作业(九) 利用导数解决实际问题-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格片】再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开脚也无法到达。 高二数学（配RJB版） 作业（九） 今 月 B 星期 利用导数解决实际问题 天气 1知识整合 2基础诊断 1.实际问题中导数的意义 1.用长为30cm的钢条围成一个长方体形状 在日常生活和科学领域中，有许多需要用 的框架（即12条棱长总和为30cm),要求 导数概念来理解的量.以中学物理为例，速 长方体的长与宽之比为3：2，则该长方体 度是路程关于时间的导数，功率是功关于 的最大体积是 () 时间的导数等.结合实例，体会导数的实际 A.24 cm B.15 cm 意义 C.12 cm D.6 cm 2.常见最优化问题 2.一个箱子的容积与底面边长x的关系为 在实际问题中，经常会遇到解决一些如面 V(x)=x2 60一x)(0<x<60),则当箱 积最小、体积最大、成本最低、时间最少等 2 问题，这些问题通称为最优化问题.导数是 子的容积最大时，x的值为 解决最优化问题的一个重要工具. A.30 B.40 3.边际成本 C.50 D.60 在经济学中，通常把生产成本y关于产量 3.随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量 x的函数y=f(x)的导函数，称为边际 越来越多，据有关统计数据显示，从上午 成本 6点到9点，车辆通过某一路段用时y(分 4.利用导数解决生活中优化问题的基本思路 钟)与车辆进入该路段的时刻1之间的关 解应用题时，首先要在阅读材料、理解题意 系可近似表示为y=一名-子+361 的基础上把实际问题抽象成数学问题.利 629 用数学知识建立相应的数学模型，再对数 4 则在这段时间内，通过该路段用时最 学模型进行分析、研究，得到数学结论，然 多的时刻是 后把数学结论返回到实际问题中去，其思 4.甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速 路如下： 度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每 优化问题 用函数表示实际问题 小时的运输成本由固定成本和可变成本 组成，固定成本为160元，可变成本为 优化问题的答案 用宁数解认数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数 6400元.为使全程运输成本最小，汽车应 学建模过程. 以 kmh的速度行驶. 25 署假作业海不辞水，故能成其大；山不辞土石，故能成其高！ [每日格言] 3综合应用 13 13 1.设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为 4 ----- 0 144156￥ 0 V,那么其表面积最小时底面边长为( 144156x A.37 B.2V h 13 C.V D.2/W 2.(2023·曲阜一中模拟)“如意金箍棒”是神 144156 0 144156 话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器， 0 大小可随意变化.假设其变化时形状始终 4.(多选)如图所示，外层是类似 保持为圆柱体，底面半径原为12cm,且以 于“甜筒冰淇淋”的图形，上部 1cms的速率缩小，而长度以20cm/s的 分是体积为10/15π的半球， 速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从 其下面大圆刚好与高度为6 12cm缩到4cm的过程中，底面半径为 10cm时，体积最大，则其体积最小时底面 的圆锥的底面圆重合，在该 半径为 ( 封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥 A.7cm B.6 cm 底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶 C.5 cm D.4 cm 点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥的体 3.如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱 积可以为 的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液 A.10π B.30π 体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后 C.35π D.40π xmin,瓶内液面与进气管的距离为hcm, 已知当x=0时，h=13.如果瓶内的药液 ! 5.一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车 恰好156min滴完.则函数h=f(x)的图 : 行驶的速度的立方成正比，已知当速度为 象为 每小时20km时，每小时消耗煤的价值为 8 cm 40元，至于其他费用每小时要200元，要 使火车从甲城开往乙城时的总费用最省， 9 em 则火车行驶的速度应为 h cm 6.已知矩形的两个顶点A,D位于x轴上， 4 cm 进气管 m 两个顶点B,C位于抛物线y=4一x2在x 轴上方部分，则这个矩形的面积最大时的 边长分别为 26 [每日格言]坚强的信心，能使平凡的人做出惊人的事业。 高二数学（配RJB版） 7.(2024·济宁模拟)经济学上规定，对于某： 8.某企业拟建造如图所 经济函数y=f(),称C为该经济函 示的容器（不计厚度， f(.x) 长度单位：m),其中 数的弹性，它表示经济变量x变动1%时， 容器的中间为圆柱体，左、右两端均为半球 经济变量y相应变动的百分比.现有一个 企业生产一种商品，年产x件的总成本为 体，按照设计要求容器的体积为m。 c十dx,年需求量g(p)是价格p的函数，即 假设该容器的建造费用仅与其表面积有 g(p)=a-bp(a,b,c,d>0).求： 关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为 (1)利润最大时的产量及最大利润（设生产 3万元，半球体部分每平方米建造费用为 件数x与年需求量相等)： 4万元.设该容器的总建造费用为y万元 (2)需求量对价格的弹性的绝对值为1时 (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定 的价格： 义域； (3)若企业将价格定为力一6，求此时需求 (2)确定r和1为何值时，该容器的建造费 用最少，并求出最少建造费用 量对价格的弹性，并说明它的实际意义」 4真题体验 1.(2022·新高考全国I卷)已知正四棱锥的 侧棱长为【，其各顶点都在同一球面上.若 该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正 四棱锥体积的取值范围是 A[18 2781 B.44 C. 2764 43 D.[18,27] 27 署假作业每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 [每日格言] 2.(2020·江苏卷)某地准 O'EB 5易错警示 备在山谷中建一座桥 梁，桥址位置的竖直截 易错点 利用导数研究函数时忽视定义域 面图如图所示：谷底O 致错 在水平线MN上，桥 [示例]已知某公司生产一种品牌服装的 MD 0F AB与MN平行，OO为铅垂线(O'在 年固定成本为10万元，且每生产1万件， AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D 需要另投入1.9万元.设R(x)(单位：万 到MN的距离h,(米)与D到OO'的距离 元)为年销售收入，根据市场调查知R(x) a(米)之间满足关系式么=0：右侧曲 10x 30x(0≤.x≤10). 其中x(单位： 线BO上任一点F到MN的距离h,(米) 200 3 (x>10), 与F到OO的距离b(米)之间满足关系式 万件)是年产量. h2=- 。Lb+6b.已知点B到O0'的距离 800 (1)写出年利润W(单位：万元)关于年产 为40米 量x的函数解析式： (1)求桥AB的长度： (2)当年产量为多少时，该公司所获年利润 (2)计划在谷底两侧建造平行于O0的桥 最大？ 墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在 AB上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k (万元)，桥墩CD每米造价（万元）(>0。 问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造 价最低？ [名师叮嘱]利用导数解决实际问题时，不能忽 视实际问题中函数的定义域， 28[每日格片】拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 高二数学（配RJB版） 且当x(-o,2u(号+)时f)>0. 道增，无极值点，故合去.当，2时，了)=32+ In=9 当e(√写2)时f0. 12x+9=3(x+1)(x+3).当x∈(-0o,-3)和 x∈(-1，+o)时，f广(x)>0,f(x)单调递增：当 故(x)的板大值为（一写）板小值为，骨） x∈(-3，一1)时，f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)在 x=一1处有极小值，满足条件 综上，m十n=一2+9=7. √层)> [答案]7 若f(x)存在3个零点，则 作业（九）利用导数解决实际问题 (号)< 【基础诊断】 1.B2.B3.8点4.80 -+>0 【综合应用】 即 解得a<-3, ++2o. 1.C 授三被鞋底面边长为。，高为6：则体积V- 故选B 表西积5=2X。2十3ah02+3a 3.解析(1)f(x)=e-ag(r)=a-云 ①a≤0时，f(.x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递 1求导得S=Ba二43，令S=0,解得@ 增，即f(x)没有最小值，该类情况应舍去 =4V ②a>0时，广(r)在(-o∞，lna)上小于0，在(lna, +∞)上大于0， 所以当底面边长为④V时表面积最小 所以f(x)在（一∞，lna)上单调递减，在(lna,十∞）上 2.D设“如意金箍棒”变化前的长度为acm, 单调递增， 1s时的体积为V(t), 所以f(x)在x=lna处有最小值为f(lna)=a一alna, 则V(t)=x(12-t)2(a+20t),0≤1≤8， 为g'()在(0，)上小于0，在（日+o）上大于0， 所以V'(t)=[-2(12-t)(a+20)+20(12-t)2]π， 令12-1=10，解得1=2， 所以g()在(0，)上单调递减，在（日，+∞）上单调 因为当底面半径为10cm时，V(t)最大， 所以V'(2)=0,解得a=60, 递增。 所以V(t)=20π(12-t)2(3+t),0≤1≤8. 所以g()在x=处有最小值为g(。）=]+na V'(t)=60π(t-12)(t-2), 因为f(x)=e-a.x和g(x)=a.x-lnx有相同的最 当V(t)>0,即t∈(0,2)时，V(r)单调递增， 小值 当V(u)<0,即t∈(2,8)时，V(1)单调递减， 因为V(0)=8640π，V(8)=3520π， 所以有fna)=a-alna=g(日）=1+lna 所以当t=8时，V(t)有最小值3520π， 即a-alna=1+lna, 所以“如意金箍棒”的底面半径为4cm.故选D. 因为a>0,所以上式等价于lna一a二 a+i=0. 3.C由题意得，每分钟滴下药液的体积为不cm3 令A)=nx->0 当4长h≤13时，xm=x·4·(13-),即h=13-后： 1 x2+1 则h)=x十D≥0恤成立.所以h)在0，+eo) 所以'=一6，此时0区x≤144： 当1≤h<4时，xr=·42X9十π·22·(4-h), 上单调递增， 又因为h(1)=0=h(a)且a>0,所以a=1. 即h=40-子，所以/=-子此时14<≤156， 答案1 所以函数在[0,156]上单调递减，且144<x≤156时，递 【易错警示】 减的速度变快 [示例1][解析]f(x)的定义战为(0，十∞)，f(x)= : 4.AB①当小圆锥的底面与半球接触时， 4r-子令了x)-0,易得x-故选C 设半球的丰径为R,由等R=-10√5，可得R=√5， [答案]C 设小圆锥的高为h,小圆锥底面的半径为r, [示例2][解析]f(x)=3.x2一6mx+. 则MN2+r2=R2,即MV2=15-2, 根据题意，广（一1）=3+6m十n=0, f(-1)=-1-3m-n十m2=0, h=MN+6,小圆维的体积为V=号x2(MN+6)= n=3, 315-MN2)MN+6)=号(-MN8-6MNe+ f(.x)=3x2+6.x+3=3(x+1)2≥0，f(x)在R上单调 15MN+90), 53 署假作业读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈。 [每日格言] 令f()=-3-612+151+90,0≤1≤√15， (1)=-312-121+15=-3(1-1)(1+5), 当r<之u-d)时.h'r)>0: 可得f(t)在(0,1)上递增，在(1，√15)上递减， 当>a-M》时h)0 f0a=f）=98.Vm-s 所以x=号a一bd)为教大值点，即最大值点。 ②当小园维的底面与大圆锥接触时，小国锥的体积可以 为不大于大圆维体积的任何值，又大圃维的体积V'= 故当x=a一d)时，l取得最大值a一bd2-。 3rX(V⑤)2X6=30x,故选AB. (2)g(p)=a一bp,则需求量对价格的弹性为D·g(p g(p) -p·(a-bpy bp a-bp a-bp =1,得p=元 (3)若p=品，则需求量对价格的弹性为 ·gp2= bp 6:品 a 4 1 g(p) a-bp a-号 3 5.解析设速度为xkm.h,甲、乙之间的距离为akm, 它表示价格定为=品时，价格上升1%时，需求量相应 则总费用为y=f(x)=(kx3+200)a 会减少33.3%. =a(x+9）>0. 8解折0南题意可如管十1-警1-裂一告 :40=k·203=8000k六k=200' 1 又国桂的智有积为2=l器-8等。 y==a(品+)>0 两端两个半球的表面积之和为4π2， r)-a(债-）=a00。 所以y= -)×3+42×4 3r 100x2 _128元+8xr2. 令f(x)=0,则x=1020. r :f(x)只有一个极值点，∴此点也为最值点， 又1=64-4r>0→r2, 3r2 3 ∴.当火车行驶速度为1020kmh时，费用最少. 答案10/20kmh 所以定义域为(0,2). 6.解析由题意，设矩形边长AD=2x, (2)周为y=-128r+16xr=16r(r3-82, 则AB=4一x2, ,.矩形面积为S=2x(4一x2)=8x-2x3(0<xr<2). 所以令y>0,得2<r<2: ∴.S=8-6.x2. 令y'<0,得0<r<2. 令S-0,解得-号5，=-号（合去）. 所以当r=2m时，该容器的建造费用最少，为96π万 元北时号m 当0<<号时，S>0: 【真题体验】 当号月<r<2时.S<0, 1,C记三棱锥高与侧棱夹角为0，高为h,底面中心到各 六当=号后时S取得最大值为2，， 顶点的距高为m,球车径为R,则专R=36x,解得R= 9 3,cos 0= 即矩形的这长分别是，骨时，起彩的西和藏大 m=L·sin0=6sin0cos0, 答案 438 h=- m 6sin Ocos 0-6cos0. 33 tan 0 sin 0 7.解析(1)由于生产件数与年需求量x相等， cos 0 所以x=a-bp,p=后产 S= 号×2mx2m=2m, 由题意可知此时年利涧l=h(x)=px一(c十d.x) 故V=号5a·h=号×2mh=14((sin20. =6-e+d.)=-名+g-d y=sin 0cos2 0=sin 0(1-sin2 0)=x(1-2)=-.3 令(r)=0,得r=合a-bd. +x,x=sin 0E [ 54 [每日格片】生命之灯因热情面点燃，生命之舟因拼搏而前行。 高二数学（配RJB版） y=-3r+1,xe[>0 (2)设f(.x)=- 0+8.1r-10,0≤r≤10，期fx) r(9]w<0… =-10x2+8.1. va=142a=144×[×(停)门- 令(x)=0,得x=9或x=-9(合去). 当0≤x<9时，f(x)>0: Vamn=144 [×()门-织 当9<x≤10时，f(x)<0 故当x=9时，(x)取得最大值，为38.6. 2.解析(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直，A1 B1,D1,F1是相应垂足.由条件知，当OB=40时， 当>10时，10-1.9r<8<38.6 3 BB1=-800X403+6X40=160,则AA1=160. 综上可得，当年产量为9万件时，该公司所获年利润 最大 由00A2=160,得0A=80, 作业（十）专项培优：导数与不等式、函数零点问题 所以AB=OA+OB=80+40=120. 【基础诊断】 所以桥AB的长度为120米. 1.解析f代x)≥1台兰+lnx≥1台兰≥-nx+1片a≥ (2)以O为原点，MN所在直线为工轴，O)所在直线为 y轴建立平面直角坐标系（如图所示） -xlnx+x对任意x∈(0,1门恒成立. 令g(x)=-xlnx+x,x∈(0,1]， 0 则g(x)=-lnx-x·1+1=-nx≥0，x∈(0,1， 所以g(x)在(0,1]上单调递增，所以g(x)mx=g(1) =1, 所以a≥1，故a的取值范国为[1，十o∞). :h 2.解析令fx)=+-a=0,得a=十1 MA D 0 FB1N龙 et· 设F(xy2),x∈(0.40)，则y2= 800r3+6r. 1 设g()=,则g(x)=e-tDe=二三. (er)2 e 当x>0时，g'(x)<0,当x<0时，g'(x)>0, EF=160-为=160+6-6 所以g(x)在（一○，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调 因为CE=80,所以OC=80-x 递减，所以g(x)≤g(0)=1, 设D一80，，n=（80-0只 而当x>-1时，g(x)>0,当x<-1时，g(x)<0, 所以g(x)的大致图象如图所示. 所以CD=160-1=160-080-=-02+x 记桥墩CD和EF的总造价为f(x)万元， 则f)=(160+2-x)+(-02+4) =k(82-r2+160)0<<40. ①当a>1时，方程g(x)=a无解，即f(.x)没有零点： f)-(品2-）--20 3k ②当a=1时，方程g(x)=a有且只有一解， 即f(x)有唯一的零点： 令f(x)=0,得x=20. ③当0a<1时，方程g(x)=u有两解， 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表所示. 即f(x)有两个零点： (0,20) 20 (20,40) ④当a≤0时，方程g(x)=a有且只有一解， 即(x)有唯一的零点： f'(x) 0 + 综上，当a>1时，f(x)没有零，点： 单调 单调 当a=1或a≤0时，f(x)有唯一的零点： f(.x) 极小值 递减 递增 当0<a<1时，f(x)有两个零点. 【综合应用】 所以，当x=20时，f(x)取得极小值，也是最小值。 故当OE为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低. : 1.解析 (1)(r)=In(+D+In(D,()= 2 【易错警示】 1 1 ln(.x+1) [示例][解析](1)依题意得， x(x+1DT2(.x+1) 动r+81r-100≤≤10. 所以r2)=号 W 170 3 -1.9x(x>10). 故在=2处的切线鲜率为行-血 4 55