作业(九) 成对数据的统计相关性一元线性回归模型-2024年高二数学暑假作业（湘教版）

高二数学(配XJ版) 成对数据的统计相关性 一元线性回归模型 1.相关关系 如果两个变量所取的值存在着既有某种规 律性而又不十分确定的关系,则称这两个 变量之间存在着相关关系. 2.相关系数及性质 (1)相关系数:一般地,对n个成对观测数 据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),我们用 x=1n􀰐 n i=1 xi,y= 1 n􀰐 n i=1 yi 分别表示x1,x2, …,xn 与y1,y2,…,yn 的 均 值,用sx = 1 n􀰐 n i=1 (xi-x)2,sy= 1 n􀰐 n i=1 (yi-y)2分别表 示 x1,x2,…,xn 与y1,y2,…,yn 的 标 准差. 记sxy = x1y1+x2y2+…+xnyn n - 􀭺x􀭵y= 1 n􀰐 n i=1 (xi-x)(yi-y),则当sxsy≠0时,我 们称 rxy= sxy sxsy = 1 n􀰐 n i=1 (xi-x)(yi-y) 1 n􀰐 n i=1 (xi-x)2· 1 n􀰐 n i=1 (yi-y)2 = 􀰐 n i=1 (xi-x)(yi-y) 􀰐 n i=1 (xi-x)2·􀰐 n i=1 (yi-y)2 = 􀰐 n i=1 xiyi-nxy (􀰐 n i=1 x2i-nx2)·(􀰐 n i=1 y2i-ny2) 为变量x和变量y 的相关系数. (2)相关系数的性质 ①rxy的取值范围是[-1,1].当0<rxy≤1 时,称变量x 和变量y 正相关;当-1≤ rxy<0时,称变量x和变量y 负相关; ②|rxy|越接近于1,变量x,y的线性相关 程度越高,这时数据(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn)分散在一条直线附近; ③|rxy|越接近于0,变量x,y的线性相关 程度越低; ④rxy具有对称性,即rxy=ryx; ⑤rxy仅仅是变量x 与y 之间线性相关程 度的一个度量.rxy=0只表示两个变量之 间不存在线性相关关系,并不说明变量之 间没有关系,它们之间可能存在非线性 关系. 3.回归直线及其方程、回归分析 找出与散点图中各点散布趋势相似的直 线,使各点经过或充分靠近该直线,这样所 得到的直线就可以比较科学地反映实际问 题中两个变量之间的相关关系.这条直线 称为回归直线,这条直线的方程称为回归 直线方程. 有关回归关系的计算理论及方法称为回归 分析.研究两个变量间的回归关系称为一 元回归分析. 4.一元线性回归方程 我们将ŷ=̂a+̂bx称为y 关于x 的一元线 性回归方程,它是根据样本数据求出的回 归方程的估计,其中â是回归直线在y 轴 上的截距,̂b(也称为回归系数)是回归直线 的斜率. 1.某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气 温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工 作日的用电量与当天平均气温,并制作了 对照表: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— 气温(℃) 18 13 10 -1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得到回归直线方程ŷ=-2x+̂a, 当气温为-4℃时,预测用电量约为 ( ) A.68度 B.52度 C.12度 D.28度 2.(多选)对两组数据进行统计后得到的散点 图如图,关于其线性相关系数的结论正确 的是 ( ) A.r1<0 B.r2>1 C.r1+r2>0 D.|r1|>|r2| 3.(2024·哈尔滨一模)某种机械设备随着使 用年限的增加,它的使用功能逐渐减退,使 用价值逐年减少,通常把它使用价值逐年 减少的“量”换算成费用,称之为“失效费”. 某种机械设备的使用年限x(单位:年)与 失效费y(单位:万元)的统计数据如下表 所示: 使用年限x (单位:年) 1 2 3 4 5 6 7 失效费y (单位:万元) 2.903.303.604.404.805.205.90 由表中数据可知,y与x的相关系数近似为 . 精确到0.01,参考公式和数据: r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ,∑ 7 i=1 (xi-x)· (yi-y)=14.00,∑ 7 i=1 (yi-y)2=7.08, 198.24≈14.08 4.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名 学生的成绩进行分析,得到数学成绩y关 于总成绩x 的回归直线方程为ŷ=6+ 0.4x.由此可以估计:若两个同学的总成 绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差 分. 1.某无人机专卖店统计了5月份前5天每天 无人机的实际销量,结果如下表所示. 日期编号x 1 2 3 4 5 销量y/部 9 a 17 b 27 经分析知,y与x 有较强的线性相关关系, 且求得回归直线方程为ŷ=4.5x+3.7,则 a+b的值为 ( ) A.28 B.30 C.33 D.35 2.(多选)设某大学的女生体重y(单位:kg)与 身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一 组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二 乘法建立的回归直线方程为ŷ=0.85x- 85.71,则下列结论正确的是 ( ) A.y与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(􀭺x,􀭵y) C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体 重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断 定其体重必为58.79kg 3.(多选)对变量x,y 有观测数据(xi,yi) (i=1,2,3,…,10),得散点图1,其相关系 数为r1,对变量u,有观测数据(ui,vi)(i= 1,2,3,…,10),得散点图2,其相关系数为 r2,由这两个散点图可以断定 ( ) A.r1>0 B.r1<0 C.r2>0 D.r2<0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 高二数学(配XJ版) 4.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售 量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系, 随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均 气温,其数据如表: 时间 二月 上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬 旬 平 均 气 温 x(℃) 3 8 12 17 旬销售量y(件) 55 m 33 24 由表中数据算出回归直线方程ŷ=̂bx+̂a 中的̂b=-2,样本点的中心为(10,38). (1)表中数据m= ; (2)气象部门预测三月中旬的平均气温约 为22℃,据此估计,该品牌的保暖衬衣在 三月中旬的销售量约为 件. 5.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打 篮球时间之间的关系,下表记录了小李某 月1日到5日每天打篮球的时间x(单位: 小时)与当天投篮的命中率: 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为 ; 用回归分析的方法,预测小李该月6日打 6小时篮球的投篮命中率为 . 6.(2024·济南二模)二手车经销商小王对其 所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y(单位:万元/辆)进行整理, 得到如下数据: 使用年 数x 2 3 4 5 6 7 售价y 20 12 8 6.4 4.4 3 z=lny 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是z关于x 的折线图: (1)由折线图可以看出,可以用一元线性回归模 型拟合z与x的关系,请用相关系数加以说明; (2)求y关于x 的回归方程,并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为 多少;(̂b,̂a小数点后保留两位有效数字) (3)基于成本的考虑,该型号二手车的售价 不得低于7118元,请根据(2)求出的回归 方程预测在收购该型号二手车时车辆的使 用年数不得超过多少年. 参考公式: b̂= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 = ∑ n i=1 xiyi-n􀭺x􀭵y ∑ n i=1 x2i-n􀭺x2 , â=􀭵y-̂b􀭺x,r= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 . 参考数据: ∑ 6 i=1 xiyi=187.4,∑ 6 i=1 xizi=47.64,∑ 6 i=1 x2i = 139,∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)2≈4.18, ∑ 6 i=1 (yi-􀭵y)2≈ 13.96, ∑ 6 i=1 (zi-􀭵z)2≈1.53,ln1.46≈0.38, ln0.7118≈-0.34. 1.(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花 瓣长度,所得数据如图所示.其中相关系数 r=0.8245,下列说法正确的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相 关系数一定是0.8245 2.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治 理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一 林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面 积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如 下数据: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横 截面积xi 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.06 0.6 材积量yi 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9 并计算得∑ 10 i=1 x2i=0.038,∑ 10 i=1 y2i =1.6158, ∑ 10 i=1 xiyi=0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部 横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与 材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部 横截面积,并得到所有这种树木的根部横 截面积总和为186m2.已知树木的材积量 与其根部横截面积近似成正比.利用以上 数据给出该林区这种树木的总材积量的估 计值. 附:相关系数r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 , 1.896≈1.377. 易错一 求线性相关方程计算错误 [示例1] 已知x与y 之间的几组数据如 下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得经验回归方程为 ŷ=̂bx+̂a,若某同学根据上表中的前两组 数据(1,0)和(2,2),求得的直线方程为 y=b'x +a',则以下结论正确的是 ( ) A.̂b>b',̂a>a' B.̂b>b',̂a<a' C.̂b<b',̂a<a' D.̂b<b',̂a>a' [名师叮嘱] 给出一组具体数据求其经验回归 方程时,由于经验回归直线的方程是ŷ=̂bx+̂a,其 中b̂= ∑ n i=1 xiyi-n􀭺x􀭵y ∑ n i=1 x2i-n􀭺x2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x,计算量较大,因此计 算要细心,公式使用要准确,要特别注意经验回归 直线一定过点(􀭺x,􀭵y)的应用. 易错二 线性相关系数理解不正确致误 [示例2] 变量X 与Y 相对应的一组数据 为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4), (13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2), (13,1),r1 表示变量Y 与X 之间的线性相关 系数,r2 表示变量V 与U 之间的线性相关系 数,则 ( ) A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1 [名师叮嘱] 给出一组数据,判断该组数据的线 性相关系数的符号,可根据该组数据变量之间的 正、负相关关系进行判断,若是正相关,则相关系数 大于0;若是负相关,则相关系数小于0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— [示例2] [解析] (1)对于有放回抽取,每次抽到一等 品的概率为40 100= 2 5 ,且各次试验之间的结果是独立 的,因此 X~B 4,25 ,从而P(X=0)= 1-25 4 = 81 625 ,P(X=1)=C14· 2 5 · 1-25 3 =216625 ,P(X=2)= C24 2 5 2 · 1-25 2 =216625 ,P(X=3)=C34 2 5 3 · 1-25 =96625,P(X=4)= 25 4 =16625 , 所以X 的分布列如下 X 0 1 2 3 4 P 81625 216 625 216 625 96 625 16 625 (2)对于不放回抽取,各次试验结果不独立,X 服从超几 何分布,样本中一等品的比例为X 4 ,而总体中一等品的 比例为40 100=0.4 ,由题意, ① X4-0.4 ≤0.2⇒0.8≤X<2.4⇒X=1 或X=2; ②P X4-0.4 ≤0.2 =P(X =1)+P(X =2) = C140C360+C240C260 C4100 . 作业(九) 成对数据的统计相关性 一元线性回归模型 【基础诊断】 1.A 2.AC 3.0.99 4.20 【综合应用】 1.C 依题意􀭺x=15 (1+2+3+4+5)=3, 􀭵y=15 (9+a+17+b+27)=53+a+b5 , 又回归直线ŷ=4.5x+3.7过点(􀭺x,􀭵y),所以53+a+b5 =4.5×3+3.7,解得a+b=33. 故选C. 2.ABC A、B、C显然正确,选项D中,当x=170时,̂y= 0.85×170-85.71=58.79,体重的估计值为58.79kg, 故D错误. 3.BC 由图1可知,点散布在从左上角到右下角的区域,各 点整体呈递减趋势,故x与y负线性相关,所以r1<0;由 图2可知,点散布在从左下角到右上角的区域,各点整体呈 递增趋势,故u与v正线性相关,所以r2>0. 4.解析 (1)由􀭵y=38,得m=40. (2)由â=􀭵y-̂b􀭺x,得â=58,故ŷ=-2x+58,当x= 22时,̂y=14,故三月中旬的销售量约为14件. 答案 (1)40 (2)14 5.解析 小李这5天的平均投篮命中率􀭵y=15 (0.4+ 0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5,􀭺x=3, b̂= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 =0.2+0+0+0.1+ (-0.2) (-2)2+(-1)2+0+12+22 =0.01, â=􀭵y-̂b􀭺x=0.47, ∴回归直线方程为ŷ=0.01x+0.47, 则当x=6时,̂y=0.53. ∴预测小李该月6日打6小时篮球的投篮命中率为 0.53. 答案 0.5 0.53 6.解析 (1)由题意,知􀭺x=16× (2+3+4+5+6+7)= 4.5,􀭵z=16× (3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10) =2, 又∑ 6 i=1 xizi=47.64, ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)2≈4.18, ∑ 6 i=1 (zi-􀭵z)2≈1.53, 所以r=47.64-6×4.5×24.18×1.53 =- 6.36 6.3954≈-0.99 , 所以z与x 的相关系数大约为-0.99,说明z与x 的线 性相关程度很高. (2)̂b=47.64-6×4.5×2 139-6×4.52 =-6.3617.5≈-0.36 , 所以â=􀭵z-̂b􀭺x=2+0.36×4.5=3.62, 所以z关于x 的回归方程是̂z=-0.36x+3.62,又z= lny, 所以y关于x 的回归方程是ŷ=e-0.36x+3.62. 令x=9,得ŷ=e-0.36×9+3.62=e0.38, 因为ln1.46≈0.38,所以ŷ=1.46, 即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约 为1.46万元. (3)当ŷ≥0.7118, 即e-0.36x+3.62≥0.7118=eln0.7118≈e-0.34时, 则有-0.36x+3.62≥-0.34,解得x≤11, 因此,预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得 超过11年. 【真题体验】 1.C 根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花萼长度有 相关性,A选项错误; 散点的分布是从左下到右上,从而花瓣长度和花萼长度 呈现正相关性,B选项错误,C选项正确; 由于r=0.8245是全部数据的相关系数,取出来一部分 数据,相关性可能变强,可能变弱,即取出的数据的相关 系数不一定是0.8245,D选项错误.故选C. 2.解析 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平 均值x=0.610=0.06 , 样本中10棵这种树木的材积量的平均值y=3.910=0.39 , 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 为0.06m2, 平均一棵的材积量为0.39m3. (2)r= ∑ 10 i=1 xi-x yi-y ∑ 10 i=1 xi-x 2∑ 10 i=1 yi-y 2 = ∑ 10 i=1 xiyi-10xy ∑ 10 i=1 x2i-10x2 ∑ 10 i=1 y2i-10y2 = 0.2474-10×0.06×0.39 (0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392) = 0.0134 0.0001896 ≈0.01340.01377≈0.97 , 则r≈0.97. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3, 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比, 可得0.06 0.39= 186 Y ,解之得Y =1209m3. 则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— 高二数学(配XJ版) 【易错警示】 [示例1] D 由题得􀭺x=72 ,􀭵y=136 ,根据公式求得b̂= 58-6×72× 13 6 91-6× 72 2= 5 7 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x=136- 5 7× 7 2=- 1 3. 又b'=2,a'=-2,所以b̂<b',̂a>a',故选D. [示例2] C 由 变 量 X 与Y 相 对 应 的 一 组 数 据 为 (10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变 量Y 与X 正相关,所以r1>0. 而由变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4), (11.8,3),(12.5,2),(13,1),可知变量V 与U 负相关,所以 r2<0.因此r1与r2的大小关系是r2<0<r1. 作业(十) 独立性检验 【基础诊断】 1.C 2.B 3.A 4.9 【综合应用】 1.A 由题意,因为χ2≈3.918,P(χ2≥3.841)≈0.05,所 以至少有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒 的作用”. 2.D 对于A,独立性检验是通过计算χ2来判断两个变量 存在关联的可能性的一种方法,并非检验二者是否线性 相关,故A错误;对于B,独立性检验并不能100%确定 两个变量相关,故B错误;对于C,99%是指“吸烟”和 “患肺病”存在关联的可能性,故C错误;显然D正确. 故选D. 3.D 依据题表中数据可知,物理类的学生中选择地理的 比例为50 120= 5 12 ,历史类的学生中选择地理的比例为45 80 =916 ,因为5 12< 9 16 ,所以物理类的学生中选择地理的比 例比历史类的学生中选择地理的比例低,故A错误; 物理类的学生中选择生物的比例为65 120= 13 24 ,历史类的 学生中选择生物的比例为35 80= 7 16 ,因为13 24> 7 16 ,所以物 理类的学生中选择生物的比例比历史类的学生中选择 生物的比例高,故B错误; 由题中表格可列2×2列联表如下: 单位:人 选考类别 是否选考生物 是 否 合计 物理类 65 55 120 历史类 35 45 80 合计 100 100 200 故χ2= 200×(65×45-55×35)2 120×80×100×100 ≈2.083 , 由2.083<2.706,知没有90%以上的把握认为选择生 物与选考类别有关,故C错误; 由2.083<3.841,知没有95%以上的把握认为选择生 物与选考类别有关,故D正确.故选D. 4.解析 交通状况与天气情况的2×2列联表如下: 单位:天 天气情况 交通状况 交通顺畅 交通拥堵 合计 天气好 62 13 75 天气不好 13 12 25 合计 75 25 100 χ2= 100×(62×12-13×13)2 75×25×75×25 ≈9.404 , 因为6.635<9.404<10.828,所以有不少于99%的把 握认为交通状况与天气情况有关. 答案 99 5.解析 (1)由题中相关数据可作出2×2列联表如下: 单位:千克 农场 是否为残次果 否 是 合计 “生态农场” 95 5 100 “亲子农场” 85 15 100 合计 180 20 200 零假设 H0:残次果率与农场无关. 计算得χ2= 200×(95×15-5×85)2 100×100×180×20 ≈5.556>3.841 =x0.050, 所以根据小概率值α=0.050的独立性检验,有充分证 据推断 H0不成立,即认为残次果率与农场有关,此推 断犯错误的概率不大于0.050. (2)①对于“生态农场”,抽到的产品中每千克盈利为 5元的频率为20100=0.2 ,每千克盈利为3元的频率为 95-20 100 =0.75 ,每千克盈利为-5.5元的频率为 5100= 0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3 ×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元); 对于“亲子农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频 率为25 100=0.25 ,每千克盈利为3元的频率为85-25100 = 0.6,每千克盈利为-5.5元的频率为15100=0.15 ,所以 该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+ (-5.5)×0.15=2.225(元). ②由于两个农场的产量相同,且“生态农场”每千克黄桃的 平均利润更大,盈利能力更大,所以应该卖掉“亲子农场”. 【真题体验】 1.解析 (1)X 的所有可能取值为0,1,2, P(X=0)=C02× 1- 1 2 × 1-12 =14,P(X=1)= C12× 1 2× 1- 1 2 =12,P(X=2)=C22×12×12=14, (另解:两只小白鼠分在两个组,每只小白鼠都各有两种 分配方案,总的分配方案为4种,两只小白鼠全部分配 到试验组有1种情况,有一只分配到对照组有2种情 况,全部分配到对照组有1种情况,利用古典概型的概 率公式即可得解) 所以X 的分布列为 X 0 1 2 P 14 1 2 1 4 E(X)=0×14+1× 1 2+2× 1 4=1. (2)(ⅰ)根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加 量的中位数m=23.2+23.62 =23.4. 列联表如下: <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75—