第三部分综合检测-2024年高二数学暑假作业（湘教版）

高二数学(配XJ版) 第三部分 综合检测 (本卷满分150分,用时120分钟) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.(2024·上饶一模)已知 R为实数集,集合 A={x|x2-3x-4≤0},B={x|y= lnx-1 },则A∪∁RB= ( ) A.{x|1<x≤4} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|x≥-1} D.{x|x≤4} 2.(2024· 烟 台 一 模)若 loga a2+1 < loga2a <0,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.0,12 C.12 ,1 D.0,1 ∪ 1,+∞ 3.一个盒子里有7只好的晶体管,5只坏的 晶体管,依次不放回地任取两次,则第二次 才取到好的晶体管的概率为 ( ) A.712 B. 35 144 C.35132 D. 5 7 4.某校高二年级有1000名学生,一次考试 后数学成绩X~N(110,102),若P(100≤ X≤110)=0.35,则估计高二年级学生的 数学成绩在120分以上的人数为 ( ) A.130 B.140 C.150 D.160 5.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1), C(-2,-1,2),则点C 到直线AB 的距离 为 ( ) A.63 B. 6 2 C.33 D. 3 2 6.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用三局两胜 的比赛制度,规定每局比赛都没有平局(必 须分出胜负),若每一局甲赢的概率都是 p,且0<p<13 ,记随机变量X 表示最终的 比赛局数,则 ( ) A.E(X)=52 B.E (X)>218 C.D(X)>14 D.D (X)<2081 7.《九章算术》中记载了一种名为“刍薨”的五 面体(如图),其中四边形ABCD 为矩形, EF∥AB,若AB=3EF,△ADE 和△BCF 都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线 DE 与BF 所成角的大小为 ( ) A.π2 B. π 4 C.π3 D. π 6 8.设x>0,y>0,若ex+lny>x+y,则下列 选项正确的是 ( ) A.x>y B.x>lny C.x<y D.x<lny 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部 分分,有选错的得0分. 9.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数, f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f x = x3,则下列结论错误的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— A.f(2025)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.当x∈(1,3)时,fx = 1-x 3 D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z) 10.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相 同的10个 小 球,其 中 白 球6个、红 球 4个,现分两次从纸箱中不放回取球,第 一次从箱中随机取出1个球,第二次从箱 中随机取出2个球,分别用A1,A2 表示 事件“第一次取出白球”“第一次取出红 球”,分别用B,C 表示事件“第二次取出 的都为红球”“第二次取出的两球为一红 一白”.下列结论正确的是 ( ) A.P B|A2 = 1 12 B.P C|A1 = 5 9 C.P B =13 D.P A2C = 1 5 11.关于函数f(x)=1x+lnx ,下列说法正确 的是 ( ) A.f(1)是f(x)的极大值 B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点 C.f(x)在(0,1)上单调递减 D.设g(x)=xf(x),则g 1e <g(e) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.设函数f(x)=xlnx,则在点(1,0)处的 切线方程是 ;函数f(x)=xlnx 的最小值为 . 13.如图,在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,∠ACB=90°, 2AC=AA1=BC=2,D 为 AA1 上 一 点.若 二 面 角 B1-DC-C1的大小为60°,则 AD的长为 . 14.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜 者得1分,负者得0分,比赛进行到有一 人比对方多2分或打满6局时停止.设甲 在每局中获胜的概率为2 3 ,乙在每局中获 胜的概率为1 3 ,且各局胜负相互独立,则 比赛停止时已打局数X 的期望E(X)= . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底 面 ABCD是矩形,PA⊥平 面ABCD,PA=AD= 4,AB=2,M 是PD 的 中点. (1)求直线AD 与平面ACM 所成角的余 弦值; (2)求平面ACD 和平面ACM 的夹角的 余弦值; (3)求点P 到平面ACM 的距离. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— 高二数学(配XJ版) 16.(15分)已知函数f(x)=aex-lnx-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求 f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥1e 时,f(x)≥0. 17.(15分)(2024·潍坊高三月考)甲、乙两 家外卖公司,其送餐员的日工资方案如 下:甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成 4元;乙 公 司,无 底 薪,40 单 以 内(含 40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出 40单的部分送餐员每单抽成7元.假设 同一公司的送餐员一天的送餐单数相同, 现从这两家公司各随机选取一名送餐员, 并分别记录其50天的送餐单数,得到如 下频数表: 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 (1)现从记录甲公司的50天送餐单数中 随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐 单数都不小于40的概率. (2)若将频率视为概率,回答下列两个 问题: ①记乙公司送餐员日工资为 X(单位: 元),求X 的分布列和数学期望E(X); ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应 聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑, 请利用所学的统计学知识为小王作出选 择,并说明理由. 18.(17分)某班级共有50名同学(男、女各 占一半),为弘扬传统文化,班委组织了 “古诗词男女对抗赛”,将同学随机分成 25组,每组男、女同学各一名,每名同学 均回答同样的五个不同问题,答对一题得 一分,答错或不答得零分,满分为5分.最 后25组同学得分如表: 组别号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 男同学 得分 5 4 5 5 4 5 5 4 4 4 5 5 4 女同学 得分 4 3 4 5 5 5 4 5 5 5 5 3 5 分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1 组别号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 男同学 得分 4 3 4 4 4 4 5 5 5 4 3 3 女同学 得分 5 3 4 5 4 3 5 5 3 4 5 5 分差 -1 0 0 -1 0 1 0 0 2 0 -2 -2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— (1)完成2×2列联表,并依据α=0.1的 独立性检验,分析该次对抗赛是否得满分 与性别是否有关. (2)某课题研究小组假设各组男、女同学 分差服从正态分布N(μ,σ 2),首先根据前 20组男、女同学的分差确定μ和σ,然后 根据后面5组同学的分差来检验模型,检 验方法是:记后面5组男、女同学分差与 μ的差的绝对值分别为xi(i=1,2,3,4,5), 若出现下列两种情况之一,则不接受该模 型,否则接受该模型. ①存在xi≥3σ; ②记满足2σ<xi<3σ的i的个数为k,在 服从正态分布N(μ,σ 2)的总体(个体数无 穷大)中任意取5个个体,其中值在区间 (μ-3σ,μ-2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)内的个 体数大于或等于k的概率P≤0.003. 该课题研究小组是否会接受该模型? 参考公式和数据: χ 2= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,0.8≈ 0.894,0.9≈0.949,0.9575≈0.803, 43×0.9574≈36,432×0.9573≈1621;若 X~N(μ,σ 2),则P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈ 0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9974. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 19.(17分)已知函数f(x)=e x x-lnx+x-a. (1)若f(x)≥0,求a的取值范围; (2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则 x1x2<1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 故x+y= 3sinθ+cosθ=2sinθ+π6 ∈[-2,2],故 A错误,B正确; x2+y2= 33sinθ+cosθ 2 + 2 3 3sinθ 2 = 33sin2θ- 1 3cos2θ+ 4 3 =23sin (2θ-φ)+ 4 3∈ 2 3 ,2 其中tanφ= 33 , 故C正确,D错误. 2.解析 依题意得12a+ 1 2b+ 8 a+b= a+b 2ab+ 8 a+b= a+b 2 + 8 a+b≥2 a+b 2 × 8 a+b=4 ,当 且 仅 当 a>0, b>0, ab=1, a+b 2 = 8 a+b , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 ab=1, a+b=4 时,等号成立.因此,12a+12b+ 8a+b的最小值 为4. 答案 4 【易错警示】 [示例1] [解析] ①当 m=0时,3>0恒成立,满足 条件. ②当m≠0时,则Δ=16m2-12m<0,解得0<m<34. 综上可得实数m 的取值范围是 m 0≤m<34 . [答案] m 0≤m<34 [示例2] [解析] a+1a 2 + b+1b 2 =a2+b2+1 a2 +1 b2 +4 =(a2+b2)1+ 1a2b2 +4 =(1-2ab)1+ 1a2b2 +4. ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤ a+b2 2 =14 , ∴1-2ab≥1-12= 1 2 ,且 1 a2b2 ≥16,1+ 1 a2b2 ≥17. ∴原式≥12×17+4= 25 2 当且仅当a=b=12时,等号 成立 , ∴ a+1a 2 + b+1b 2 的最小值是25 2. [答案] 252 第三部分 综合检测 1.D 由x2-3x-4≤0,即(x-4)(x+1)≤0,解得-1≤ x≤4,即A={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4},又 B={x|y=ln x-1 }={x|x>1},所 以∁RB= x|x≤1 ,所以A∪∁RB={x|x≤4},故选D. 2.C 由题意知a>0且a≠1,则a2+1>2a, 又loga a2+1 <loga 2a <0, 所以 0<a<1, 2a>1, 解得12<a<1. 3.C 令Ai 表示第i次取到好的晶体管,i=1,2,则P(A1)= 5 12 ,P(A2|A1)= 7 11 , ∴P(􀭺A1A2)=P(􀭺A1)P(A2|􀭺A1)= 5 12× 7 11= 35 132. 故选C. 4.C 因为X~N(110,102),P(100≤X≤110)=0.35,所 以P(110≤X≤120)=P(100≤X≤110)=0.35,所以 P(X>120)=P(X≥110)-P(110≤X≤120)=0.5- 0.35=0.15,所以估计高二年级学生的数学成绩在120 分以上的人数为1000×0.15=150.故选C. 5.A 依题意得AC→=(-1,-1,2),AB→=(1,1,-1)则点 C 到 直 线 AB 的 距 离 为 |AC→|2- |AC →·AB→| |AB→| 2 = 6-163= 2 3= 6 3. 故选A. 6.D 随机变量X 的可能取值为2,3, P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1, P(X=3)=C12p(1-p)p+C12p(1-p)(1-p)=2p -2p2, 故E(X)=2(2p2-2p+1)+3(2p-2p2)=-2p2+ 2p+2=-2 p-12 2 +52 ,因为0<p<13 ,所以2< E(X)<229 ,而22 9< 5 2 ,22 9< 21 8 ,故A、B错误. D(X)=E(X2)-(E(X))2=4(2p2-2p+1)+9(2p- 2p2)-(-2p2+2p+2)2, 令t=2p-2p2=-2p-12 2 +12 ,因为0<p<13 ,所 以0<t<49 ,此时D(X)=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2 +t∈ 0,2081 ,故C错误,D正确.故选D. 7.A 如图,以矩形ABCD 的中心O 为原点,分别以CB→, DC→的方向为x 轴、y轴的正方向,建立如图所示的空间 直角坐标系. ∵四边形 ABCD 为矩形,EF∥AB,△ADE 和△BCF 都是正三角形,∴EF⊂平 面yOz,且 Oz 垂 直 平 分 线 段EF. 设 AB =3,则 EF =1,AD =2,D -1,-32 ,0 , E 0,-12 ,2 ,B 1,32,0 ,F 0,12,2 , ∴DE→= 1,1,2 ,BF→= -1,-1,2 , ∴DE→·BF→=-1×1+1×(-1)+ 2× 2=0, ∴DE→⊥BF→,∴异面直线 DE 与BF 所成的角为π2.故 选A. 8.B 不等式ex+lny>x+y等价于ex-x>y-lny, 令f(x)=ex-x, 则f(lny)=elny-lny=y-lny, ∴不等式ex-x>y-lny等价于f(x)>f(lny), ∵f'(x)=ex-1, ∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)=ex-1>0,f(x)在区间 (0,+∞)上单调递增, ∴若y∈(1,+∞),则lny∈(0,+∞), 由f(x)>f(lny),得x>lny; 若y∈(0,1],则lny≤0,由x>0,得x>lny. 综上所述,恒有x>lny.故选B. 9.ABC ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(2-x)=f(x)=-f(-x), ∴f(2+x)=-f(x), ∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x), ∴f(x)的最小正周期是4,故B错误; ∴f(2025)=f(1)=1,故A错误; ∵当x∈[0,1]时,f x =x3,f(x)是定义在R上的奇函数, ∴当x∈[-1,1]时,f x =x3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 高二数学(配XJ版) 当x∈(1,3)时,2-x∈(-1,1), f x =f 2-x = 2-x 3,故C错误; 易知当x∈(0,2)时,f(x)>0, ∵f(x)的最小正周期是4, ∴f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z),故D正确. 10.ABD 由题意得P A1 = 6 10= 3 5 ,P A2 = 4 10= 2 5 , 所以P B|A2 = P BA2 P A2 = 2 5× C23 C29 2 5 =112 , P C|A1 = P CA1 P A1 = 3 5× C15C14 C29 3 5 =59 ,故A、B正确. 易得P B|A1 = P BA1 P A1 = 3 5× C24 C29 3 5 =16 ,所以P(B) =P A1 P B|A1 +P A2 P B|A2 = 3 5× 1 6+ 2 5× 1 12= 2 15 ,故C错误. P A2C = 2 5× C16C13 C29 =15 ,故D正确.故选ABD. 11.BCD 函数f(x)=1x +lnx 的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1x2 +1x= x-1 x2 , 当0<x<1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(0,1)上单调 递减, 当x>1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(1,+∞)上单调 递增, 所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,为f(1)=1, C正确、A 错 误;对 于 B,函 数y=f(x)-x=1x + lnx-x,其定义域为(0,+∞), 则y'=-1x2 +1x-1= - x-12 2 -34 x2 <0, 故函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减, 又当x=1时,f(1)-1=0, 所以函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确; 对于D,g(x)=xf(x)=1+xlnx,其定义域为(0,+∞), 则g'(x)=lnx+1,令g'(x)=0,得x=1e , 当0<x<1e 时,g'(x)<0,则函数g(x)在 0,1e 上单 调递减, 当x>1e 时,g'(x)>0,则函数g(x)在 1e ,+∞ 上单 调递增, 所以当x=1e 时,函数g(x)取得极小值,也是最小值, 为g 1e ,所以g 1e <g(e),故D正确. 12.解析 因为f'(x)=lnx+1, 所以所求切线的斜率k=f'(1)=1,所以切线方程为 y=x-1;令f'(x)=0,解得x=1e ,当x∈ 0,1e 时, f'(x)<0;当x∈ 1e ,+∞ 时,f'(x)>0,所以f(x) 在 0,1e 上单调递减,在 1e,+∞ 上单调递增,所 以f x min=f 1 e =-1e. 答案 y=x-1 -1e 13.解析 如图,以点C 为原点,分别以CA→,CB→,CC→1 的方 向为x轴、y 轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系 Cxyz,则C(0,0,0),B1(0,2,2).设AD=a(0≤a≤2), 则 点 D 的 坐 标 为 (1,0,a),CD→ = 1,0,a ,CB1→ = 0,2,2 . 设平面B1CD 的法向量为m= (x,y,z), 则 m·CB1→=0, m·CD→=0, 即 2y+2z=0, x+az=0, 令z=-1,得m =(a,1,-1).又平面C1DC 的 一个法向量为(0,1,0),记为n, 则 由 cos 60°= |m ·n| |m||n| ,得 1 a2+2 =12 ,即a= 2,故 AD = 2. 答案 2 14.解析 X 的可能取值为2,4,6, P(X=2)= 23 2 + 13 2 =59 ,P(X=4)=2×13× 2 3 3 +2×23× 1 3 3 =2081 ,P(X=6)=1-59- 20 81 =1681 , 所以E(X)=2×59+4× 20 81+6× 16 81= 266 81. 答案 26681 15.解析 (1)因为PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD 是 矩形,所以AB,AD,AP 两两垂直.以点A 为原点,分 别以AB→,AD→,AP→的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),D(0, 4,0),C(2,4,0),P(0,0,4),M(0,2,2), 所以AD→=(0,4,0),AC→=(2,4,0),AM→=(0,2,2),AP→ =(0,0,4). 设平面ACM 的法向量为m=(x,y,z), 由 AC→·m=0, AM→·m=0, 可得 2x+4y=0,2y+2z=0, 取y=1,则z=-1,x=-2, 所以m=(-2,1,-1)是平面ACM 的一个法向量. 记直线 AD 与平面ACM 所 成的角为θ, 则sinθ=|cos<AD→,m>|= AD→·m AD→ |m| = 4 4× 6 = 66 , 所 以 cos θ = 1-sin2θ = 306 . (2)由 题 意 知,平 面 ACD 的 一 个 法 向 量 为 n = (0,0,1). 记平面ACD 和平面ACM 的夹角为α, 则cosα= cos<m,n>=|m ·n| |m||n|= 1 6×1 = 66. (3)设点P 到平面ACM 的距离为d, 则d= AP →·m |m| = |-4| 6 =2 63 , 所以点P 到平面ACM 的距离为2 63 . 16.解析 (1)f(x)的 定 义 域 为(0,+ ∞),f'(x)= aex-1x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 由题设知,f'(2)=0,所以a= 12e2 . 从而f(x)= 12e2 ex-lnx-1,f'(x)= 12e2 ex-1x. 当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为 (2,+∞). (2)证明 当a≥1e 时,f(x)≥e x e-lnx-1 (x>0). 设g(x)=e x e-lnx-1 (x>0), 则g'(x)=e x e- 1 x (x>0). 当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.所以 x=1是g(x)的极小值点,也是最小值点.故当x>0 时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥1e 时,f(x)≥0. 17.解析 (1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件 M,则P(M)= C325 C350 =23196. (2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a, 当a=38时,X=38×6=228, 当a=39时,X=39×6=234, 当a=40时,X=40×6=240, 当a=41时,X=40×6+1×7=247, 当a=42时,X=40×6+2×7=254. 所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为 X 228 234 240 247 254 P 110 1 5 1 5 2 5 1 10 所以E(X)=228×110+234× 1 5+240× 1 5+247× 2 5+254× 1 10=241.8. ②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38× 0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4×39.7= 238.8元. 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元. 因为238.8<241.8,所以推荐小王去乙公司应聘. 18.解析 (1)2×2列联表如下: 单位:名 对抗赛是 否得满分 性别 男 女 合计 是 10 14 24 否 15 11 26 合计 25 25 50 零假设 H0:该次对抗赛是否得满分与性别无关,经计 算得χ2= 50×(10×11-14×15)2 24×26×25×25 ≈1.282<2.706 =x0.1, 依据α=0.1的独立性检验,没有充分证据推断 H0 不 成立,因此认为 H0成立,即认为该次对抗赛是否得满 分与性别无关. (2)由题意知μ=0,σ2=0.8. 所以x1=0,x2=2,x3=0,x4=2,x5=2. 因为2σ=2× 0.8≈2×0.894=1.788,3σ=3× 0.8≈ 3×0.894=2.682, 所以不存在xi≥3σ. 因为满足2σ<xi<3σ的i的个数为3,所以k=3.当 X~N(μ,σ2)时,P(μ-3σ<X<μ-2σ)+P(μ+2σ<X <μ+3σ)≈0.9974-0.9544=0.043. 设从服从正态分布 N(μ,σ2)的总体中任意取5个个 体,其中值在区间(μ-3σ,μ-2σ)∪(μ+2σ,μ+3σ)内 的个体数为Y,则Y~B(5,0.043), 所以P(Y≥3)=1-0.9575-C15×0.043×0.9574-C25 ×0.0432×0.9573≈1-0.803-5×0.001×36-10× 10-6×1621=0.00079<0.003. 综上,第②种情况出现,所以该课题研究小组不会接受 该模型. 19.解析 (1)∵f(x)=e x x -lnx+x-a ,x∈(0,+∞), ∴f'(x)=e x(x-1) x2 -1x+1= (ex+x)(x-1) x2 , 令f'(x)=0,得x=1, 当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如表: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 e+1-a 单调递增 ∴当x=1时,f(x)min=e+1-a. ∵f(x)≥0,∴e+1-a≥0,∴a≤e+1. 故a的取值范围为(-∞,e+1]. (2)证明 由(1)知要使得f(x)有两个零点, 则f(x)min=f(1)=e+1-a<0,即e+1<a. 不妨设x1<x2,则有0<x1<1<x2. 要证明x1x2<1,也就是证1<x2< 1 x1 . 由于f(x)在(1,+∞)上单调递增, 只需证f(x2)<f 1 x1 ,即证f(x1)<f 1x1 . 构造函数F(x)=f(x)-f 1x ,x∈(0,1), 则F'(x)=f'(x)+f' 1x ·1x2 = (x-1)(ex+x-xe 1 x -1) x2 . 设φ(x)=ex+x-1-xe 1 x,x∈(0,1), 则φ'(x)=ex +1- e 1 x -1xe 1 x =ex +1-e1x · 1-1x =ex+1+e1x ·1-xx . ∵0<x<1,∴φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增, ∴φ(x)<φ(1)=0. 又x-1 x2 <0,∴F'(x)>0, ∴F(x)在(0,1)上单调递增. ∴F(x)<F(1)=0,∴f(x)<f 1x . ∴f(x2)=f(x1)<f 1 x1 . 由(1)可知,f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∵x2>1, 1 x1 >1, ∴x2< 1 x1 ,故x1x2<1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26—