1.2.1 必要条件与充分条件-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 常用逻辑用语 2 §2 2.1 必要条件与充分条件 刷基础 3 1. 下列说法正确的是( ) D A.“”是“ ”的充分条件 B.“”是“ ”的必要条件 C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件 D.“”是“ ”的充分不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 4 解析 对于A,当时,满足,但此时存在 的情况,故A错误； 对于B,等价于或,故“”是“ ”的充分不必要条件,故B错误； 对于C,“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件,故C错误； 对于D,“”是“ ” 的充分不必要条件,故D正确. 故选D. 题型1 必要条件与充分条件的判定 5 链接教材 本题是教材第17页例3的同类试题，考查充分条件、必要条件的判断.充分条件、必要 条件、充要条件的判断方法有: （1）定义法：根据， 是否成立进行判断． （2）集合法：根据使， 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断． 题型1 必要条件与充分条件的判定 6 2.[安徽阜阳一中2024高一月考] 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.” 这句来自先秦时期的名言中的“积跬步”是“至千里”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 7 解析 “积跬步”不一定“至千里”,但“至千里”必有“积跬步”,所以“积跬步”是“至千里” 的必要不充分条件.故选B. 题型1 必要条件与充分条件的判定 8 3.若是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，则是 的( ) B A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 必要条件与充分条件的判定 9 解析 是B的充分条件，；是C的必要条件，； 是B的充要条件， .由①③得,由②④得, 是A的必要条件.故选B. 题型1 必要条件与充分条件的判定 10 4.设，是非空集合，则“”是“ ”的______条件.（填“充分”或“必要”） 必要 题型1 必要条件与充分条件的判定 11 解析 由，，可知“”是“ ”的必要条件. 题型1 必要条件与充分条件的判定 5.“”是“一元二次方程 有实数解”的____________条件.（填“充要”“充 分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 充分不必要 题型1 必要条件与充分条件的判定 13 解析 一元二次方程有实数解,即.因为 ,反 之不成立，所以“”是“一元二次方程 有实数解”的充分不必要条件. 题型1 必要条件与充分条件的判定 14 6.[河南八地市2024高一期中] 已知为全集，集合，为的两个子集，则“ ”的充要 条件是( ) A A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 15 解析 因为 ,则A,B间的关系如图, 或 . 由图可知B,C,D错误,A正确.故选A. 题型2 必要条件与充分条件的探求 16 规律方法 探求“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”的策略 ①寻找充要条件：只需要找一个等价条件或者求一个与已知条件对应集合相等的集合即可； ②寻找充分不必要条件：就是找一个已知条件对应集合的真子集； ③寻找必要不充分条件：就是找一个比已知条件对应集合“更大”的集合. 题型2 必要条件与充分条件的探求 17 7.[陕西西安长安一中2024高一质量检测] 使“ ”成立的一个充分不必要条件是( ) B A.任意, B.任意, C.存在, D.存在, 题型2 必要条件与充分条件的探求 18 解析 对于A,若任意,,当时, 成立, 所以任意,推不出 ,A错误； 对于B,任意,,则,即 , 所以任意, , 若,任意,不妨取,,,则 , 所以推不出任意, , 所以“任意,”是“ ”的充分不必要条件,B正确； 对于C,若,存在,使得,即 , 即 存在, , 所以“存在,”是“ ”的必要条件,C错误； 对于D,若存在,,则,即,当且仅当 时,等号成立, 所以存在,推不出 ,D错误.故选B. 题型2 必要条件与充分条件的探求 19 8.[广东汕头2024高一期末] 下列命题中是 的必要条件的是( ) A A., B., C., D., 题型2 必要条件与充分条件的探求 20 解析 对于A, ,故A正确； 对于B,或 ,故B错误； 对于C, ,故C错误； 对于D,或 ,故D错误.故选A. 题型2 必要条件与充分条件的探求 21 9.（多选）[辽宁沈阳2023高一开学考] 设计如图所示的四个电路图，若开关闭合,灯泡 亮，则是 的充要条件的电路图是( ) BD A. B. C. D. 题型2 必要条件与充分条件的探求 22 解析 由题知，电路图A中，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮开关不一定闭合，故A中是 的 充分不必要条件；电路图B中，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关一定闭合，故B中 是 的充要条件；电路图C中，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮则开关一定闭合，故C中是 的必要不充分条件；电路图D中，开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，则一定有开关闭合，故D中 是的充要条件.故选 . 题型2 必要条件与充分条件的探求 23 10.下列不等式：；；；； .其中可以 作为 的充分不必要条件的所有序号为______. ②③ 题型2 必要条件与充分条件的探求 24 解析 由，解得 . 对于①，是 的必要不充分条件; 对于②，是 的充分不必要条件; 对于③，是 的充分不必要条件; 对于④，是 的充要条件; 对于⑤，是 的必要不充分条件.故选②③. 题型2 必要条件与充分条件的探求 25 11.[湖南名校联合体2024高一期中] 设；，若是 的充分不必要条件， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 必要条件与充分条件的应用 26 解析 若是的充分不必要条件,则且等号不同时成立,解得 .故选A. 题型3 必要条件与充分条件的应用 27 规律方法 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤 （1）记集合， . （2）根据与的关系确定集合与 的包含关系： 是的充分条件，则有；是的充分不必要条件，则有 ； 是的必要条件，则有；是必要不充分条件，则有 ； 是的充要条件，则有 . （3）根据集合与 的包含关系建立关于参数的不等式（组）. （4）解不等式（组）求出参数的取值范围. 注意不等式端点值能否取到等号. 题型3 必要条件与充分条件的应用 28 12.已知，，若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 必要条件与充分条件的应用 29 解析 因为成立的一个充分不必要条件是，所以．当，即 时， ，符合题意；当，即时，要使，则需，即 ， 故 ． 综上，实数的取值范围是 ． 故选B． 题型3 必要条件与充分条件的应用 30 特别注意 注意区分：是的充分不必要条件和成立的充分不必要条件是 的区别. 是的充分不必要条件，意味着且，即所对应的集合是 所对应集合的真子集； 成立的充分不必要条件是，即是的充分不必要条件，意味着且，即 所对应的集 合是 所对应集合的真子集.务必重视语句是否倒装,倒装时先转化为正常的语句结构再理解. 题型3 必要条件与充分条件的应用 31 13.[河南鹤壁2023高一月考] 已知，，且是 的必 要不充分条件，则实数 的取值范围是______. 题型3 必要条件与充分条件的应用 32 解析 因为，，且是 的必要不充分条件， 所以是的真子集，且 . 所以且等号不同时成立，解得 ， 所以实数的取值范围是 . 题型3 必要条件与充分条件的应用 33 14.[江西上饶二中2024高一期中] 已知方程至少有一个负实根，若 成立的一 个必要不充分条件为，则实数 的取值范围是___________. 题型3 必要条件与充分条件的应用 34 解析 若方程 至少有一个负实根, 当时,, ,符合题意. 当时,,设方程的两根分别为,,则, , 则此时方程 有一个正根和一个负根,符合题意. 当时,由,解得 , 此时方程为, 符合题意； 由,解得 , 此时, , 则此时方程 有两个负根,符合题意. 综上所述,实数的取值范围是 . 若成立的一个必要不充分条件为,则,得到 . 题型3 必要条件与充分条件的应用 35 规律方法 含参数的一元二次型方程根的分布问题,可采用直接讨论法来进行研究,也可以采用分离 参数法来进行研究,如果采用直接讨论法,在分类讨论的过程中,要注意做到不重不漏. 题型3 必要条件与充分条件的应用 36 15.已知集合或， . （1）求实数的取值范围，使它成为 的充要条件； 【解】的一个充要条件是，所以实数 的取值范围是 . （2）求实数的一个值，使它成为 的一个充分不必要条件； [答案] 显然，满足的数中任意一个的值都是 的一个充分不必 要条件. （3）求实数的取值范围，使它成为 的一个必要不充分条件. [答案] 由（1）知的充要条件是,要求实数 的取值范围， 使它成为的一个必要不充分条件，即求一个集合，满足 是该集合的真子集，那么 是所求的一个必要不充分条件.（答案不唯一） 题型3 必要条件与充分条件的应用 37 16.甲：“实数,,满足”，乙：“实数,,满足 ”，则甲是乙的( ) A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错点1 条件判定不全面而致误 38 解析 当时，实数,,满足，但此时 不成立；反过来,由 得 . 综上所述，“实数,,满足”是“实数,,满足 ”的必要不充分条件，故选A. 易错点1 条件判定不全面而致误 39 易错警示 充要条件的判断问题，若直接判断条件与结论之间的关系，则需要严格推理论证，若 考虑问题不全面，则会造成错解，如本题中若忽视了 ,则会造成错解. 易错点1 条件判定不全面而致误 40 17.（多选）[河南南阳六校2024高一期中联考] 已知是的充分不必要条件，是 的充分条件， 是的必要条件，是 的必要条件，下列命题正确的是( ) AB A.是的充要条件 B.是 的充分条件 C.是的必要不充分条件 D.是 的充分不必要条件 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 41 解析 由已知得，,，，，由此得且 ，A正确，C不正确； ，B正确；且，D不正确.故选 . 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 42 易错警示 本题是抽象的结论与条件之间的关系，求解时要注意根据多个条件与结论之间的推出 关系的传递性，厘清,,, 之间的推出关系. 易错点2 不能正确理解充分、必要条件的传递性而致误 43 18.[湖南株洲2023高一月考] 已知的三条边为,,，求证： 是等边三角形的充要条 件是 . 【证明】必要性： ， , . 充分性： ， , ， 即，， 是等边三角形，得证. 易错点3 不能正确区分命题的条件与结论而致误 44 易错警示 一般地，证明“是的充要条件”时，证明要分两个方面:一是证充分性，即 ； 二是证必要性，即.但在证明“成立的充要条件为”时，要注意这是倒装句，即“是 成 立的充要条件”，在证充分性时应以为“已知条件”，是该步中要证明的“结论”，即 ； 证明必要性时则是以为“已知条件”，为该步中要证明的“结论”，即 . 易错点3 不能正确区分命题的条件与结论而致误 45 19.[四川成都2024高一月考] 设集合，，则是 的真 子集的一个充分不必要条件是( ) D A. B. C. D. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 46 解析 ， . 若,则 ,;若,则;若,则 .所以结合选项知， 的一个充分不必要条件是 .故选D. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 47 20.[广东佛山2024高一月考] 关于的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条 件的是( ) A A. B. C. D. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 48 解析 因为一元二次方程有实根，所以，解得 . 又，所以“”是“ ”的必要不充分条件，故选A. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 49 易错警示 以上两题中要注意条件属性的要求，否则易错求解为充要条件.探求充分条件、必要条 件的问题，通常是先推导出充要条件，将充要条件对应的范围扩大即得到结论的必要不充分条件， 将充要条件对应的范围缩小即得到结论的充分不必要条件.即充要条件所对应集合是必要不充分条 件所对应集合的真子集；充分不必要条件所对应集合是充要条件所对应集合的真子集. 易错点4 条件探求中忽视要求而致误 50 §2 2.1 必要条件与充分条件 刷提升 51 1.[江苏盐城响水中学2024高一期中] “”是“ ”的( ) D A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充要条件 D.必要不充分条件 52 解析 由得 , 所以 , 又因为“”是“ ”的必要不充分条件, 所以“”是“ ”的必要不充分条件.故选D. 53 规律方法 判断充分条件、必要条件的关键是看条件和结论之间是否能够推出,首先可以举反例说 明推不出,如果举不出反例则需要证明能推出. 54 2.[辽宁省实验中学2024高一月考] 已知不等式成立的充分不必要条件是 ， 则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 55 解析 解不等式,可得 , 又不等式成立的充分不必要条件是 ,所以可得 , 所以解得 , 经检验不等式两边不会同时取到等号, 所以实数的取值范围是 .故选D. 56 3.设集合，，那么“或”是“ ”的( ) C A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 57 解析 “或”对应的集合为,“”对应的集合为 . 因为为的真子集,故“ 或”是“ ”的必要不充分条件.故选C. 58 4.[重庆八中2024高一月考] 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如 ， ，，那么“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 59 解析 如果,,则有,,, , 所以,所以是 的充分条件； 反之,若,比如,,则有 , 根据定义,,, ,即不是必要条件. 故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 60 5.（多选）[河北石家庄二中2024高一月考] 若“或”是“ ”的必要不 充分条件，则实数 的值可以是( ) ACD A. B. C.1 D.4 61 解析 若“或”是“ ”的必要不充分条件, 则或 , 所以或.故选 . 62 6.（多选）[辽宁沈阳二中2024高一段考] 下面命题为真命题的是( ) ABD A.设，，则“”是“ ”的必要不充分条件 B.“”是“二次方程 有一正根一负根”的充要条件 C.“”是“ ”的充分不必要条件 D.“”是“ 为单元素集合”的充分不必要条件 63 解析 对于A,当,时,；若,则且 , 因此“”是“ ”的必要不充分条件,A正确. 对于B,当时,方程的判别式 , 则方程有两个不相等的实根,,显然 , 即方程 有一正根一负根； 当方程有一正根一负根,时,且 ,解 得 , 因此“”是“二次方程 有一正根一负根”的充要条件,B正确. 对于C,当时,成立,因此“”不是“ ”的充分条件,C错误. 对于D,当时,方程为,解得,即 ,满足充分性, 而当时,方程为,解得,此时集合 也为单元素集合，不满足必要性,D正确. 故选 . 64 7.若，都是实数，试从；；； 中选出适合的条 件，用序号填空. （1）“， 都为0”的必要条件是________; （2）“， 都不为0”的充分条件是____; （3）“， 至少有一个为0”的充要条件是____. ①②③ ④ ① 65 解析 或,即, 至少有一个为0； ②,互为相反数,则, 可能均为0,也可能为一正一负； ③或 ④或 则, 都不为0. 故（1）“, 都为0”的必要条件是①②③； （2）“, 都不为0”的充分条件是④； （3）“, 至少有一个为0”的充要条件是①. 66 8.[陕西咸阳实验中学2023高一月考] 已知命题关于 的方程 的两根均属于集合 . （1）若命题为真命题，求实数的取值集合 . 【解】由得 ,所以 或 . 因为命题 为真命题, 所以得 . 所以 . 67 （2）设，是否存在实数，使得“”是“ ”的必要不充 分条件?若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由. [答案] 由（1）得集合,集合 , 由题得是 的真子集. 当 时,,解得 ,满足题意； 当 时,或 解得 . 综上所述,存在实数 满足条件. 68 规律方法 充分、必要条件和对应集合的关系可根据如下规则转化： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是 对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是 对应集合的真子集； （3）若是的充要条件，则对应集合与 对应集合相等； （4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与 对应集合互不包含. 69 $$