作业(七) 离散型随机变量及其分布列、数字特征-2024年高二数学暑假作业（湘教版）

高二数学(配XJ版) 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.随机变量 (1)随机变量:如果随机试验每一个可能结 果e,都唯一地对应着一个实数X(e),则这 个随着试验结果不同而变化的变量称为随 机变量. (2)离散型随机变量:如果随机变量 X 的 所有取值都可以逐个列举出来,则称X 为 离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 (1)意义:一般地,设离散型随机变量X 的 可能取值为x1,x2,…,xn,其相应的概率 为p1,p2,…,pn,记 P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n). (*) 或把(*)式列成下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表或(*)式称为离散型随机变量 X 的 概率分布列(简称X 的分布列). (2)表示方法:①表格;②概率分布图. (3)性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n; ②p1+p2+…+pn=1. 3.离散型随机变量的数学期望 (1)定义:一般地,若离散型随机变量X 的 分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X 的数学期望或均值. (2)意义:均值是随机变量可能取值关于取 值概率的加权平均数,它综合了随机变量 的取值和取值的概率,反映了随机变量取 值的平均水平. (3)性质:E(aX+b)=aE(X)+b. (4)两点分布的均值:如果随机变量 X 服 从两点分布,那么E(X)=p. 4.离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称 D (X)= E {[X - E (X)]2}= (x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+ (xn-E(X))2pn 为随机变量X 的方差,并 称 D(X)为随机变量X 的标准差,通常还 用σ2 表 示 方 差 D(X),用σ 表 示 标 准 差 D(X). (2)方差和标准差的意义:随机变量的方差 和标准差都可以度量随机变量取值与其均 值的偏离程度,反映了随机变量取值的离 散程度.方差或标准差越小,随机变量的取 值越集中;方差或标准差越大,随机变量的 取值越分散. (3)离散型随机变量的方差的性质:D(aX+ b)=a2D(X). 5.解答均值、方差问题的三个步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模 型,可能用到的事件类型,所用的公式有 哪些. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量 的均值、方差. (3)对照实际意义,回答均值、方差等所表 示的结论. 1.拋掷两枚骰子,所得点数之和为 X,那么 X=4表示的试验结果为 ( ) A.一枚1点、一枚3点 B.两枚都是4点 C.两枚都是2点 D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点 2.设离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.20.10.10.3 m 若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)= ( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 3.甲、乙两位工人在一天生产中出现的废品 数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分 别为: X 0 1 2 3 P 0.40.30.20.1 Y 0 1 2 P 0.30.50.2 若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人 中技术较好的是 . 4.若离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 P 9c2-c 3-8c 则常数c的值为 . 1.已知离散型随机变量X 服从两点分布,且 P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a= ( ) A.23 B. 1 2 C.13 D. 1 4 2.设随机变量ξ的分布列如下表,则P(|ξ- 3|=1)= ( ) ξ 1 2 3 4 P 112 a 1 3 1 3 A.712 B. 1 2 C.512 D. 1 6 3.(2024·宁波模拟)随机变量 X 的分布 列为 X 0 1 m P 15 n 3 10 若E(X)=1.1,则D(X)= ( ) A.0.49 B.0.69 C.1 D.2 4.(2024·合肥模拟)小林从A 地出发去往 B 地,1小时内到达的概率为0.4,1小时 10分到达的概率为0.3,1小时20分到达 的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖 励为200元,若超过1小时到达,则每超过 1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖 励为X 元,则E(X)= ( ) A.176 B.182 C.184 D.186 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 高二数学(配XJ版) 5.已知离散型随机变 量ξ 的 分 布 列 如 表 所示: ξ -2 0 2 P a b 12 若随 机 变 量 ξ 的 均 值 E(ξ)= 1 2 ,则 D(2ξ+1)= . 6.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目, 假设小张甲科目合格的概率为3 4 ,乙、丙科 目合格的概率均为2 3 ,且3个科目是否合 格相互独立.设小张3科中合格的科目数 为X,则 P(X=2)= ,E(X)= . 7.(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4 的小球各2个,随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字两两不同 的概率; (2)记取出的3个小球上的最小数字为X, 求X 的分布列及数学期望E(X). 8.家用自来水水龙头由于使用频繁,很容易 损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素 的影响,企业生产每件水龙头的利润与该 水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门 厂生产尺寸都为4分(指的是英制尺寸)的 甲(不锈钢阀芯)、乙(黄铜阀芯)两种家用 水龙头,保修期均为1年(4个季度).现从 该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取 200件,统计数据如表所示, 种类 甲 乙 首次出 现损坏 时间x/ 季度 0<x≤4 x>4 0<x≤2 2<x≤4 x>4 水龙头 数量/件 20 180 8 16 176 每件的 利润/元 3.6 5.8 2 4 6 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲、乙两种水龙头中各随 机抽取一件,求恰有一件首次出现损坏发 生在保修期内的概率; (2)由于资金限制,只能生产其中一种水龙 头.若从水龙头的利润的均值考虑,你认为 应选择生产哪种水龙头比较合理? 1.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上 数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随 机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小 值为ξ,则 P(ξ=2)= ,E(ξ)= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 2.(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进 行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目 胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个 项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠 军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率 分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果 相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X 表示乙学校的总得分,求X 的分 布列. 易错一 对离散型随机变量的概念理解不 清致误 [示例1] 下列随机变量不是离散型随机 变量的有 .(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X; ②广州某水文站观测到一天中珠江的水 位X; ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X; ④虎门大桥一天经过的车辆数X. [名师叮嘱] 这类问题主要考查离散型随机变 量的概念,解答过程中要明确其满足的四个特征: (1)离散型随机变量可用实数来表示. (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值. (4)试验结果能一一列出. 易错二 试验结果列举不全致分布列出错 [示例2] 一盒中有9个正品零件和3个 次品零件,安装机器时从这批零件中随机 抽取,如果取出的是次品则不放回,求在第 一次取到正品之前已取出的次品数 X 的 分布列. [名师叮嘱] 要注意随机变量取值的准确性以 及计算概率的正确性.本题中的易错之处是试验结 果的所有可能情况列举不全,漏掉了X=0的情况, 即第一次取到正品的情况. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 作业(七) 离散型随机变量及其分布列、数字特征 【基础诊断】 1.D 2.A 3.乙 4.13 【综合应用】 1.C 因为X 服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)= 1,则P(X=0)=3-4P(X=1)=3-4[1-P(X=0)], 解得P(X=0)=13 ,所以a=13. 故选C. 2.A ∵112+a+ 1 3+ 1 3=1 ,∴a=14 ,由|ξ-3|=1,解得 ξ=2或ξ=4,∴P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)= 1 4+ 1 3= 7 12 ,故选A. 3.A 由 分 布 列 性 质 知 15+n+ 3 10=1 ,解 得n= 12 , ∴E(X)=0×15+1× 1 2+m× 3 10=1.1 ,∴m=2, ∴D(X)=(0-1.1)2×15+ (1-1.1)2×12+ (2- 1.1)2×310=0.49 ,故选A. 4.B 依题意可得 X 的所有可能取值为200,180,160. P(X=200)=0.4,P(X=180)=0.3,P(X=160)= 0.3,X 的分布列如下, X 200 180 160 P 0.4 0.3 0.3 则E(X)=200×0.4+(180+160)×0.3=182,故选B. 5.解析 由表中数据得,E(ξ)=-2a+0×b+2× 1 2= 1 2 ,解得a=14 , 又a+b+12=1 , 所以b=14 , 所以 D(ξ)= -2- 1 2 2 × 14 + 0- 1 2 2 × 14 + 2-12 2 ×12= 11 4 , 所以D(2ξ+1)=22D(ξ)=11. 答案 11 6.解 析 P(X =2)= 1-34 × 23 × 23 + 34 × 1-23 ×23+34×23× 1-23 =49; P(X=0)= 1-34 × 1-23 × 1-23 =136, P(X=1)=34× 1- 2 3 × 1-23 + 1-34 ×23 × 1-23 + 1-34 × 1-23 ×23=736, P(X=3)=34× 2 3× 2 3= 1 3 , 所以E(X)=0×136+1× 7 36+2× 4 9+3× 1 3= 25 12. 答案 49 25 12 7.解析 (1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事 件 M,先确定3个不同数字的小球,有C34 种方法,然后 每种小球各取1个,有C12×C12×C12 种取法,∴P(M)= C34C12C12C12 C38 =47. (2)X 的所有可能取值为1,2,3. P(X=1)= C12C26+C22C16 C38 =914 , P(X=2)= C12C24+C22C14 C38 =27 , P(X=3)= C12C22+C22C12 C38 =114. ∴X 的分布列如下: X 1 2 3 P 914 2 7 1 14 E(X)=914+ 4 7+ 3 14= 10 7. 8.解析 (1)设“甲种水龙头首次出现损坏发生在保修期 内”为事件A,则P(A)=20200= 1 10 ; 设“乙种水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件 B,则P(B)=8+16200 = 3 25. 设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C, 则P(C)=P(􀭿A)P(B)+P(A)P(􀭺B)=910× 3 25+ 1 10× 22 25 =49250. (2)记生产1件甲种水龙头的利润为X1元,生产1件乙种 水龙头的利润为X2元,则X1的分布列为 X1 3.65.8 P 110 9 10 则E(X1)=3.6× 1 10+5.8× 9 10=5.58. X2的分布列为 X2 2 4 6 P 125 2 25 22 25 则E(X2)=2× 1 25+4× 2 25+6× 22 25=5.68. 因为E(X1)<E(X2), 所以选择生产乙种水龙头比较合理. 【真题体验】 1.解析 P(ξ=2)= C12·C24+C14 C37 =1635. ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ=1)= C26 C37 =1535 ,P(ξ=2)= 16 35 ,P(ξ=3)= C23 C37 =335 , P(ξ=4)= C22 C37 =135 ,故E(ξ)=1× 15 35+2× 16 35+3× 3 35+ 4×135= 12 7. 答案 1635 12 7 2.解析 (1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X 的可能取值为0,10,20,30, 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)× (1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 高二数学(配XJ版) P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 故X 的分布列为 X 0 10 20 30 P(X)0.16 0.44 0.34 0.06 【易错警示】 [示例1] [解析] 中的随机变量X 的所有取值,我们都 可以按照一定的次序一一列出,因此它们是离散型随机 变量;②中随机变量X 可以取某一区间内的一切值,但 无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量. [答案] ①③④ [示例2] [解析] 随机变量X 的所有可能取值为0,1, 2,3.x=0表示第一次取到正品,则P(X=0)= A19 A112 = 3 4 ,X=1表示第一次取到次品,第二次取到正品,则 P(X=1)= A13A19 A212 =944 ,同理,可求得P(X=2)= A23A19 A312 = 9220 ,P(X=3)= A33A19 A412 = 1220 , 因此随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 34 9 44 9 220 1 220 作业(八) 二项分布、超几何分布与正态分布 【基础诊断】 1.C 2.D 3.65 4.2 2 3 【综合应用】 1.A 由题意 np=54 , np(1-p)=1516 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 p= 1 4 , n=5, 故选A. 2.A 4 次 测 试 即 为 4 次 独 立 重 复 试 验,故 概 率 为 C34 4 5 3 ×15+C 4 4 4 5 4 =512625. 3.ACD 从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互 不影响,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球记 1分,取到白球记0分,取4次球的总分数,即为取到黑 球的个数,所以随机变量 X 服从二项分布,即 X~B 4,23 ,故A正确;P(X=2)=C24 23 2 1 3 2 =827 , 故B错误;因为 X~B 4,23 ,所以E(X)=4×23= 8 3 ,故C正确;D(X)=4×23× 1 3= 8 9 ,故D正确. 4.BD 对于A,由正态曲线可知甲地数学平均成绩为90 分,乙地数学平均成绩为100分,故甲地数学的平均成 绩比乙地的低,故A错误;对于B,由正态分布曲线可看 出乙地数学成绩更集中,故甲地数学成绩的离散程度比 乙地的大,故B正确;对于C,由于μ1=90,根据正态分 布曲线的对称性可知P(90≤X≤94)=P(86≤X≤90) <P(82≤X≤90),故C错误;对于D,μ2=100,σ2=8, P(92≤Y≤124)=P(μ2-σ2≤Y≤μ2+3σ2)=P(μ2-σ2 ≤Y≤μ2)+P(μ2≤Y≤μ2+3σ2)≈ 0.6827 2 + 0.9973 2 = 0.84,故D正确.故选BD. 5.解析 红色球与黄色球的个数恰好相等即红色球与黄 色球的个数都为2,所以所求概率为 C24C23 C47 =1835. 答案 1835 6.解析 设甲能够答对X 道题目,则X~B 3,23 ,因此 P(X=2)=C23× 2 3 2 × 1-23 1 =49 ; 若乙能答对其中3道题且另外2道题不能答对,则乙恰 好答对2道题的概率为 C23C12 C35 =35. 答案 49 3 5 7.解析 (1)依题意,有μ=80,σ=0.5, 所以正常产品尺寸范围为(78.5,81.5]. 生产线正常工作,次品不能多于400×(1-0.9973)=1.08 (件), 而实际上,超出正常范围以外的零件数为20,故生产线 没有正常工作. (2)依题意尺寸在(78.5,81.5]以外的就是次品,故次品 率为20 400= 1 20. 记这3件产品中次品件数为Y,则Y 服从二项分布Y~ B 3,120 , 则E(Y)=3×120= 3 20 ,D(Y)=3×120× 19 20= 57 400 , X=20(3-Y)+30Y=10Y+60, 所以E(X)=10E(Y)+60=1232 (元), D(X)=100D(Y)=100×57400= 57 4. 【真题体验】 1.解析 由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)= P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14. 答案 0.14 2.解析 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次 投篮的人是乙”为事件Bi, 所以,P B2 =P A1B2 +P B1B2 =P A1 P B2|A1 +P B1 P B2|B1 =0.5× 1-0.6 +0.5×0.8=0.6. (2)设P Ai =pi,依题可知,P Bi =1-pi,则 P Ai+1 =P AiAi+1 +P BiAi+1 =P Ai P Ai+1|Ai +P Bi P Ai+1|Bi , 即pi+1=0.6pi+ 1-0.8 × 1-pi =0.4pi+0.2, 构造等比数列 pi+λ , 设pi+1+λ= 2 5 pi+λ ,解得λ=-13 ,则pi+1- 1 3= 2 5 pi- 1 3 , 又p1= 1 2 ,p1- 1 3= 1 6 ,所以 pi- 1 3 是首项为16,公 比为2 5 的等比数列, 即pi- 1 3= 1 6× 2 5 i-1 ,pi= 1 6× 2 5 i-1 +13. (3)因为pi= 1 6× 2 5 i-1 +13 ,i=1,2,…,n, 所以当n∈N+ 时,E Y =p1+p2+…+pn= 1 6× 1- 25 n 1-25 +n3= 5 18 1- 2 5 n +n3, 故E(Y)=518 1- 2 5 n +n3. 【易错警示】 [示例1] A 因为X~N(500,4),所以μ=500,σ=2, 所以498=μ-σ,504=μ+2σ, 故P(498<X<504)=P(μ-σ<X<μ+2σ)= 1 2P (μ- σ<X <μ+σ)+ 1 2P (μ-2σ<X <μ+2σ)≈ 0.683+0.954 2 =0.8185 ,因为0.8185×100=81.85≈ 82,所以质量在(498,504)内的袋数约为82.故选A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55—