作业(六) 条件概率与事件的独立性-2024年高二数学暑假作业（湘教版）

条件概率与事件的独立性 1.条件概率的公式 条件 如果事件A,B 是两个随机事件,且P(A) >0 含义 在事件A 发生的条件下,事件B 发生的 概率 记作 P(B|A) 读作 A 发生的条件下B 发生的概率 计算 公式 ①缩小样本空间法:P(B|A)=n (AB) n(A) ; ②公式法:P(B|A)=P (AB) P(A) 2.条件概率的性质 设P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)=1. (2)任何事件的条件概率都在0和1之间, 即0≤P(B|A)≤1. (3)如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). (4)设􀭺B 和B 互为对立事件,则P(􀭺B|A) =1-P(B|A). 3.条件概率求法 (1)借助定义中的公式计算 在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利 用公式P(B|A)=P (AB) P(A) (P(A)>0)计算. (2)缩小样本空间法 主要针对的是古典概型,首先明确是求“在 谁发生的前提下谁发生的概率”,其次转换 样本空间,即把给定事件A 所含的样本点 定义为新的样本空间,并找出事件A 和事 件AB 所 含 的 样 本 点 个 数,最 后 利 用 P(B|A)=n (AB) n(A) 计算. 4.概率的乘法公式 若Ai(i=1,2,…,n)为 随 机 事 件,且 P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…· P(An|A1A2…An-1).(1) (1)式常称为概率的乘法公式. 若事件Ai(i=1,2,…,n)相互独立,则(1) 式变为 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…· P(An).(2) 由此可知,(2)式实质上是(1)式的一种特 殊情形.(2)式称为相互独立事件的概率乘 法公式. 5.全概率公式 设Ai(i=1,2,…,n)为n个事件,若满足 (1)AiAj=∅(i≠j), (2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω, (3)P(Ai)>0,i=1,…,n, 则对任一事件B,有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B| A2)+…+P(An)P(B|An) =∑ n i=1 P(Ai)P(B|Ai).(3) 公式(3)称为全概率公式.全概率公式是计 算概率的基本公式之一,它的直观意义是: 如图,B 发生的概率与P(BAi)(i=1,2, …,n)有关,且B 发生的概率等于所有这 些概率的和,即 P(B)=∑ n i=1 P(BAi)=∑ n i=1 P(Ai)P(B|Ai). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 高二数学(配XJ版) [提醒] 注意乘法公式和全概率公式的区别: 乘法公式是求“几个事件发生”的概率;全概率公 式是求“最后结果”的概率. 1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.若已知出 现的点数不超过4,则出现的点数是奇数 的概率为 ( ) A.13 B. 1 4 C.16 D. 1 2 2.为了提升全民身体素质,学校十分重视学 生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练 习,如果他前一球投进则后一球投进的概 率为3 4 ;如果他前一球投不进则后一球投 进的概率为1 4. 若他第1球投进的概率 为3 4 ,则他第2球投进的概率为 ( ) A.34 B. 5 8 C.716 D. 9 16 3.若P(A|B)=13 ,P(􀭿A)=23 ,则事件A 与 B 的关系是 ( ) A.事件A 与B 互斥 B.事件A 与B 对立 C.事件A 与B 相互独立 D.事件A 与B 互斥又相互独立 4.某项射击游戏规定:选手先后对两个目标 进行射击,只有两个目标都射中才能过关. 某选手射中第一个目标的概率为0.8,继 续射击,射中第二个目标的概率为0.5,则 这个选手过关的概率为 . 1.“五一”放假期间,甲、乙、丙去北京旅游的 概率分别是1 3 ,1 4 ,1 5 ,假定三人的行动相 互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1人去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B. 3 5 C.12 D. 1 60 2.(2024·湖南师大附中一模)某型号的灯泡 使用寿命为一年以上的概率为p1,使用寿 命为两年以上的概率为p2.若一只该型号 的灯泡已经安全使用了一年,则能再安全 使用一年的概率为 ( ) A.p1-p2 B.p1·p2 C.p1p2 D.p2p1 3.从集合{1,2,3,4,5}中任取一个数,不放回 地连取两次,第一次取到的数作为十位数 字,第二次取到的数作为个位数字,则所得 的两位数能是偶数的概率是 ( ) A.25 B. 3 10 C.35 D. 7 20 4.(多选)若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则 下列式子成立的有 ( ) A.P(A|B)=P (AB) P(A) B.P(AB)=P(A)P(B|A) C.P(B)=P(A)P(B|A)+P(􀭿A)P(B|􀭿A) D.P(A|B)= P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)+P(􀭺A)P(B|􀭺A) 5.(2024·烟台一模)人们为了解一支股票未 来一定时期内价格的变化,往往会去分析 影响股票价格的基本因素,比如利率的变 化.现假设人们经分析估计利率下调的概 率为60%,利率不变的概率为40%.根据 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 经验,人们估计,在利率下调的情况下,该 支股票价格上涨的概率为80%,而在利率 不变 的 情 况 下,其 价 格 上 涨 的 概 率 为 40%,则 该 支 股 票 将 上 涨 的 概 率 为 . 6.(2024·聊城高三一模)某流感病毒存在A 传B,B 又传C,C又传D 这种持续人传人 现象,那么A,B,C 就会被称为第一代、第 二代、第三代传播者.假设一个身体健康的 人被第一代、第二代、第三代传播者感染的 概率分别为0.95,0.9,0.85,健康的小明 参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会 的人有5名第一代传播者,3名第二代传 播者,2名第三代传播者,试计算,小明参 加聚会,仅和感染的10个人其中一个接 触,感染的概率为 . 7.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红 球和2个白球,如果不放回地依次抽取 2个球,求: (1)第1次抽到红球的概率; (2)第1次和第2次都抽到红球的概率; (3)在第1次抽到红球的条件下,第2次抽 到红球的概率; (4)抽到颜色相同的球的概率. 1.(2023·全国甲卷)某 地 的 中 学 生 中 有 60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑 雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该 地的中学生中随机调查一位同学,若该同 学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率 为 ( ) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 2.(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有 一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶ 4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分 别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各 取一个球,取到的三个球都是黑球的概率 为 ;将三个盒子中的球混合后任 取一个球,是白球的概率为 . 易错一 理解错题意致误 [示例1] 一个盒子中有5个白球、3个红 球,从中任取2个球,则在所取的球中有一 个是红球的情况下,另一个也是红球的概 率为 ( ) A.16 B. 1 5 C. 2 7 D. 3 7 [名师叮嘱] 准确理解事件:本题意思是一次性 取2个球,而不是连续的两次. 易错二 混淆条件概率P(B|A)与积事件 的概率P(AB)致误 [示例2] 长时间玩手机可能影响视力, 据调查,某校学生大约40%的人近视,而 该校大约有20%的学生每天玩手机超过 1h,这些人的近视率约为50%.现从每天 玩手机不超过1h的学生中任意调查一名 学生,则他近视的概率为 ( ) A.25 B. 3 8 C. 5 8 D. 3 4 [名师叮嘱] 解题时,先要正确理解并能区分条 件概率和积事件的概率,P(AB)表示事件 A 与B 同时发生的概率,而P(B|A)表示在已知事件A 发 生的条件下,事件B 发生的概率,然后正确选择相 应的计算公式求解即可. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高二数学(配XJ版) S 0,0,62a ,D - 22a,0,0 ,故SD→ = - 22a,0,- 62a .显然n=(0, 0,1)是平面ABC 的一个法向量,SD→ = - 22a ,0,- 62a 是平面PAC 的 一个法向量.设二面角P-AC-B 为θ,则cosθ=cos<n, SD→>= n·SD → |n||SD→| = - 62a 1× - 22a 2 + - 62a 2 =- 32 , 所以θ=5π6 ,故二面角P-AC-B 的大小为5π6 ,平面PAC 与平面ABC 的夹角的大小为π-5π6= π 6. [答案] 5π6 π 6 作业(六) 条件概率与事件的独立性 【基础诊断】 1.D 2.B 3.C 4.0.4 【综合应用】 1.B 所求概率为1- 1-13 1-14 1-15 =1-23 ×34× 4 5= 3 5. 故选B. 2.D 设事件A={灯泡使用寿命1年以上},事件B={灯 泡使用寿命2年以上},则AB=B,P(A)=p1,P(B)= p2,所以P(B|A)= P(AB) P(A)= p2 p1 ,故选D. 3.A 由全概率公式可知所得的两位数能是偶数的概率 是3 5× 2 4+ 2 5× 1 4= 2 5. 4.BCD 由条件概率的计算公式知 A错误;B、C显然正 确;D选项中,因为P(B)=P(A)P(B|A)+P(􀭿A)P(B| 􀭿A),所 以 P(A|B)=P (AB) P(B) = P(A)P(B|A) P(B) = P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)+P(􀭿A)P(B|􀭿A) ,故D正确. 5.解析 记 A 为事件“利率下调”,那么􀭿A 即为“利率不 变”,记B 为事件“股票价格上涨”.依题设知 P(A)= 60%,P(􀭿A)=40%,P(B|A)=80%,P(B|􀭿A)=40%,于 是P(B)=P(AB)+P(􀭿AB)=P(A)P(B|A)+P(􀭿A)· P(B|􀭿A)=60%×80%+40%×40%=64%. 答案 64% 6.解析 设事件A,B,C分别为和第一代、第二代、第三代 传播者接触,事件D 为小明被感染,则由已知得:P(A) =0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D| B)=0.90,P(D|C)=0,85,从而,小明被感染的概率由 概率公式可得:P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B) +P(D|C)P(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85× 0.2=0.915. 答案 0.915 7.解析 设A={第1次抽到红球},B={第2次抽到红 球},则第1次和第2次都抽到红球为事件AB.从5个 球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n(Ω)=A25= 20, (1)由分步乘法计数原理,n(A)=A13·A14=12, 于是P(A)=n (A) n(Ω)= 12 20= 3 5. (2)P(AB)=n (AB) n(Ω)= 6 20= 3 10. (3)解法一 在第1次抽到红球的条件下,第2次抽到 红球的概率为 P(B|A)=P (AB) P(A)= 3 10 3 5 =12. 解法二 P(B|A)=n (AB) n(A)= 1 2. (4)抽到颜色相同球的概率为 P=P(两次均为红球)+P(两次均为白球) =3×220 + 2×1 20 = 2 5. 【真题体验】 1.A 通解(图示法) 如 图,左圆表示爱好滑冰的 学生所占比例,右圆表示 爱好 滑 雪 的 学 生 所 占 比 例,A 表示爱好滑冰且不 爱好 滑 雪 的 学 生 所 占 比 例,B 表示既爱好滑冰又 爱好 滑 雪 的 学 生 所 占 比 例,C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例,则 0.6+0.5-B=0.7,所以B=0.4,C=0.5-0.4=0.1. 所以若 该 学 生 爱 好 滑 雪,则 他 也 爱 好 滑 冰 的 概 率 为 B B+C= 0.4 0.5=0.8 ,故选A. 优解(运用条件概率的计算公式求解) 令事件A,B 分 别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪,事件C 表示 该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰,则P(A)=0.6, P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以 P(C)=P(A|B)=P (AB) P(B)= 0.4 0.5=0.8 ,故选A. 2.解析 设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n, 4n,6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n; 甲盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 甲盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事 件A, 所以P A =0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球总共有2n+n+3n=6n个,白球共有9n个, 所以P B =9n15n= 3 5. 故答案为0.05;35. 答案 0.05 35 【易错警示】 [示例1] A 记两个球都是红球为事件A,至少有一个 红球为事件B,则(A|B)=P (AB) P(B)= C05C23 C28 C05C23+C15C13 C28 =16. 故选A. [示例2] B 令 A1=“每天玩手机时间超过1h的学 生”,A2=“每天玩手机时间不超过1h的学生”,B=“任 意调查一名学生,此人近视”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2 互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5, P(B)=0.4. 依题意,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= 0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.4,解得P(B|A2)= 3 8 , 所以所求概率为3 8. 故选B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35—