作业(二) 等差数列-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

署假作业生活的智慧大概就在于遇事问个为什么。 [每日格言] 作业（三》 今 月 星期 等差数列 天气 1知识整合 [拓展] 等差数列前n项和公式与二次函数的关系 1.等差数列的定义 在等差数列a,}中，5=孤，+"Dd=号十 2 (1)条件：①数列{a}从第2项起： a1- ②每一项与它的前一项之差都等于同一个 常数d.即a+1一an=d恒成立。 令A=号，B=a,-号，得S,=Am+Bn. (2)结论：数列{a,}是等差数列. 当A≠0(d≠0)时，S。是关于n的二次函数，那么点 (3)相关概念：d称为等差数列的公差. (n,S,)在二次函数y=A.x+B.x的图象上； 2.等差数列的通项公式 当A=0(d=0)时，Sn是关于n的一次函数(B≠0， 此时a1≠0)或常函数(B=0,此时a,=0),点(n,S)是 递推公式 通项公式 直线y=Bx上一群孤立的点. a+1-a,=d(n∈N)an=a,十(n-l)dn∈N) 6.等差数列的性质 3.等差数列的通项公式与一次函数 (1)m,n,p,q∈N,若m十n=p+q,则aman 由an=a1+(n-1)d=nd十a1-d,记f(x)= apag的关系为an十am=a。十a,特别地， d.x十a1一d,可看成an=f(n),而且 a1十an=a2十aw-1=… (2)an=an十b(a,b是常数)时，{an}成等差 (1)当公差d=0时，f(x)是常数函数，此 数列，(n,an)是直线上一群孤立的点. 时数列{a,}是常数列（因此，公差为0的等 (3)数列{an}的前n项和Sn=An十Bm 差数列为常数列) 时，{an}成等差数列. (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而 (4)若{an}和{bn}均是等差数列，则{mam十 且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因 kbn}仍为等差数列(m,k为常数). 此当d>0时，{a,}是递增数列：当d<0 (5)等差数列中依次k项的和成等差数列， 时，{an}是递减数列. 即S,S一S4,S一S,…成等差数列，公 4.等差中项 差为kd. 7.等差数列的判定方法 如果x,A,y是等差数列，那么称A为x (1)定义法：an-am-1=d(n≥2)或a+1 与y的等差中项，并且A=x十义 an=d台数列{an}是等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 (2)等差中项法：2an=am-1十ant1(n≥2)台 数列{an}为等差数列. 已知量 asa'n a,d.n (3)通项公式法：an=an十b台数列{an}是 求和公式 S,=mata,) S.=na+n-Dd 以a1=a十b为首项，以a为公差的等差 2 2 数列. [每日格言】在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 高二数学（配RJB版） (4)对于形如S,=An+Bn的数列一定为： 5.已知{a,}是等差数列，S,是其前n项和. 等差数列，且公差为2A(记住这个结论，已 若a1十a=-3,S=10,则ag的值是 知数列的前n项和可以直接写出公差. 2基础诊断 6.设S,是等差数列{an}的前n项和，若 1.在等差数列{am}中，已知a5=11,a8=5,则 99 410= ( 7.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前 A.-2 B.-1 n项和为Sm,且S。=110. C.1 D.2 (1)求a及k的值： 2.在数列{an}中，a1=-2,a+1一an=2,则a= ( ) (2)设数列(b,}的通项公式b,=三，证明： n A.-6 B.6 数列{b,}是等差数列，并求其前n项 C.-10 D.10 和T 3.已知数列{am}是等差数列，其前n项和为 Sm,若a=2,且S6=30,则S,= 4.在首项为28的等差数列{am}中，从第8项 开始为负数，则公差d的取值范围是 3综合应用 1.(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n 项和为Sn,a2十a=6,a12=17,则S16= A.120 B.140 C.160 D.180 2.已知等差数列{am}满足So=120,a3十 a6十ag十…十a30=60,则an= ( A.2n-25 B.2n-27 C.3n-15 D.3n-18 3.(多选)已知等差数列{an}的公差为d,前n 项和为S.,且S,=S。<S1,则 () A.d<o B.a1o-0 C.Si8<0 D.S8>S 4.(多选)已知数列{am}是公差不为0的等差 数列，前n项和为S,,满足a1十5a3=Sg, 下列选项正确的有 ( A.ao=0 B.S。最小 C.S,=S12 D.S20=0 5 署假作业瑰实是此岸，理想是彼岸，中间隔着黹急的河流，行动则是架在河上的桥粱。 [每日格言] 8.记S,为等差数列{a,}的前n项和，已知 2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知{a,}为等差数列， a2=11,S1o=40. an一6，n为奇数， b= 记Sn,T,分别为数列 (1)求{am}的通项公式； 2an,n为偶数. (2)求数列{an}的前n项和T {an},{bn}的前n项和，S=32,T3=16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn 5易错警示 易错一 不等价运用条件而致错 [示例1]已知{a.}为等差数列，首项为 云它从第10项开始比1大，那么公老d 的取值范围是 A>号 RdK是 c,5d3 25 <d 0.5 a1o>1, 名师叮嘱] 本题的等价条件为 而不是 a,≤1， 4真题体险 a1o>1. 1.(2023·新课标I卷)记S。为数列{an}的 易错二 忽略等差数列中为零的项致错 前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙： [示例2] 已知数列{an}满足a,=26一2m, 各为等差数列则 则使其前n项和S。取最大值的n的值为 ( A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 A.11或12 B.12 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.13 D.12或13 C.甲是乙的充要条件 [名师叮嘱] 当零为等差数列中的项时（不是首 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 项)，求多少项的最大或最小，应考虑两种情形，不 要条件 可忽略为一种 6署假作业真正的价值并不在人生的舞台上，而在我们粉演的角色中。 [每日格言] 则a.=n+2.51-3+13×11=88<10. 2 5o=20a1+20X194=-180d+190d=10d. 2 S2=3+14×12=102>10. 因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确. 2 所以n的最大值为11.故选C. 5.解析由S5=10得a3=2,因为a1十a=一3，所以a3 【易错警示】 -2d+(ag-d)2=2-2d+(2-d)2=-3→d=3,ag= fa>1, a3+6l=2+3×6=20. 4->0 解得 答案20 [示例1][解析] 由题意得 f(5)<f(6), 6解折个=1明由之-号异8S一8=2弘 [答案] (8 又由等差数列{am}的性质得S5,S16一S5,S15一S1o,S20 一Ss成等差数列， [示例2][解析]，致列(a}的前n项和Sm=n2十4(n ∈N4),∴.当n=1时，a1=S1=1十4=5：当n≥2时，am 故有S10-S5=21,S15-S10=31,S20-S15=41, =Sm-54-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.又当n 相加可得S20一S=91,所以S20=101,又S10=31, =1时，a1=5≠1， S5 15,n=1, 所以s十S。101+318 an= 2n-1,n≥2，n∈N+. 答案局 5,n=1, [答案] 7.解析(1)设该等差数列为{an,则a1=a,ag=4,as 2n-1,n≥2，n∈N =3a, 作业（二）等差数列 【基础诊断】 由已知有a十3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所 1c2B1264[兰-4) 以S,=a+724=2n+02×2=+ 2 【综合应用】 所以S4=k2+k, 1.Cag+a7=6,a2=17, 由S6=110,得k2+k一110=0， a士2d+a+6d=6·可得a5. 解得k=10或k=一11（舍去）， la1+11d=17, d=2, 故a=2,k=10. 56=16×(-5)+16X15×2=160,故选C (2)证明由(1)得Sm=n2十n=n(n十1)， 2 2.B设等差数列{am}的公差为d, 则b,-S=m十1 n 则S30=(a1十a1+…+a2s)+(a2十a5+…十a2w)+(ag +a6+…+a30)=(a3十a6+…+a30)-20d+(ag+a6 故b1-6,=(m+2)-u+D=1,又b=9=2, +…+a30）-10d+(ag十a6+…+a3o)=180-30d= 即数列{b}是首项为2，公差为1的等差数列， 120,解得d=2. 又50=30a1+30X29×2=120. 所以Tn=(2+十1)-n(n+3) 2 2 2 解得a1=-25. 8.解析(1)设等差数列的公差为d 所以an=-25十(n-1)×2=2n-27,故选B. a2=a1+d=11, 3.BCD由于Sg=S10=Sg+a10,所以a10=0,B正确.由 由题意可得 于S10<S11=S10+a1m,所以a11>0,所以d>0,A so=10a1+1094=40, 错误 a1+d=11, 即 解得 /a1=13, 由于d>0,a10=0,所以当1≤n≤9，n∈N+时，an<0, 2a1+9d=8, d=-2. 所以S8>Sg=S8十ag,D正确. 所以am=13-2(n-1)=15-2n. Sa-a1十a×18=9(ag十a10)=9u,<0.C正确.故 （2因为S,=n13+)5-2m》=14m-m2, 2 2 选BCD. 4.AC根据题意，数列{an》是等差数列，则a1十5a3=S8, 令a,=15-2≥0，解释n<号且n∈N 即a1十5a1十10d=8a1十28d,变形可得a1=一9d. 当n≤7时，则an>0,可得Tm=a1+a2十…十 又由an=a1+(n-1)d=(n-10)d, am|=a1十a2十…十am=Sm=14n-n2； 得a10=0,故A正确： 当n≥8时，则an<0,可得Tm=|a1|+|a2|+…+ 不能确定a1和d的符号，不能确定S1a最小，故B不 |am=(a1十a2+…十a7)-(ag十…十an) 正确： =S,-(S,-S,)=2S7-Sm=2(14×7-72) 又由S.=a1+nm,Dd=-9md+nm,1Dd=号× 2 2 2 (14n-n2)=n2-14n+98. (n2-19n), 得S7=S12,故C正确： 综上所述T,= 14n-n2,n≤7， m2-14n+98.n≥8. 42 [每日格片]伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，面是靠性格、意志和知识的力量完成的。高二数学（配JB版） 【真题体验】 1.C解法一甲：{an}为等差数列，设其首项为41，公差 n为奇数时，T。=T+1-b1=号(n+1)2+2(n+1D 为d, 对S,=a1+nn卫d,S=a1+”, -4-10=r2+2-5 d -d:- d= 2 0为寺数且m>5:即≥7时，工，-5，=受2+ 21-5 dS+1_Sa=d」 2'n+1n2' -(a+40m=r2--5=号m+2(m-5>0, 国比倍}为等差数列，则甲是乙的克分条件： ∴n>5时，Tm>Sw. 反之，乙： 倍}为等送数到，即常-音 【易错警示】 [示例1门[解析]由题意可得a1= a1o>1, 5-》8-子为李数，设为 ag≤1， n(n+1) 即0S=1,则S。=a,+1-1nn十1)，有S。 +9d>1, 25 n(n+1) 根据等差数列的通项公式可得 =(n-1)am-1·n(n-1),n≥2， 25+8dK, 两式相减得：am=an+1一(n一1)am一2lm,即ag+1一am =21,对n=1也成立， 从而解得亮<K易故选D 因此{am》为等差数列，则甲是乙的必要条件， [答案]D 所以甲是乙的充要条件，C正确. : [示例2][解析]因为an=26-2n,所以数列{an}为等 解法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为 差数列，且d=一2， ,公差为山.中8=+02》 又a1=26-2×1=24, 所以Sn=24n+4"2D×(-2)=-m2+251= 2 2 数列，即甲是乙的充分条件： -(-罗》'+照 反之，乙：骨}为￥差数到中当-=D-5十 因为n∈N+,所以当n=12或n=13时，S,最大，故 n十1n 选D. (n-1)D [答案]D 即Sn=S1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n 作业（三）等比数列 -2)D, 【基础诊断】 当n≥2时，上两式相减得：Sm一S-1=S1+2(n-1)D, 1.D2.A3.64.4 当n=1时，上式成立， 【综合应用】 于是an=a1十2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1 1.C设正项等比数列{am}的公比为q(q>0).因为a1= 十2(n一1)D]=2D为常数， 因此{am》为等差数列，则甲是乙的必要条件， 1,a3=2a2十3，所以q2=2g十3，解得q=3(负值舍去)， 所以甲是乙的充要条件，故选C 所以a2=a19=3,a3=a1q2=9,则其前3项的和S3=1 2.解析(1)由题意知a+a2十ag十a4=32, +3+32=13.故选C. a1-6+2a2+a3-6=16, 2.B解法一设等比数列{am}的公比为q,因为数列 {an》的各项均为正数，所以q>0.因为a1=4,S3=84, 设{am}的公差为d,. 十41=32，解得 2 所以a1+a2+a3=4+4q+4g2=84,即q2+q-20=0, a2=7, 因为g>0,所以q=4,则an=4".所以a1·a2·a3·… a1=5:w=5+21-1D=2n+3. ·a8=(a1ag)1=(4×48)1=(49)4=436=(22)36=272。 d=2, 所以log2(a1·d2·ag·…·ag)=log2272=72,故选B. (2)证明bn= 2n-3,n为奇数， 解法二设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}的 4n+6,n为偶数. 各项均为正数，所以>0.因为a1=4,S3=84,所以a1 b2。-1+b,=12m+1,5n=（5+20+3)n=n+40, 2 +42+a3=4+4q十4g2=84,即g2+q-20=0,因为g> T.=12×1+1+12×2+1+…+12…号+1=12· 0,所以q=4,则an=4",所以log2an=log24"=2n,所以 log2(a1·a2·a3·…·ag)=log2a1+log2a2+log2a3+ …+log2ag=2×1+2×2+2×3+…+2×8=2×(1+2 2 2 -r+… +3+…+8)=2×1+8)X8=72,故选B. 2 ☑为偶数且>5时，即m≥6时，T,-S。=名2+ :3.C由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2， (a+40m=r2->0 即a1q=2a1+2.① 当n=2时，a3=2(a1十a2)十2， 43