第三部分综合检测-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

署假作业学习是劳动，是充满思想的劳动。 [每日格言] 第三部分 综合检测 (本卷满分150分，用时120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 6.设x>0,y>0,若e十lny>x十y,则下列 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 选项正确的是 项是符合题目要求的. A.I>y B.x>In y 1.(2024·上饶一模)已知R为实数集，集合 C.x<y D.x<In y A={x|x2-3.x-4≤0}，B={x|y= ln(.x-1)},则AUCRB= 7若函数)=hx士则不等式1-> ( A.{x1<x≤4 B.{x-1≤x≤1} f(2.x-1)的解集为 C.{xx≥-1} D.{xlx≤4 B,引 2.(2024·烟台一模)若1og。(a2十1)< log.(2a)<0,则a的取值范围是( c(引 D.() A.(0,1) B(o,》 &.已知函数y=a+2n(x∈[是，e)的图象 c.( 上存在点P,函数y=一x2一2的图象上存 D.(0,1)U(1,十∞) 在点Q,且P,Q关于原点对称，则a的取 3.(2024·晋中模拟)在等差数列{an}中， 值范围是 a,=9,且a2,a4,a1o构成等比数列，则公差 A.[3,e] B.[e2,+oo) d= ( A.-3 B.0 c[4+e D3.4+ C.3 D.0或3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 4.已知等差数列{an}的前n项和为S.,若 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 =1,=4，则的价为 题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部 分分，有选错的得0分。 3 9.已知f(x)是定义在R上的奇函数， f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时，f(x) D.4 x3,则下列结论错误的是 () 5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等 A.f(2025)=0 或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 B.2是f(x)的一个周期 叫一网一会其中星等为m,的星的 C.当x∈(1,3)时，f(x)=(1-x)3 D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k∈Z) 亮度为E(k=1,2).已知太阳的星等是 10.若数列(an}满足a1=2,a,十a+1=3n 一26.7，天狼星的星等是一1.45，则太阳与 (n∈N),其前n项和为S,,则下列结论 天狼星的亮度的比值为 ( 正确的是 A.10.1 B.10.1 A.a202=3031 B.a2m-1=3n-1 C.lg10.1 D.1010.1 C.a+1-am=1 D.Sz=3n2 38 [每日格片】知识给人亚量，成就给人光彩，大多数人只是看到了光彩，面不去称量遮量。 高二数学（配RJB版） 11.关于函数f(x)=】十n,下列说法正确 16.(15分)(2023·新课标I卷)已知函数 f(.x)=a(e+a)-x. 的是 (1)讨论f(x)的单调性； A.f(1)是f(x)的极大值 B.函数y=f(x)一x有且只有1个零点 (2)证明：当a>0时，fx>2na+号 C.f(x)在(0,1)上单调递减 D.设gx)=xf(x),则g(）<g(D) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. 12.设函数f(x)=xlnx,则在点(1,0)处的 切线方程是 ;函数f(x)=xlnx 的最小值为 13.将数列{2m一1}与{3m一2}的公共项从小到 大排列得到数列{a,,则{an}的前n项和为 14.已知f(x)=x2+bx+c有极小值点一1， 17.(15分)为进一步推进国家森林城市建 设b,=m,若对于任意的n∈N,都有 设，我市准备制定生态环境改造投资方 案，该方案要求同时具备下列两个条件： b≥b,成立，则实数c的取值范围是 ①每年用于风景区改造的费用y随每年 改造生态环境总费用x增加而增加： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应 ②每年用于风景区改造的费用y不得低 写出文字说明、证明过程或演算步骤， 于每年改造生态环境总费用x的15%， 15.(13分)已知等比数列{a.}的前n项和 但不得高于每年改造生态环境总费用x S,=2”"十r,其中r为常数. 的25%.若每年改造生态环境的总费用 (1)求r的值； 至少1亿元，至多4亿元：请你分析能否 (2)设bn=2(1十1og2an),若数列{bn}中去 掉数列{a,}的项后余下的项按原来的顺 采用函数模型y=0(x十4r十16)作为 序组成数列{cn},求c1十c2十c3十…十c10 生态环境改造投资方案。 的值 39 署假作业人的一生就是进行尝试，尝试得越多，生活就越美好。 [每日格言] 18.(17分)已知函数f(x)=x-ae,a∈R 19.(17分)设数列{an}的前n项和为Sn.若 (1)当a=二时，证明：f(x)+lnx-x+1≤0 e 1<am+1≤2(n∈N),则称{a,}是“紧密 2 a 在(0，十∞)上恒成立： 数列” (2)讨论函数f(x)的零点个数. (1)已知数列{an}是“紧密数列”，其前 5项依次为1，号，是，求x的取值 范围； (2)若数列{a,}的前n项和为Sn= 子(r十3m),判断{a是不是“紧密数 列”，并说明理由； (3)设数列{an}是公比为q的等比数列， 若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q 的取值范围. ▣ 眠微信扫码 错题一键拍 。基础大巩国 ◆知识抢先学 40[每日格言】忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。高二数学（配JB版） 考点三 a十b+ 1.C:f(.x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3), 2解析依题意得品十元+。。B+产。 1 8a+b8 六-合-生3，解得6=-2 a>0, b>0. .f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, 即 ∴.f(x)>0的解集为{xx≠1. a+b=8 2.解析由题意得不等式(x十m)(2-x)<1, 2a+b' 即x2+(m-2)x+1-2m>0对任意x∈R恒成立， ab=1, 因此△=(m-2)2-4(1-2m)<0, a+b=4 时，等成立，国北，品+品+子6的藏小位 则m2+4m<0,解得-4<n<0. 为4. 答案（一4,0） 答案4 3.解析由题意a≠0，设y=a.x2+8(a+1).x+2a+3, 【易错警示】 又对于任意a∈Z,要使y>0只有有限个整数解， [示例1门[解析]①当m=0时，3>0恒成立，满足 所以a<0. 条件. 又x=0是其中的一个解， ②当m≠0时，则△=16m2-12m<0,解得0<m<是。 所以2a+3≥0，从而-是<u<0a∈Z 综上可得实数m的取值范周是m0<m<号} 因此a=一1. 当a=-1时，则原不等式化为-x2+1≥0. [答案] {m0≤m<} 所以一1≤x≤1，不等式的整数解为一1,0,1 从而全部整数解的和为一1十0十1=0. [示例2] [解析] (a+a)°+(+方)月 答案一10 4解析由题意知f)=十ar十6=(e+受)广+b ++++4 =a++0)+4 4 :f)的值线为0，+e6号-0， =1-2a6(1+0)+4 )=(e+号月 o>≥0.6>0a+6=1∴（安）y= 又“fx<(r+）<c, 1-2a1--161+办17. 原式>号×17+4=（当且仅当a=b=号时，等号 解之得-号-<<-号十E, 成立) 号-=m.0 -受+=m+6,@ (+日)广+(+石》的最小值是要 由②-①，得2=6，c=9. [答案]罗 答案9 第三部分 综合检测 【真题体验】 1.D由x2-3x-4≤0，即(x-4)(x十1)≤0，解得-1≤ 1.C由2+2-w=1得(x-多)+（停）=1 x≤4，即A={xx2-3x-4≤0)={x-1≤x≤4}，又 B={.x|y=ln(.x-1)}={x|x>1},所以CRB= x一 -os. I= n叶os0. {xx≤1}，所以AU CRB={xx≤4}，故选D. 3 an 0. 2.C由题意知a>0且a≠1，则a2十1>2a, y=sin 0, y log.(a2+1)<log.(2a)<0. 故x+y=3sin0+cos0=2sim(0+晋)e[-2,2],故 以释特<<1 A错误，B正确： 3.D{an}为等差数列，且a1=9a2a4a1o构成等比数列， a1=9, 即/a1+3d=9, ”af=a2·ao' 1(a1+d)(a1+9d)=81, -in20-os20+ 解得d=0或d=3.故选D. 3 4.C设公差为d,则S:=4a1+6d,S2=2a1+d,结合S4 -号nm20-p+音[2]（中amg9 =4S2,a1=S1=1,得d=2,所以S4=16,S6=36,所以 S69 故C正确，D错误. 54 59 署假作业别拿自已的人生和他人作比较，你根本不清楚他们的人生是怎么一回事。 [每日格言] 5.A由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天： f(x)=f(2-x)=(2-x)3.故C错误： 狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E,则由m2一m1= 易知当x∈(0,2)时，f(.x)>0, 2营得-257+1.5=会 :f(x)的最小正周期是4， ∴.f(x)>0的解集为(4k,4k十2)(k∈Z),故D正确. 10.ABD因为am十aw+1=3,① e会-101le管=1a1管-10a 所以当n≥2，n∈N+时，有a-1十am=3(n-1),② ①-②，得am+1一am-1=3, 6.B不等式e十lny>x十y等价于e-x>y-lny, 因为a1=2,a1十a2=3,所以a2=1, 令f(x)=e一x, 由am+1一am-1=3可知该数列的奇数项是以2为首 f(In y)=el y-In y=y-In y, 项，3为公差的等差数列，该数列的偶数项是以1为首 ∴.不等式e-x>y-lny等价于fx)>fny). f(.x)=e-1, 项，3为公差的等差数列， .当x∈(0，十o∞)时，f(x)=e-1>0,f(x)在区间 故a22=a2×1011=1+(1011-1)×3=3031,故A (0,十∞)上单调递增， 正确： .若y∈(1，十o∞)，则lny∈(0，十oo), 由f(x)>f(lny),得x>lny: 01=2+(0+1-)×3=3-1,故B正确： 若y∈(0,1]，则lny≤0，由x>0,得x>lny. a2一a1=一1，故C不正确： 综上所述，则有x>lny恒成立.故选B. [2+2+(2-)x3]n[1+1+(受-)×3 7.C由画数f(x)=lnx-,因为y=nx在定义战(0， 2 十∞)上单调递增，y=一在区间(0，十∞)上单调递 =3n2,故D正确. 故选ABD. 增，故函数f(x)=1nr-1在区间(0，十60)上为增画 :1山.BCD函数f(x)=1+lnx的定义战为(0，+o), 戴，所以只需1->2-1>0，得号<<号故选C 8.A函数y=-x2-2的图象与函数y=x2+2的图 象关于原点对称，若西数y=a十2h(∈[日可） 当0<x<1时，f(x)<0,则函数f(x)在(0,1)上单调 递减， 的图象上存在点P,函数y=一x2一2的图象上存在点 当x>1时，f(x)>0,则函数f(.x)在(1，十o∞)上单调 Q,且P,Q关于原点对称，则函数y=a+2lnx 递增， (:€[日])的图象与函数y=十2的周象有文点 所以当x=1时，函效f(x)取得极小值，为f(1)=1, 即方程a+2n=2+2(∈[日])有解，即a= 故A错误，C正确： 对于B,函数y=f(x)-x=上十nx一工，其定义战为 +2-2加(e[日)有，令)=+2-2m x (0,十∞). (e[是)则ra-2” 当r∈[日山)时f'0,f单满道减。 当x∈(1，e]时，f'(x)>0,f(r)单调递增， 故函数y=f(x)一x在(0，十∞)上单调递减， 故当x=1时，f(x)取最小值3， 又当x=1时，f(1)-1=0, 南f(日)=+4e)=2 所以函数y=f(x)一x有且只有1个零点，故B正确： 对于D,g(x)=xf(.x)=1十xlnx,其定义域为(0，十o), 故当x=e时，f(.x)取最大值e2, 故a∈[3，e2],故选A. 则g)=lnx+1,令g)=0,得x= 9.ABC:f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(2-x)=f(x)=-f(-x), 当0<<时g()<0,则函数g)在(0，日)上单 e .f(2+x)=-f(x), 调递减， .f(4+x)=-f(2+x)=f(x), ,f(x)的最小正周期是4，故B错误： 当x>时，g()>0,则画数g)在（日十）上单 ∴.f(2025)=f(1)=1,故A错误： 调递增， 当x∈[0,1门时，f(x)=x3,f(x)是定义在R上的奇 函数， 所以当r=】时，函效g(x)取得极小值，也是最小值， .当x∈[-1,1]时，f(x)=x3, 当x∈(1.3)时，2-x∈(-1,1)， 为g(日)所以g(日)gO,故D正确 60 [每日格言】不要谨慎地稽查人生，现在就呈现出你最大的发挥。 高二数学（配RJB版） 12.解析因为f(x)=lnx十1. …+b1o7)-(a2+a3+a4十a5+a6十a1十as)= 所以所求切线的斜率k=(1)=1,所以切线方程为y 107×(2+214021-2)=11302. =x-1:令了)=0，解得x=。,当x∈(0，是)时， 1-2 16.解析(1)因为f(x)=a(e2+a)一x,定义域为R,所 fx)<0:当x∈（日+）时，f(x)>0,所以fx) 以了(x)=ae-l, 当a≤0时，由于e>0,则ae≤0，故(x)=ae-1 在(0，)上单调适减，在（日十+）上单调道增，所 <0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减： 以fx)m=f(）=- 当a>0时，令f(x)=ae-1=0, 解得x=-lna, 答案y=-1-日 当x<一lna时，广(x)<0,则f(x)在 13.解析解法一（观察归纳法）数列{2m一1}的各项为 (-∞，一lna)上单调递减： 1,3,5,7,9,11,13,…:数列{3m-2}的各项为1,4.7， 当x>-lna时，子(.x)>0.则f(x)在 10,13,…,观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7， (-lna,十o∞)上单调递增： 13,…,是首项为1，公差为6的等差数列，则am=1十 综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减： 6(n-1)=6n-5. 当a>0时，f(x)在（一o,-lna)上单调递减，f(x) 故前n项和为5，=n@十a）=1+6n-》=3n 在（一lna,十∞）上单调递增. 2 2 (2)证明证法一由(1)得，f(x)mm=f(-lna) 2n. a(e-ma+a)+In a=1+a2+In a, 解法二（引入参变量法）令bn=2m-1,cm=3m-2, 要运fx)>2na+号，脚运1+a2+lna>2ha+号 bn=cm,则2-1=3-2，即3m=2n十1m必为奇数. 令m=21-1,则n=31-2(1=1,2,3,…). 即证a2-}-lna>0恒成立， 2 a,=b1-2=c21-1=61-5,即am=6n-5. 以下同方法一. ◆ga)=a2-音-lneu>0. 答案3n2一2n 14.解析因为f(x)=x2十b.x十c有极小值点一1，所以 则g'(a)=2a-1=2a2-1 a b 2 =-1,解得6=2，故。=心+2m十c=n十二十2. 令Ra)<0,别0Ka<号， 令g)=x++2(x≥10，则8'()=1-号- x ◆ga>0.则。>盟 兰，当≤1时，发6≥0，画数g)在[1，+∞)上 所以(a)在(o.号）上单调递减，在（受，+∞）上单调 单调递增，此时{b}是递增数列，不满足题意，故c>l. 递增 当1<x<时，g'(x)<0,当x>时，g'(x)>0,即函 数g(x)在(1，W)上单调递减，在(wc,+∞)上单调递 所以ga=g(）=(--h号-n 增，即数列{bn}先减后增，因为对于任意的n∈N+,都 >0,则g(a)>0恒成立， 有bn≥b4成立，所以只需b≥b1且b1≤b5,即 5+号8+子群41<0 所以当a>0时fx)>21na+号恒成立，证毕. 证法二令h(x)=e-x一1，则h'(x)=e2-1, 6+4≤7+5： 由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e一1在R 上单调递增，又h'(0)=e°一1=0， 故c的取值范围为[12,20]. 所以当x<0时，h'(x)<0:当x>0时，h'(x)>0:所 答案[12,20] 以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调 15.解析(1)因为S。=2m十r,所以当1=1时，S1=a1= 递增，故h(x)≥h(0)=0,则e≥x+1,当且仅当x 2+r. 0时，等号成立，因为f(x)=a(e十a)一x=ae十a 当n=2时，S2=a1十a2=4+r,故a2=2. -x=e+n“十a2-x≥x+lna+1+a2-x,当且仅当 当n=3时，Sg=a1十a2十a3=8+r,故a3=4. x十lna=0,即x=一lna时，等号成立， 因为{an}是等比数列，所以a号=a1a3,即22=(2十r)X 所以要运fx)>2na+受，证x+lna+1+ad2-x 4,化简得2十r=1,解得r=一1，此时Sn=2-1, 当n≥2时，am=Sn-Sm-1=2"-1-2m-1+1=20-1, >2na+号，即注2-号-lhe>0, 当n=1时，a1=S1=1适合上式， 令ga)=a2-2-lnaa>0).则g(a)=2a-日 1 所以r=一1满足题意. (2)因为an=2-1,所以bn=2(1十log2an)=2n. 因为a1=1,a2=2=b1,a3=4=b2,a4=8=b1,a5=16 2“。1,令g(u)<0,则0<a<受令g'a)>0,则a a =bga6=32=b16a7=64=b32,ag=128=b64ag= 256=b128,所以c1+c2十c3十…+c10=(b+b2十b3+ 61 署假作业无论情况多好或多坏，它都会变的。 [每日格言] 所以g)在(0，号）上单润递减， 在（受+∞）上单捐递增， 所以ga)=）=(°--h号-n 19.解析(1)若数列{an}为“紧密数列”，则x≠0， >0,则g(a)>0恒成立， 所以当。>0时，f)>21na+是恒成立，证苹 且 1.解折y=03r2+4>0xe[1,, 181≤2 216x 当xE1,们时，通数y=0(计红+16)是增画 解得≤号故x的取值范国为[影昌] (2)数列{an}为“紧密数列”.理由如下： 数，满足条件①. 设g)==(e2+4+) 当m=1时01=S1=}×1+3)=1 当m≥2时a,=S,-51=m2+3m)-[n-10 50.x2· 令g'(x)=0,得x=2. +3m-10]-2+2 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表： 又号十号=1=41，所以a1=1满足上式， 212 1 (1,2) 2 (2,4) 4 g'(x) + 因光a,-名+ueN: g(x)21% 16% 24% 所以对任意n∈N,at12(n十1)十2=n十号= 141 +1 当x=2时，g(x)有最小值为16%>15%， 2+2 当x=4时，g(x)=24%<25%, 1 当x=1时，g(x)=21%<25%,满足条件②. n十1' 1 所以能采用函数模型y=1O0r3+4虹+16)作为生态 所以=1+2 环境改造投资方案 因此数列{an}为“紧密数列” 18.解析(1)证明当a=上时，x)=r-c一1，则 (3)因为数列{am}是公比为q的等比数列，其前n项和 e 为Sn, 广(x)=1-e-1.由广(x)>0得x<1,此时f(x)单调 所以当q=1时，an=a1,Sm=a1 递增，由∫(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减.所以 f八x)mx=f1)=0,即f(x)=x-e-1≤0①，变形得x ,1<S+1=+1=1+1≤2 所以<=1≤2≤ n ≤e一1，当x>0时，对x≤e一l两边同时取自然对数， 成立，满足题意， 得lnx≤x一1，当且仅当x=1时等号成立.所以lnx 一x+1≤0②.①+②，得f(.x)+lnx-x+1≤0.所以 当g≠1时aw=a1g-1,5,=11一) 1-g 当a=上时，f(x)+nx-x+1≤0在(0，十∞)上恒 因为a,为“紧密数列，所以<82=<2， 成立 即号<<1或1<<2， (2)f(x)=0等价于x-ae=0,即工=a.设h(x)= 二，则M()=1,当x<1时，h'()>0,h(r)单调 1号号 er S+1-1-+'≤1-2=1+)1-2=1+g 递增，当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以！ S 1-g≤1-4 1-q Ax)=h1)=。.又当x<0时，Ax)<0,当x>0 <2, 所以号<<2成立，满足S为紧害 时，h(x)>0,且x十oo时，h(x)·0,所以可画出 Sw1-” h(r)大致图象，如图所示，所以当a≤0或a=上时， 数列”： e 当1<g≤2时，5-1-9 2=1二4=1+g>2,不满足{S,}为 f)在R上有金一幸点：当0>时，)在R上无 “紧密数列” 零点：当0a<时，)在R上有两个零点， 综上，实数9的取值范是[] 62