作业(十一) 集合与常用逻辑用语-2024年高二数学暑假作业（湘教版）

第二部分 开启一轮 集合与常用逻辑用语 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异 性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、 图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如 果集合A 的每个元素都是集合B 的元素, 就称集合A 为集合B 的一个子集,记作A ⊆B(或B⊇A). (2)真子集:如果集合A⊆B,但A≠B,就 说集合A 是集合B 的真子集,记作A⫋B (或B⫌A). (3)相等:若A⊆B 并且B⊆A,则A=B. [提醒] ∅是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集. 3.集合的基本运算 名称 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U, 则集合 A 的 补集为∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A, 或x∈B} {x|x∈A, 且x∈B} {x|x∈U,且 x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A. (2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A. (3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U, ∁U(∁UA)=A. 5.充分条件与必要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必 要条件 p⇒/q且q⇒/p [拓展] 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. ①若p是q的充分条件,则A⊆B; ②若p是q的充分不必要条件,则A⫋B; ③若p是q的必要不充分条件,则B⫋A; ④若p是q的充要条件,则A=B. 6.全称命题和特称命题 名称 全称命题 特称命题 意义 对M 中的任意一 个x,有p(x)成立 存在 M 中 的 元 素x, p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 1.(教材改编)设全集为R,集合A={x|0<x< 2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)= ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 高二数学(配XJ版) A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 2.(教材改编)下列命题是全称命题并且是真 命题的是 ( ) A.∀x∈R,x2+2x+1>0 B.对任意实数a,b,若a-b<0,则a<b C.若2x为偶数,则x∈N D.π是无理数 3.设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若 B⊆A,则实数m= . 考点一 集合 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x, y)|x-y=3},则满足 M⊆(A∩B)的集合 M 的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2024·长沙质检)已知集合A={x∈Z| x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B 中有三个元素,则实数m 的取值范围是 ( ) A.[3,6) B.[1,2) C.[2,4) D.(2,4] 3.已知集合A={x|y=log2(x2-8x+15)}, B={x|a<x<a+1},若A∩B=∅,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,3] B.(-∞,4] C.(3,4) D.[3,4] 4.(2024·九省联考)已知集合A={-2,0, 2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A, 则m 的最小值为 . 5.(2024·烟台期中)若一个集合是另一个集 合的子集,则称这两个集合构成“全食”;若 两个集合有公共元素,但不互为对方的子 集,则称这两个集合构成“偏食”.已知集合 A={x|x2<t}和集合 B={x|x2-x- 2<0},若集合 A,B 构成“偏食”,则实数 t的取值范围为 . 考点二 简易逻辑 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(多选)下列命题为假命题的是 ( ) A.∃x∈R,ln(x2+1)<0 B.∀x>2,2x>x2 C.∃α,β∈R,sin(α-β)=sinα-sinβ D.∀x∈(0,π),sinx>cosx 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否 定是“∃x∈[0,+∞),x3+x<0” B.∀x∈R,2x>x2 C.若“∀x∈ 0,π4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,tanx≤m”是真命题, 则实数m 的最小值为1 D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件 3.(多选)下列说法错误的是 ( ) A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不 充分条件 B.若p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充 分不必要条件 C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈ N+,点 Pn(n,an)都在直线y=2x+1 上,q:{an}为等差数列,则p 是q 的充 要条件 D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分 条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— 4.已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤x≤5”的充 分不必要条件,则实数a 的取值范围是 . 5.若a,b都是正整数,使a+b>ab成立的一 个充分不必要条件是 .(写出一个 即可) 1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a}, B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= ( ) A.2 B.1 C.23 D.-1 2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M= {x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2, k∈Z},则∁U(M∪N)= ( ) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.∅ 3.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn 为数列 an 的 前n 项 和,设 甲:an 为 等 差 数 列;乙: Sn n 为等差数列.则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 要条件 4.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1, 乙:sinα+cosβ=0,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 要条件 易错一 含参数的集合运算中忽视对空集 的讨论而致误 [示例1] (多选)已知集合A={x|-2≤ x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使 A∪B=A 的实数m 的取值范围可以是 ( ) A.{m|-3≤m≤4} B.{m|-3<m<4} C.{m|2<m<4} D.{m|m≥4} [名师叮嘱] 本题求解的关键是将A∪B=A 转 化为B⊆A,由于集合B 含参数,且集合B 是集合 A 的子集,因此要考虑集合B 为空集的特殊情况. 易错二 条件探求中忽视要求而致误 [示例2] (2024·深圳高三期末)设集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0}, 则B是A 的真子集的一个充分不必要条 件是 ( ) A.m∈ 12 ,-13 B.m≠0 C.m∈ 0,-12 ,1 3 D.m∈ 0,13 [名师叮嘱] 注意条件属性的要求,否则易错求 解为充要条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— (ⅱ)根据(ⅰ)中结果可得χ2= 40×(6×6-14×14)2 20×20×20×20 = 6.4>3.841,所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度 臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 2.解析 (1)甲城一共调查了260辆车,其中有240辆准 点,故甲城准点的概率为240 260=0.923 ,乙城一共调查了 240辆,其中有210辆准点,故乙城准点的概率为210240= 0.875. (2) 公司 班次数 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =500 (240×30-210×20)2 260×240×450×50 ≈3.2>2.706 ,所以有90% 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车 所属公司有关. 【易错警示】 [示例] [解析] 从所给的列联表中可知病人有两种类 型:做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术.每种类型 又有两种情况:又发作过心脏病和未发作过心脏病.问 题是用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有 关系.这是一个独立性检验问题,解决的方法是通过构 造χ2统计量观察值来研究. 提出假设 H0:做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有 关系. 由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d= 196,a+c=68,b+d=324,n=392,由公式可得χ2 统计 量观测值为χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =392× (39×167-157×29)2 196×196×68×324 =1.78 , 因为χ2=1.78<3.841,故还没有充分证据显示“做过 心脏搭桥手术”与“又发作心脏病”之间有关系. 第二部分 开启一轮 作业(十一) 集合与常用逻辑用语 【基础诊断】 1.B 2.B 3.A 4.0或3 【知能提升】 考点一 1.C 由 x+y=1 , x-y=3, 得 x=2,y=-1, ∴A∩B={(2,-1)}. 由 M⊆(A∩B),知 M=∅或 M={(2,-1)}. 2.C 集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B ={x|4x>2m}= x x>m2 , ∵A∩B 中有三个元素,∴1≤m2<2 , 解得2≤m<4. 3.D 易知A={x|x2-8x+15>0}={x|x<3或x>5}, 由A∩B=∅, 可得 a≥3, a+1≤5, 所以3≤a≤4. 4.解析 由A∩B=A,故A⊆B, 由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3, 故 4≤m+3, -2≥-m+3, 解得m≥5, 即m 的最小值为5. 答案 5 5.解析 集合A={x| x2<t}={x|-t<x<t,t>0},集 合B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}. ∵集合A,B 构成“偏食”, ∴ t>0 , -1<-t<2<t 或 t>0,-t<-1<t<2, 解得1<t<2. ∴实数t的取值范围为(1,2). 答案 (1,2) 考点二 1.ABD ∵x2+1≥1,∴ln(x2+1)≥ln1=0,故A为假 命题; 当x=4时,2x=x2,故B为假命题; 当α=β=0时,sin(α-β)=0=sinα-sinβ,故C为真 命题; 当x=π6 时,sinπ6<cos π 6 ,故D为假命题. 2.ACD 全称命题的否定是特称命题,易知A正确. B项中,当x=2时,2x=x2,则B错误. ∀x∈ 0,π4 ,tanx≤1,故 实 数 m 的 最 小 值 为1, C正确. D项中,由不等式性质a>1,b>1⇒ab>1,知D正确. 3.ABC A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6, 所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件. B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q 的必要不充 分条件. C错误,因为点Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an =2n+1(n∈N+),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1) =2.又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差 数列,即p⇒q. 反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点 (n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的 充分不必要条件. D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0, 所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件. 4.解析 设A={x|a≤x≤a2+1},B=[-2,5]. 依题设,A⫋B, 则 a≥-2, a2+1≤5, 且等号不同时成立. 解之得,-2<a≤2. 答案 (-2,2] 5.解析 因为a+b>ab,所以(a-1)(b-1)<1. 因为a,b∈N+,所以(a-1)(b-1)∈N,所以(a-1)(b -1)=0,所以a=1或b=1.所以a=1且b=2是a+b >ab成立的一个充分不必要条件. 答案 a=1且b=2(答案不唯一) 【真题体验】 1.B A⊆B,则2a-2=0,a=1,A={0,-1},B={1,-1,0}, 满足题意,选B. 2.A 因为整数集Z= x|x=3k,k∈Z ∪{x|x=3k+1, k∈Z}∪ x|x=3k+2,k∈Z ,U=Z, 所以∁U M∪N = x|x=3k,k∈Z . 3.C 解法一 甲:an 为等差数列,设其首项为a1,公差 为d, 则Sn=na1+ n(n-1) 2 d ,Sn n =a1+ n-1 2 d= d 2n+a1- d 2 ,Sn+1 n+1- Sn n = d 2 , 因此 Sn n 为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反 之,乙: Sn n 为 等 差 数 列,即 Sn+1n+1 - Snn = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— 高二数学(配XJ版) nSn+1-(n+1)Sn n(n+1) = nan+1-Sn n(n+1) 为常数,设为t, 即 nan+1-Sn n(n+1)=t ,则Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1 =(n-1)an-t·n(n-1),n≥2, 两式相减得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an =2t,对n=1也成立, 因此 an 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件,C正确. 解法二 甲:an 为等差数列,设数列 an 的首项为 a1,公差为d,即Sn=na1+ n(n-1) 2 d , 则 Sn n =a1+ (n-1) 2 d= d 2n+a1- d 2 ,因此 Sn n 为等差 数列,即甲是乙的充分条件; 反之,乙:Sn n 为等差数列,即Sn+1n+1-Snn =D,Snn =S1+ (n-1)D, 即Sn=nS1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n -2)D, 当n≥2时,上两式相减得:Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D, 当n=1时,上式成立, 于是an=a1+2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1 +2(n-1)D]=2D 为常数, 因此 an 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件. 故选C. 4.B 当sin2α+sin2β=1时,例如α= π 2 ,β=0,但sinα+ cosβ≠0, 即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0; 当sinα+cosβ=0时,sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β =1, 即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1. 综上可知,甲:sin2α+sin2β=1是乙:sinα+cosβ=0的 必要不充分条件. 【易错警示】 [示例1] ABC ∵A∪B=A,∴B⊆A. ①若B 不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2. ∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}, ∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4. 此时2<m≤4. ②若B 为 空 集,则 m+1≥2m-1,解 得 m≤2,符 合 题意. 综上,实数m 满足m≤4即可,故选 ABC. [示例2] D A={x|x2+x-6=0}={2,-3}. 若m=0,则B=∅,B⫋A;若m=-12 ,则B={2}⫋A; 若 m = 13 ,则 B = {-3}⫋ A.设 C 是 集 合 -12 ,0,13 的非空真子集,则B⫋A 的一个充分不必 要条件是m∈C.所以B⫋A 的一个充分不必要条件是 m∈ 0,13 .故选D. 作业(十二) 不等式与基本不等式、一元二次不等式 【基础诊断】 1.A 2.B 3.BD 4.25 5,5 【知能提升】 考点一 1.A a-1a<b- 1 b⇔ (a-b)1+1ab <0, 显然当b>a>0时,a-1a<b- 1 b. 但a<b<0时,仍有(a-b)1+1ab <0. ∴a-1a<b- 1 b⇒ /b>a>0. 故“0<a<b”是“a-1a<b- 1 b ”的充分不必要条件. 2.AD 对于A,由题意|a|>|b|,则2|a|>2|b|成立,A正 确.对于B,由题意得 1|a|> 1 |b| ,故|b|>|a|,显然2a< 2b 不成立,B错误.对于C,当a=3,b=4时,不成立, C错误.对于D,易得0<a<b2< 3 2< π 2 ,故D正确. 3.解析 由 ca+b< a b+c< b c+a 可得 c a+b+1< a b+c+1< b c+a+1 ,即a+b+c a+b < a+b+c b+c < a+b+c c+a ,所以a+b> b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可 得b>a,于是有c<a<b. 答案 c<a<b 考点二 1.C 依题意,可得ab=a+b, ∴a+b=ab≤ a+b2 2 ,即a+b≤ (a+b)2 4 , ∴a+b≥4,当且仅当a=b时,等号成立, ∴a+b的最小值为4. 2.D 由题意得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f'(0)=e0= 1, 所以切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0, 所以a-b+1=0,所以a-b=-1, 所以2a+2-b≥2 2a·2-b=2 2a-b=2 2-1= 2, 当且仅当a=-12 ,b=12 时,等号成立. 3.解析 ∵a>0,b>0, ∴1a+ a b2 +b≥2 1a ·a b2 +b=2b +b≥2 2 b ·b= 22,当且仅当1a= a b2 且2 b=b ,即a=b=2时等号成立, ∴1a+ a b2 +b的最小值为2 2. 答案 2 2 考点三 1.C ∵f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3), ∴-b2= -1+3 2 ,解得b=-2. ∴f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, ∴f(x)>0的解集为{x|x≠1}. 2.解析 由题意得不等式(x+m)(2-x)<1, 即x2+(m-2)x+1-2m>0对任意x∈R恒成立, 因此Δ=(m-2)2-4(1-2m)<0, 则m2+4m<0,解得-4<m<0. 答案 (-4,0) 3.解析 由题意a≠0,设y=ax2+8(a+1)x+2a+3, 又对于任意a∈Z,要使y≥0只有有限个整数解, 所以a<0. 又x=0是其中的一个解, 所以2a+3≥0,从而-32≤a<0 (a∈Z), 因此a=-1. 当a=-1时,则原不等式化为-x2+1≥0. 所以-1≤x≤1,不等式的整数解为-1,0,1. 从而全部整数解的和为-1+0+1=0. 答案 -1 0 【真题体验】 1.BC 由x2+y2-xy=1得 x-y2 2 + 3 2y 2 =1, 令 x-y2=cosθ , 3 2y=sinθ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒ x= 33sinθ+cosθ , y=2 33sinθ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95—