作业(八) 导数与函数的极值、最值-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

署假作业成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成。 [每日格言] 作业（八） 今 月 日 台 星期 导数与函数的极值、最值 天气 1知识整合 (3)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区 间端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必 1.极值和极值点的定义 有极值；极值可能成为最值，最值只要不在端点必 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,设 为极值 x∈D,如果对于x。附近的任意不同于x 的x,都有 2基础诊断 (1)f(x)<f(x),则称x。为函数f(x)的 1.(教材改编)如图所示的是f(x)的导函数 一个极大值点，且f(x)在x。处取极大值. f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数 (2)f(x)>f(x),则称x。为函数f(x)的 为 一个极小值点，且f(x)在x。处取极小值. 极大值点与极小值点都称为极值点，极大 值与极小值都称为极值.显然，极大值点在 其附近函数值最大，极小值点在其附近函 数值最小 A.1 B.2 2.函数的导数与极值 C.3 D.4 一般地，如果x。是y=f(x)的极值点，且 2.(教材改编)函数y=xe的最小值是 f(x)在x。处可导，则必有(.x。)=0. ( 3.函数的导数与最值 A.-1 B.-e 一般地，如果函数y=f(x)在定义域内的 C.- D.不存在 每一点都可导，且函数存在最值，则函数的 e 最值点一定是某个极值点；如果函数y= 3.(多选)已知函数f(x)=(3.x一5)e,则下 f(x)的定义域为[a,b们]且存在极值，函数 列结论正确的是 y=f(x)在(a,b)内可导，那么函数的最值 点要么是区间端点α或b,要么是极值点. A函数/心)在（停，+∞）上单调递诚 [拓展] B.函数f()的极小值点为x=号 最值与极值的关系 (1)最值是个整体概念，是整个区间上的最大值和最 C.函数f(x)无极大值 小值，具有绝对性；而极值是个局部概念，是一些邻 D.函数f(x)在[0,1]上的最大值为一5 近的点之间函数值大小的比较，具有相对性 4.当x=1时，函数f(x)=alnx十b取得最 (2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是 唯一的，而极值不一定唯一， 大值一2，则(2)的值为 22 [每日格首】有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 高二数学（配RJB版） 3综合应用 : 5.(2024·惠州调研)已知x=1是函数 f(x)=(x+a.x)e的一个极值点，则曲线 1.(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数y y=f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为 xf(x)的图象如图所示（其中(x)是函 数f(x)的导函数)，下列说法正确的是 6.(2024·天津质检)若函数1)=十 (a一1)x2+x十1没有极值，则实数a的取 值范围为 7.已知函数f(x)=lnx+‘(t∈R). 2 (1)讨论f(x)的极值； A.函数f(x)在区间(1，十∞)上是增函数 (2)若t>0,求f(x)在[e,e]上的最大 B.函数f(x)在区间（一1,1）上无单调性 值g(t). C.函数f(x)在x=- 2处取得极大值 D.函数f(.x)在x=1处取得极小值 2.下列关于函数f()=芒的说法正确的是 A.f(x)没有最小值，有最大值 B.f(x)有最小值，没有最大值 C.f(x)有最小值，也有最大值 D.f(x)没有最小值，也没有最大值 3.若函数f(x)=2r2-x十anx有两个不 同的极值点，则实数a的取值范围为 ( A.(o,) Bo,》 c.(-∞，) D.（-o, 4.设函数f(.x)=rsin x十cos,x- 千，则下列 为函数f(x)极大值点的是 A号 B.-5π 3 D.- 23 署假作业伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自已的目标。[每日格言] 8.(2024·济南月考)设函数f(x)=[a.x2 2.(2023·全国乙卷)函数f(.x)=x3十a.x+2 (4a+1)x+4a+3]e. 存在3个零点，则a的取值范围是() (1)若曲线y=f(x)在点(1，(1)处的切 A.(-∞，-2)） B.(-0∞，-3)》 线与x轴平行，求实数a的值： C.(-4,-1) D.(-3,0) (2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的 3.(2022·新高考全国I卷改编)已知函数 取值范围. f(x)=e一a.x和g(x)=ax一nx有相同 的最小值.则实数a的值为 5易错警示 易错一忽略函数的定义域致误 [示例1] 函数f(x)=2x2一lnx的极值 点为 11 A.0,2-2 B C.2 1 D- [名师叮嘱] 研究函数，要坚持定义域优先的原 则，否则极易出错， 易错二 误把导数为零作为函数取得极值 的充要条件 [示例2] 已知函数f(x)=x一3m.x2十 n.x十m2在x=一1处取得极值0，则m十n 4真题体脸 的值为 [名师叮嘱]根据函数极值的定义可知，当可导 1.(多选)(2023·新课标卷)若函数f(x) 函数在某点取得极值时，(x)=0一定成立，但当 alnx+b+S（a≠O)既有极大值也有极 (x)=0时，函数不一定取得极值，如函数f(x)= x3,其导数为f(x)=3x2,当x=0时，(x)=0,但 小值，则 函数f(x)=x单调递增，无极值.所以y=f(x)在 A.bc0 B.ab0 一点的导数值为0是函数y=∫(x)在这点取得极 C.b2+8ac0 D.ac<0 值的必要不充分条件， 园微信扫码 ●错题一键拍 ◆基础大巩固 ▣ ◆知识抢先学 24[每日格言】只有一条路不能选择--那就是放弃的路;只有一条路不能拒绝--那就是成长的路。高二数学(配BJB版) 21时,/”(x)<0. ③当a-一 /(c)-g(1)-82+2t-3(21-1)(41+3) 2 故f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间. 当1 (o),即x(,)时,/'(x)<0. 当re(:1),即x(o)时,/(c)>0. 所以f(x)在(o,哥)上单调递增,在(吾,吾)上单调 令/(x)<o,得l或x-2. 递减。 故(c)的单调递增区间为(-2.),单调递减区间为 【易错警示】 [示例1][解析] 函数f(r)一r②-2lnr的定义域是 (一。o-2).(). (0.+o)./'(c)-2x-22(x-1)(c+1)令/(x) ,] 综上,当a<一时,画数f(x)的单调递增区间为 。 <0,因为x0,所以解得0<x1,即函数/(x)-x2- (-2.),单调递减区间为(-,-2)#(+);: 2lnx的单调递减区间是(0,1). [答案](0,1) 数/(x)在 [)上是增画数,则当 间为(.-2),单调递减区间为(-~,)(-2, 十):当a0时,函数/(x)的单调递增区间为(一oo. 成立,即□()2)()202,则(x) -2).(,),单调减区间为(一2.). 在)上单减,# 【真题体验】 1.C /(o)-ae-1→o对Vxe(1,2)恒成立, 所以当-时,画_数u(x)取得大_u()-2,所 ) ._1 _ [答案][25+) 2 □选C. 作业(八)导数与函数的极值、最值 2.解析 由函数的解析式可得/(x)一alna十(1十a)· 【基础诊断】 ln(1十a)二0在区间(0,十)上恒成立. 则(1+a)rln(1+a)二一alna, 1.A 2.C 3.BCD 4.-1 (1){-# 【综合应用】 1.AD 由函数y-x/'(x)的图象知: 故(1)#}一 当x(-o,-1)时,由xf(x)<0,可得f(x)>0. ln(a+1)>-lna.即 /(x)单调递增; 故ln(1+a)>o,故 l01. 当(-1,0)时,由x/(x)>0,可得/'(x)0,f(x) 单调递减; l0<1. 当x(0,1)时,由xf(x)0,可得f(x)<0.f(x)单 取值范回是-1.1).故答案为[5-1,1). 调递减。 故当x(1,+oo)时,由xf(x)>0,可得f(x)>0. 511) /(x)单调递增. 答案 故当1一一1时,f(x)取得极大值;当x一1时,f(x)取 i f(c)-a-cos xcos :+-3sin xcos2:sin.r 得极小值,故选AD. 3.解析 co 2.A 易知画数/(c)的定义域为R,/'(c)-一xe -_cos{x+3sin:_3-20os{x ()2 cosx costx 1-,当x1时,f(c)>0,当x→1时,/(x)<0, 令cosx-7.则1(0,1). 则/'(x)-g(t)-a-3-2tat*+2-3 所以f(x)在(一o,1)上单调递增,在(1,十)上单调 2 2 递减,所以当x一1时,f(x)取得极大值,也是最大值, 当a-8时. /(x)没有最小值.故选A. 51 署假作业 当一个人先从自己的内心开始奋斗,他就是个有价值的人。 [每日格言] 3.A 由题意得f(c)=x-1+2-+a-o有两个 令f(e)=f(e2),则1+-2+,得1-2} 2 不同的正实数根,即x^{②}一c十a一0有两个不同的正实数 △-1-4a>0. e 根,所以 又+x=1>0,解得0<a→-,故实数a的取 x1x2-a>0. 值范围为(o.). _ 4. D /(x)-sinx+xcos x-sinx-- (cos一). 当(e^②时,g(t)-f(e)-1+. 。 令/(s)-0,得x-0或x=2kr士,乙. #2 -1' 综上,g()-{ #当$# (-7-)5)(-#o),(#5)时 2 ##()<;当(-5-)(0,)#(#*)时, 8.解析 (1)易得f(x)=[ar2-(2a十1)x+2]e. 由题意可得曲线y一f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率 /(x)0. 为0,故f(1)-(a-2a-1+2)e-0,解得a-1. 所以画数 ((在(-7-5),(#)). (2)/(c)-[ax2-(2a+1)x+2]er-(r-2)·(ar- (#)上单;在(-,一))(0,) De. (57T#)上单调增 在(2,+o)(-。~,)上单调减,故(c)在x-2处 因此结合选项知x=-是函数/(1)的极大值点。 取得极大值,不符合题意; 5.解析 由/(c)=(r2十ax)e. ②当a=0时,f(r)=-(x-2)e,若x<2,则f(x) 得f'(x)-(r2+ar+2r+a)e*, 0.f(x)单调递增,若x>2,则f(x)<0.f(x)单调递 因为x-1是函数f(x)-(r2十ax)e的一个极值点, 减,故f(x)在x一2处取得极大值,不符合题意; ③当<-时,→2,此时(i)在(2.)上单调 2 所以#(c)一(^2+-)# 递减,在(+)(-co,2)上单调递增, 3 故所求切线斜率k=/(0)=-- 故f(x)在x一2处取得极大值,不符合题意; 2. ④当-时,/(tx)-(tcr-2){}→0,/(x)在R上单 答案 调递增,无极值,不符合题意; 6.解析 易得/(x)-x2十2(a-1)x+1. 当a>时,<2,此时f(2)在(,2)上单调递 因为函数f(x)没有极值,所以f(x)二0恒成立,所以A -4(a-1)?-4<0,解得0<a<2 减,在(2,十)(-,)上单调递增, 答案 [0,2] 7.解析(1)易得/(c)-1-! 故f(x)在x一2处取得极小值,符合题意. xr2) 综上可得,a的取值范围是(,十o). 当<0时,f(x))0,故f(x)在(0.十x)上单调递增, 无极值; 【真题体验】 当 0时,令/(x)-0,得x-1,所以当x(0,1)时, f'(x)<0,f(x)单调递减, ,{ 当x(t,十oo)时,f(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x) 个正根x1,2) 有极小值,为f()一ln十1 .x十。二 综上,当10时,/(x)无极值;当/0时,f(x)有极小 值ln+1. 'ab0.ac0.则bc0.选BCD. 2.B (2)由(1)知,当(0时,f(x)在(0,/)上单调递减,在 f(x)-xr十ax十2,则/(x)-3x2十a. (t.十)上单调递增. 若f(x)存在3个零点,则/(x)存在极大值和极小值, 所以当0<(<e时,g(1)=f(e)-2+. 则a0. 当e1<e2时,g(t)=max{f(e),f(e②})). 52 [每日格言]拥有梦想只是一种智力,实现梦想才是一种能力。 高二数学(配BJB版) {-2时,f(c)3x2②十 且当(-,一#(、 +)时:#/(G)→o, 递增,无极值点,故舍去,当 ln-9 当#(##)时#()二# $2 +9=3(x+1)(x+3).当x(-.-3)和 x(一1,+co)时,/(x)>0,f(x)单调递增;当 故( )的极大值为#(一)、极小值为#(#). x(一3,-1)时,/(x)0.f(x)单调递减,故f(x)在 x=一1处有极小值,满足条件. (#)→0 综上,n+n--2+9-7. [答案]7 若f(x)存在3个零点,则 作业(九) ##)# 利用导数解决实际问题 【基础诊断】 ##02# 1.B 2.B 3.8点 4.80 一 【综合应用】 解得a<-3, 故选B. ③{= 4③V ①a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)在R上单调递 V.求导得S-3-4③V 增,即f(x)没有最小值,该类情况应舍去. -v4V. ②ao时,f'(x)在(-xo,lna)上小于0,在(lna, 十)上大于0, 所以当底面边长为\4V时表面积最小。 所以f(x)在(一oo,lna)上单调递减,在(lna,十oo)上 2.D 设“如意金箍棒”变化前的长度为acm, 单调递增, 1s时的体积为V(t). 所以f(x)在x=lna处有最小值为f(lna)一a-alna, 则V(t)=x(12-t)(a+20),0 t8 因为g(c)在(o,)上小于0,在(,+)上大于o, 所以V(t)-[-2(12-)(a+20t)+20(12-). 令12-1-10,解得1-2, 所以g(c)在(o,)上单调递减,在(,+)上单调 因为当底面半径为10cm时,V(t)最大. 所以V'(2)-0,解得a-60. 递增, 所以V(t)-20r(12-t)②(3+t),0 8 所以g(x)在x-1处有最小值为g(-)-1+lna, V'(t)-60(t-12)(t-2). 当V'(t)0.即t(0.2)时,V(t)单调递增 因为f(x)=e{-ar和g(x)=ax-lnx有相同的最 小值. 当V(t)0,即((2,8)时,V(t)单调递减, 所以有(lna)-a-aln a-g(-)-1+lna, 因为V(0)-8640π,V(8)-3520. 所以当(-8时,V(t)有最小值3520t. 即a-alna-1+lna. 所以“如意金箍棒”的底面半径为4cm.故选D 因为a>o,所以上式等价于lna--1-0. 3.C 由题意得,每分钟滴下药液的体积为πcm^③}. a1 令(x)=ln--1(x>o), 当4h 13时,xπ=π·4{}·(13-h),即h-13$$$ 1 所以h一一 1,此时0<x144; 则'(:)=21 当1<h 4时,xπ=π·4×9+π·2^}.(4-h).$ 上单调递增: 又因为h(1)=0-h(a)且a>0,所以a-l 答案1 所以函数在[0,156]上单调递减,且144 x 156时,递 【易错警示】 减的速度变快. [示例1] [解析] f(x)的定义域为(0,十),/(x) 4.AB ①当小圆锥的底面与半球接触时, 设半球的半径为R,由xR{}=10 \15π,可得R-15 [答案]C 设小圆锥的高为h,小圆锥底面的半径为r, [示例2][解析]f(x)-3x-6mx+n. 则MN?+r-R?,即MN?-15-, 根据题意,/(-1)-3+6m+n-0, f(-1)--1-3m-n+m-0. n-3. n-9. ln-3 f'$()=3x^{②}+6x+3=3(+1)}>0,f(x)在R上单调$ 15MN+90), 53