1.1.2 集合的基本关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (北师大版)

数学 必修第一册 BS 1 §1 §1 集合 2 §1 1.2 集合的基本关系 刷基础 3 1.对于集合，，“ ”不成立的含义是( ) C A.是的子集 B.中的元素都不是 的元素 C.中至少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 题型1 子集、真子集的概念 4 解析 “ ”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合 A中至少有一个元素不属于集合B，故选C. 题型1 子集、真子集的概念 5 2.（多选）下列说法中，正确的有( ) BD A.空集是任何集合的真子集 B.若，，则 C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.若不属于的元素一定不属于，则 题型1 子集、真子集的概念 6 解析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错误；真子集具有传递性， 故选项B正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错误；由图易知选项D正确.故选 . 题型1 子集、真子集的概念 7 3.[广西南宁二中2024高一月考] 已知集合,，,，则与 的关系为( ) C A. B. C. D. 解析 若，则，所以，因为，且，所以 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 8 归纳总结 判断集合间的关系的技巧 （1）对于离散的数集和点集可以采用列举法写出一部分元素，观察两集合的包含关系；（2）对 于区间型集合可以用数轴分析其关系；（3）对于较为抽象的其他集合可以检验其中一个集合的 元素是否满足另外一个集合的性质，从而判定一个集合是否包含于另外一个集合. 题型1 子集、真子集的概念 9 4.[湖北重点中学2024高一联考] 集合，,,且，则集合 的真子集的个数为( ) C A.5 B.15 C.31 D.32 题型1 子集、真子集的概念 10 解析 由,,,且 , 得,,,, ,集合B中含有5个元素, 所以集合B的真子集个数为 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 11 二级结论 若集合中有个元素，则子集个数为，非空子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 . 题型1 子集、真子集的概念 12 5.已知集合,，,,则满足条件 的集 合 的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 题型1 子集、真子集的概念 13 解析 由题得，,3,4，.因为 ，所以根据子集的定义，集合C必须含有 元素2,5，所以或或 .故选C. 题型1 子集、真子集的概念 14 多种解法 因为中有2个元素,中有4个元素，,则有 （个）. 二级结论 若集合中有个元素，集合中有个元素, ， 若，则集合有 个； 若，则集合有 个； 若，则集合有 个； 若，则集合有 个. 题型1 子集、真子集的概念 15 6.[云南昆明2024高一月考] 设集合,，,,，若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 题型2 根据集合的关系求参数 16 解析 因为,,,,,且 , 所以或 , 当时,,则,,,此时不满足 , 所以 舍去； 当时,,则,,,, ,符合题意. 综上, .故选B. 题型2 根据集合的关系求参数 17 7.已知集合，.若，则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 题型2 根据集合的关系求参数 18 解析 因为，，，所以 ．故选A. 题型2 根据集合的关系求参数 8.[河北师大附中2024高一月考] 下面选项中的两个集合相等的是( ) C A., B.,, C., D. , 题型3 集合的相等 20 解析 对于A,两个集合都是点集,但两个集合的元素不相同,所以不是相等集合,故A错误； 对于B,集合表示数集,有2个元素,分别是1和0,集合是点集,只有1个元素,为 ,所以不是相等 集合,故B错误； 对于C,,得,即 ,故C正确； 对于D,集合是空集,但集合是非空集,里面有1个元素 ,所以不是相等集合,故D错误.故选C. 题型3 集合的相等 21 归纳总结 两集合相等常见考法及解法 （1）若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互 异性或与已知相矛盾的情形. （2）若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素类型是否一致，再看代表元素 满足的条件是否一致.若均一致，则两集合相等. （3）证明集合与相等的常用思路是“证且 ”. 特别注意 注意区分数集与点集,分辨集合元素的无序性和有序点对的有序性. 题型3 集合的相等 22 9.[江西赣州2023高一月考] 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成,, ， 则 ____. 题型3 集合的相等 23 解析 由题意,,，显然，故，即，此时,0,,, ， 故，且，即.所以 . 题型3 集合的相等 24 10.（多选）[北京东城区2024高一期中] 如下四个结论正确的有( ) ABC A. B. C. D. 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 25 解析 空集是自身的子集，A对； 为集合 中的元素，B对；空集是任何非空集合的真子集，C 对；是含一个元素0的集合，不是空集，D错.故正确结论为 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 26 易错警示 集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空 集是不含有任何元素的集合，且规定 . 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 27 11.（多选）设，，若，则实数 的值可以是 ( ) ABD A.0 B. C.4 D.1 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 28 解析 因为，，所以 或或或 ， 若 ，则；若，则；若，则；若 ，无解． 故选 ． 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 29 12.[江苏苏州2024高一月考] 已知集合， .若 ，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 30 解析 当 时,满足,此时,解得 ； 当 时,由得解得 . 综上所述,实数的取值范围为 .故选C. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 31 易错警示 求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况， 因此本题求解的易错之处是忽视集合为空集的特殊情况而导致漏解.本题若改为 ，则不需 要考虑集合 为空集的特殊情况. 易错点2 忽略对空集的讨论而致错 32 13.已知集合,集合.若，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 33 解析 集合，集合，若，则 .故选D. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 易错警示 此类根据集合间的关系求参数的问题要检验端点值能否取到，若取等后满足则能取到， 否则取不到.本题的易错之处是误认为 可以取到0而错选B. 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 35 §1 1.2 集合的基本关系 刷提升 36 1.（多选）[河南信阳高中2024高一月考] 下列选项中正确的是( ) CD A.{质数奇数} B.集合与集合 没有相同的子集 C.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若，，则 37 解析 A.2是质数，但是它不是奇数，所以{质数}{奇数}错误，所以A错误；B.集合 与集合 有相同的子集 ，所以B错误；C.空集是任何集合的子集，空集没有真子集，所以C正确； D.若，，则，所以D正确.故选 . 38 2.[四川南充2023高一月考] 已知集合 ，则( ) D A. B. C. D. 39 解析 由题意,集合,，故，A错误； 是集合 的子集， ，“ ”符号使用错误，B错误； ，C错误，D正确.故选D. 40 3.[安徽亳州2024高一月考] 已知集合,,，则满足 , 的集合 的个数为( ) A A.16 B.14 C.8 D.2 41 解析 由集合,, , 可得集合A中的元素有,,,,, , 所以集合,,,的任何一个子集,添加元素, 后都可以作为集合B, 所以符合条件的集合B共有 个.故选A. 42 4.（多选）下列集合中子集个数等于1的是( ) ABC A. B.{ 是边长分别为1，2，3的三角形} C. D. 43 解析 ，子集个数为1；是边长分别为1，2，3的三角形 ， 子集个数为1； ，子集个数为1； 中含有1个元素，因此其子集个数为2. 故选 . 44 5.[吉林吉化一中2024高一月考] 已知集合,, ， ，则下列,, 的关系正确的是( ) B A. B. C. D. 45 解析 由,,, , 而为奇数,为整数,又,所以 .故选B. 46 6.[山西大同2024高一期中] 非空数集,,, , 的所有元素的算术平均数记 为，即.若非空数集满足下列两个条件：（1） ；（2） ，则称为的一个“保均值子集”.据此推理，集合 的“保均值子集”有 ( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 47 解析 非空数集中,所有元素的算术平均数 , 在所有子集中选出元素的算术平均数为5的子集即可, 所以集合A的“保均值子集”有,,,,,, ,共7个.故选C. 48 7.[湖北武汉六中2024高一月考] 设均为实数，若集合,, 的所有非空真子集的 元素之和为12，则 ___. 4 49 解析 集合,,的所有非空真子集为,,,,,,,, ，由题意可得 ，解得 . 50 8.[江苏盐城2023高一月考] 已知集合，, ， . （1）若，求实数 的值； 【解】易知集合， 由得 或 解得 . 51 （2）若，求实数 的取值范围. [答案] 当时，满足 . 当 时， ①当，即时， 满足， . ②当，即时， ，不满足 . ③当，即时，若满足，只能，则有 无解. 综上所述，实数的取值范围为或 . 52 9.已知集合， . （1）若，求实数 的取值范围. 【解】 集合， ． 若，则解得 ， 实数的取值范围是 ． 53 （2）若，求实数 的取值范围. [答案] ，当 时，，；当 即时，无解. 实数的取值范围是 ． （3）集合与能否相等？若能，求出实数 的值，若不能，请说明理由. [答案] 当时，无解， 集合与 不能相等． 54 归纳总结 根据集合间的关系求参数的值或取值范围时，应根据集合中元素的类型（如数集、点 集、图形等），转化为对应方程（组）或不等式（组）等，再求出相关参数的值或取值范围.转化 过程中可借助数轴、 图、函数图象等. 55 10.[2023全国高中数学联赛北京赛区预赛] 是集合,2, , 的子集，满足任意两个元素的 平方和不是9的倍数，则的最大值是________.（这里表示 的元素个数） 1 350 56 解析 ，，，，，，，， ， 的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9， 的平方除以9的余数分别是1，4，0，7，7， 0，4，1，0， 任意一个整数的平方被9除的余数只能是0,1,4,7, ,,,,,,,, , ,,1,4,7的任意两个数的和（除0和0外）均不是9的倍数， 任意两个数的平方和是 9的倍数只能要求这两个数的平方本身是9的倍数， 余1, 的平方是9的倍数的数有674个， 的最大值为 . 57 $$