故选B. 34 4.[吉林四平2024高一期中] 已知，，则 的取值范 围是( ) D A. B. C. D. 35 解析 设,则 , 所以解得 于是 . 又, , 所以,即,故 .故选D. 36 5.（多选）[浙江温州2024高一联考] 已知，，， 均为实数，则下列命题正确的是( ) AC A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 37 解析 结合不等式的性质逐项分析. A选项,由,得,根据不等式同向相加的原则可得 ,故A正确； B选项,若,,则 , 故B错误； C选项,,,则 , 即 ,故C正确； D选项,取,,,,满足,,则,故D错误.故选 . 38 6.[河南新乡2024高一期中] 体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础 知识、基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平.新学期开学之际，某校 计划用不超过1 500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球.已知该校至少要购买8 个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有( ) D A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 39 解析 设购买的篮球个数为,足球个数为,且, , 根据题意可得 解得符合题意的有序实数对可以是,,,, , 共5种不同的选购方式.故选D. 40 7.,,,,设 ,则下列判断正确的是( ) B A. B. C. D. 41 思路导引 观察题中式子， ，每一项的分母都不一样，分子相 加为，可以将每项的分母都放大成，则的值变小，可以得到 的最小 值（取不到）；再考虑如何求的最大值，因为分母放大为 ，若每项的分子和分母 加上同一个数，则分子的和为 ，再由正 的真分数分子分母同时加上同一个正数，分式的值变大，得的值变大，可以得到 的最大值 （取不到），从而求得 的范围. 42 解析 ,,, ， , ， .故选B. 43 名师点拨 对于一些代数式如果要比较大小或求其取值范围，有时候会采用对各分母逐项缩小或 放大来达到目的，可以从把分子或分母放缩成同一个式子的角度入手.比如：设， ， ，，比较，的大小关系，可先对 的各分母 逐项缩小,，，，， ， ，由不等式的性质得，即 . 44 二级结论 与分式有关的性质 假设,,,是不同的整式，且，,, , （1）若分式满足 ,则分子、分母同时加上同一个正数，分式值变大； 分子、分母同时减去同一个正数（分子、分母依然大于0），分式值变小. （2）若,则;; . 45 8.设实数，满足，，则 的取值范围为_______. 46 解析 ，， , ，即 . 47 9.[湖北鄂东南示范高中2024高一月考] （1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖 （假设全部溶解），糖水变甜 了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【解】克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为 ， 再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例为 ， 糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有 ，证明如下： ，则 . 48 （2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克 元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买 到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格 物品的总价钱 物品的总质量） [答案] 对于东东而言，他买到的糖的平均价格为 （元/千克）. 对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为 千克，故华 华买到的糖的平均价格为 （元/千克）. ，即东东买到的糖的平均价格较高. 49 10.[陕西榆林十中2024高一期中] 证明下列不等式： （1）已知，求证： ； 【证明】,即, , ,则 . 50 （2）已知,,，求证： . [答案] ,,, , ,, , 则 , . 51 $$