作业(六) 导数的定义、几何意义及其运算-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格言]任何业绩的质变都来自于量变的积累。 高二数学(配BJB版) 田和回 (六) 月_口 星期 导数的定义、儿何意义及其运算 天气 1知识整合 4.常用函数的求导公式,其中C,a,a均为常 数,a>0,且a去1 1.导数的定义 函数 导数 一般地,设函数y三f(x)在x。附近有定 /(x)-C ()-0 义,自变量在x三x。处的改变量为△x,当 f(x)一x“ f'(x)-a-! △x无限接近于0时,若平均变化率f △ f(x)-sinx P'(x)-cosx f(x。十△x)一f(x。) f(x)-cos) f'(x)--sinx △x 无限接近于一个常数 f(x)-a r'(x)=alna k,那么称常数为函数f(x)在x一x。处 /(x)-e r(c)-e 的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x。处可 /(x)-log /(c)-1 导,并称为f(x)在x一x。处的导数,记 xlna 作/'(x。)一. f(x)-lnx #()1 # 2.导数的几何意义 (1)割线:一般地,设S是平面上的一条曲 5.导数的四则运算法则 线,P。是曲线S上的一个定点,P是曲线 和、差的导数 [f(r)士g(r)]'=f(x)士g’(c) S上P。附近的点,则称直线PP。为曲线S 积的导数 的割线. [f(x)g(x)]=f(x)g(x)十f(x)g'(x) (2)切线:如果P无限接近于P。时,割线 [## f(x)g(x)一f(x)g'(x) 商的导数 g?() PP.无限接近于通过P。的一条直线/,则 (g(c)70) 称直线/为曲线S在点P。处的切线. [提醒]f(x。)就是曲线y=f(x)在点(工。· [提醒]特别地,(1)[Cf(x)]一Cf(x) f(x。))处(也称在x一x。处)的切线的斜率,切线方 (#2))g#.# g{()) 程为y-f(x。)=/(x。)(x-x。). 6.复合函数及其导数 3.导函数 (1)定义:一般地,已知函数y三f(u)与 一般地,如果函数y一f(x)在其定义域 g(x),给定x的任意一个值,就能确定 内的每一个x都可导,则称/(x)可导, 的值,如果此时还能确定v的值,则v可以 此时,对定义域内的每一个值c,都对应 看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且 一个确定的导数f(x).于是,在f(x) 称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与 的定义域内,f(x)是一个函数,这个函 g(x)的复合函数,其中u称为中间变量. 数通常称为函数y一f(x)的导函数,记 (2)求导法则:h'(x)=[f(g(x))]=f(u) 作f'(x)(或y,),即f(x)一y'== g'(x)=f(g(x))g'(x),这一结论也可以 lim f(x十△x)一f(x) △x 表示为y一y. 2 署假作业 不要问别人为你傲了什么,而要问你为别人做了什么。 [每日格言] 2基础诊断 3.随着科学技术的发展,放射性同位素技术 已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并 1.(多选)(教材改编)下列导数的运算正确 ( 的是 ) 取得了显著的经济效益,假设某放射性后 A.(3)'-3ln3 位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克 B.(x*lnx)'-2xlnx十x 与时间t(单位:天)满足函数关系P(t) C.(cos)zsinx-cosx P·2,其中P。为t=0时该放射性同 。 位素的含量,已知/一15时,该放射性同位 D.(sinxcosc)'-cos2 3/2ln2 2.(多选)已知某物体的运动方程为s() 素的瞬时变化率为 ,则该放射性 10 7*+8(0t<5),则 ( 同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时 A.该物体在1/3时的平均速度是28 间为 _ B.该物体在1一4时的瞬时速度是56 ) A.20天 C.该物体位移的最大值为43 B.30天 D.该物体在1一5时的瞬时速度是70 C.45天 D.60天 4 4.(2024·咸阳期末)已知函数/(x)及其导 x十a' 则a- 函数/(x),若存在x。使得f(x。)= P(x。),则称x。是f(x)的一个“巧值点” ( 下列函数没有“巧值点”的是 ) 程为 A./(x)-x B.f(x)-e 3综合应用 C.f(x)-cos2 D.f()-1 1.(多选)下列求导正确的是 # 5.(2024·连云港月考)已知惭蝎的体温与阳 B.(e^{-)'-。-4 光照射的关系可近似为T(t)一 120 ##15# C.(2x-1)'-- 2x-1 其中T()为惭蝎的体温(单位:C),/为太 D. cos(2x+)=-2sin(2x+ 阳落山后的时间(单位;min),当/三10min 时,蛾蝎体温的瞬时变化率为 2.(多选)(2024·连云港期末)设6为实数. C/min. 则直线v三2x十6能作为下列函数的图象 的切线的有 ( ) 6.已知函数f(x)一 B.f(x)-& f(x)上任意一点处的切线的倾斜角a的 C.f(x)一e D. f(x)-sinx 取值范围是 18 [每日格言]再冷的石头,坐上三年也会暖。 高二数学(配BJB版) 7.已知函数f(x)=x-4x^}+5x-4. #y_## B.y- (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线 ## 方程; (2)求经过点A(2,一2)的曲线f(x)的切 2.(2022·新高考全国II卷)曲线=lnx 线方程. 过坐标原点的两条切线的方程为 3.(2022·新高考全国I卷)若曲线y=(x十 a)e 有两条过坐标原点的切线,则a的取 值范围是 5易错警示 易错一 对复合函数的求导法则理解不透 8.已知函数f(x)=ax3}+3x^2}-6ar-11; 致误 g(x)=3x*+6x+12和直线n:y=kx+9, 且/(-1)-0. [示例1 已知函数f(x)在R上可导, (1)求a的值; F()=f(x3-1)十f(1-x),则F(1)= (2)是否存在实数,使直线n既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线y一g(x)的切 [名师叮嘱 求复合函数的导数时,要注意看函 线?如果存在,求出的值;如果不存在, 请说明理由, 数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合 函数的求导法则进行计算。 易错二 混淆曲线在某点处的切线方程与 过某点的切线方程 的切线方程是 _ ) A.2x+y十1-0 B.2x-y+1-0 C.2x+4y+1-0 D.2x-4y+1-0 [名师叮嘱] 曲线在某点处的切线方程明确了 “某点”是切点,此时切线只有唯一一条,而过某点 4真题体验 的切线是指切线经过“某点”,此时“某点”可能是切 e{ 点,也可能不是切点,这样的切线可能是多条,所以 1.(2023·全国甲卷)曲线y= 在点 x1 涉及过某点的切线的问题时,需要设出切点,写出 (1,)处的切线方程为 ,_ 切线方程,再把求切线的过程的已知点代入求解。 19署假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言】 2因为“2-所以工，=1×（侵）广'+2×（）月 两式相减得一Sm=21十22十23十…十2"-n·2+1= 3x(侵)》°++n×(侵）” 21-22）-1·2+1=(1-)·2+1-2 1-2 所以S。=(1-1)·2m+1+2. ,=1x(侵)+2x(侵）广++m-1D×(合)》 作业（六）导数的定义、几何意义及其运算 【基础诊断】 +×(3)1. 1.ABD2.ABD3.14.5.x-y+2=0 两式相减，得 【综合应用】 2 2。=(合）广+()+(3)+…+(2”-m× 1.ACD[n(2x+1)]'=2x+A正确： (e5r-1)'=5e5r-,B错误； 传》】x传 (v2x-I)= 1-7 V2r-1 正确： =1-(1+)(2）”即T,=2-(2+)(号)月 [co(2r+)门=-2sin(2+吾)D正确.故选ACD 2.解析(1)S=41=1,所以三=1. 2.BC若直线y=2.x十b为f(x)图象的切线，则(x)= 2有解。 所以侣是首项为1，公盖为分的等送数到， 对于A,'(x)=- 是<0，广(x)不可能等于2，不特台 所以8。-1+-…专-"时所以5。 题意； 3 当n≥2时aa=Sn-S-1=n时2。-n十1 对于B,f(x)=4x3,令f(x)=4x3=2,解得x= 3an-3aw-1· 符合题意： 所以=a,-a+a.1南2-≥2 对于C,f(x)=e,令e'=2,解得x=ln2,符合题意： 累积法可得a,=nnD(m≥2》，又a1=1满足孩式 对于D,了(x)=cosx∈[-1,1]，故了(x)不可能等于 2 2,不符合题意.故选BC 所以an}的道项公式为an=n》 : 2 3.DP')=- 动·R·2n2则P15)=-圆2p 60 (2)证明图为an=m十，所以1= 2 2 n(n十1) =-32n2,解得P。=18,则P)=18·2,令P() 10 2()所以+品+…+ al a2 =4.5,则18·2声=4.5，即2=}，所以-前- =21-+号+…+ 1 一2，解得1=60.故选D. nn十1 4.D对于A,f(x)=1,令f(x)=f(x),则x=1,故 =2(1-n)2 f(x)=x有“巧值点”： 【易错警示】 对于B,f(x)=e,令f(x)=f(.x),则x∈R,故f(x) =e「有“巧值点”： [示例1][解析]当n为奇数时，4w+2一am=2,所以数 列{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 对于C,f(x)=-sinx,令cosx=-sint, 所以a1十a3+…+a10=10X1+10X9×2=100: 则sinx+cosx=0,即2sin(x+于)=0， 当n为偶数时，am十2十am=2, 所以x+于-kx∈Z,解得x=一平∈D 所以a2十a4+…+a20=(a2十a4)+(a6十a8）+…十 故函数f(x)=cosx有“巧值点”： (a18+a20)=2×5=10. 因此S20=100+10=110. 对于D,f(x)的定义战为{xx>0},则广(x)=- 2x T [答案]110 [示例2][解析](1)由am+1=2aw一1，得aw+1一1 <0,而fx)>0,所以f(x)=∫(x)无解，故f(x)= 2(an-1) 没有“巧值点”，故选D. 又a1一1=1，所以数列{am一1}是以1为首项，2为公比 的等比数列， 5解折易释T0)-器得T0)-一高 所以an-1=1×2"-1=2”-1,所以an=2"-1+1, ∴.当t=10min时，蜥蜴体温的醉时变化率为 (2)由(1)得bn=2n·2m1=n·2m, 所以Sm=1×2+2×22+3×23+…+n×2", 25.=1×22+2×23+…+(n-1)×2m+n×20+1, 答案 48 [每日格言】不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 高二数学（配RJB版） 6.解析f)=e+是e=(e+3e)>2× er 因为yr 2VX307-尽，当且仅当c=3e5,即x=n3时 所以y-c(x+1)-e (x+1)2(.r+1)2 等号成立，1an≥5，又0Ca<,吾<a<受，即倾 所以=y1-1=号 斜角。的取值范因是[答·受) 所以y号=-I 答案 [紧) 所以南线y-片在点(1，受)处的切线方程为y 7.解析(1)因为f(x)=3x2一8.x十5， 所以f(2)=1,又f(2)=-2, 导x+导.故选C 所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y十2=x一2， a 即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A(2,一2)的切线相切于点P(x0, y一n=一以若孩切线经这原点，测n- x3-4.x6+5.xo-4). 因为(xu)=3x6-8xo+5, =0,解得=e,此时切线方程为y一总 所以切线方程为 当x<0时，点(x2,ln(-x2)(x2<0)上的切线为y一 y-(-2)=(3x6-8.x0+5)(x-2), 又切线过点P(x0z8-4x后十5x0-4), ln(一x2)=上(r-2.若该切线经过原点，则ln(-2) T? 所以x8-4.x号+5.x0-2=(3.x8-8.xo十5)(x0-2), 一1=0，解得x=一e,此时切线方程为y=一 整理得(x0一2)2(.xo一1)=0， e 解得x0=2或c0=1. 所以经过点A(2,一2)的曲线f(x)的切线方程为x一y 答案y=y=- -4=0或y+2=0. 3.解析易得曲线不过原点，设切点为(xa,(xo十a)e'), 8.解析(1)由已知得f(x)-3a.x2+6.x-6a,因为f(-1) 则切线斜率为f(xo)=(0十a十1)e. =0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2. 可得切线方程为y-(.xo十a)e=(ra十a+I)e(x一 (2)存在.理由如下： xo),又切线过原点，可得-(x0十a)e=一xa(xo十a十 由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y= 1)e,化简得x后十ar0一a=0(※)，又切线有两条，即※ g(x)的切线，则设切点为(x0,3z哈+6.x0十12). 因为g'(x0)=6.x0十6，所以切线方程为y一(3.x十6xa 方程有两不等实根，由判别式△=a2十4a>0,得a< +12)=(6.x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程，解得 一4，或a>0. x0=士1. : 答案(-0，-4)U(0,十∞) 当x0=一1时，切线方程为y=9. 【易错警示】 当x0=1时，切线方程为y=12x+9. [示例1][解析]由已知得F(x)=f(.x3-1)+f(1 由(1)知f(x)=-2.x3+3.x2+12x-11,f(x)=-6.x2 x3)在R上可导， +6x+12. 所以F'(x)=3.x2f(x3-1)-3x2f(1-x3), ①由f广(x)=0得-6.z2+6.x+12=0,解得x=一1或x 则F(1)=3f(0)-3(0)=0. =2. [答案]0 在x=一1处，曲线y=f(x)的切线方程为y=一18： 在x=2处，曲线y=f(x)的切线方程为y=9, [示例2】[解析]由题意，可得点（一之0）不在曲线》 所以曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y=9. =2.xlnx十3上，设切点为(xo,yo),因为y'=2lnx十2， ②由∫(x)=12得-6x2十6.x十12=12，解得x=0或x 2yo =1. 所以所求切线的斜率k=210十2=为， 2+1 在r=0处，曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11: x0+2 在x=1处，曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10, 所以yo=2 coln xo十2xo+lnto十1.因为点(x0,%)是 所以直线y=12x十9不是曲线y=f(x)与y=g(x)的 切点，所以y0=2 zoln xo+3,所以2 roln0+2x0+ 公切线. lnxo+1=2 roln0十3，即2xo十lnx-2=0.设f(x) 综上所述，曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y: 2x+lnx-2(x>0),明显f(x)在(0，+oo)上单调递 =9,此时k=0. 【真题体验】 增，且f(1)=0,所以2.x0十lnx0一2=0有唯一解x0= 1.C设向线y一年在点(，)处的切线方程为) 1,则所求切线的斜率=2，故所求切线方程为y 2(x+2）=2x+1,即2x-y+1=0. 气=kr-1 [答案]B 49