作业(一) 数列的概念-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格]在世界的历史中，每一伟大而高贵的时刻都是某种热忧的胜利。 高二数学（配RJB版） 第一部分 温故知新 作业《一》 月 日 日 数列的概念 台 星期 历 天气 1知识整合 4.数列的分类 分类标准 名称 含义 1.数列及其相关概念 按项的 有穷数列 项数有限的数列 (1)定义：按照一定次序排列的一列数称为 个数 无穷数列 项数无限的数列 数列. 从第2项起，每一项都大 (2)项：数列中的每一个数都称为这个数列 递增数列 于它的前一项的数列 的项.项数：组成数列的数的个数称为数列 的项数 从第2项起，每一项都小 递减数列 (3)通项：a1,a2,ag,…,am,…,简记为{an}, 按项的 于它的前一项的数列 其中a,表示数列的第n项（也称n为an 变化趋势 常数列 各项都相等的数列 的序号，其中n为正整数，即n∈N,),称 从第2项起，有些项大于 为数列的通项 摆动数列 它的前一项，有些项小于 2.数列的通项公式 它的前一项的数列 般地，如果数列{an}的第n项an与序号 :5.数列的递推公式 n之间的关系可以用an=f(n)来表示，其 如果已知数列的首项（或前几项），且数列 中f(n)是关于n的不含其他未知数的表 的相邻两项或两项以上的关系都可以用一 达式，则称上述关系式为这个数列的一个 个公式来表示，则称这个公式为数列的递 通项公式. 推关系（也称为递推公式或递归公式）. [拓展] 6.数列的前n项和 关于数列通项公式的说明 (1)定义：一般地，给定数列{an},称Sn= (1)并非每一个数列都有通项公式. a1十a2十a3十…十am为数列{an}的前 (2)数列通项公式的形式不是唯一的. n项和. (3)数列的通项公式可以用分段函数表示， S1,n=1, (4)数列的通项公式实际就是相应函数的解析式. (2)关系：an= S.-Sn-1,n≥2. 3.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为正整数集的 2基础诊断 子集的函数，数列中的数就是自变量从 1.(多选)已知数列{an》的通项公式为an= 小到大依次取正整数时对应的函数值， 9十12n,则下列各数是{an}的项的是( 而数列的通项公式就是相应函数的解 A.21 B.33 析式. C.152 D.153 署假作业改变你的想法，你就改变了自已的世界。 [每日格言] 2.有下列命题： 3.已知数列{an}的首项a1=1,且满足a+1= ①数列号是号吾…的一个道项公式是 ，此数列的第3项是 2n a.=n+l A.1 ②数列的图象是一群孤立的点； c ③数列1，一1,1，一1，…与数列一1,1， 4.（多选)下列四个命题中，正确的有() 一1,1，…是同一数列： A数列"计的第项为1+ ④数列2…是递增数列。 B.已知数列{an}的通项公式为an=n2一 其中正确命题的个数为 n一50，则一8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式 A.1 B.2 为an=2"-1 C.3 D.0 3数列a,的前儿项为23.号8，号…，则 D.数列a,的通项公式为a,=n十则数 列{an}是递增数列 此数列的通项公式可能是 ( 5.数列{an}中，an=-n2十11n(n∈N+),则 A.a,=5n4 此数列最大项的值是 2 B.a,=3n-2 2 6.写出一个符合下列要求的数列{a}的通项 C.a= 6-5 2 D.a,=10n-9 公式：①{a,}是无穷数列：②{a,}是单调递 2 减数列；③一2<a,<0.这个数列的通项公 4.已知数列{a,}的通项公式为an=2024一 式可以是 5n,则使a,>0成立的正整数n的最大值 为 7.已知数列a,)的通项公式是a,=9-91十2 9m2-1 (1)写出该数列的第10项： 3综合应用 (2)器是不是该数列中的项？为什么？ 1.(2024·孝感期末)设数列{an}的前n项和 为S,点(，)a∈N)在函数y=x-2 (3)在区间（兮，号）内是香存在数列中的 项？若存在，求出有几项：若不存在，请说 的图象上，则数列{an}的通项公式为( 明理由. A.a=6n-5 B.a=3n-2 C.am=6+5 D.a=3n+2 2.(2024·南通期末)在数列{am}中，若am= 2n-1,n为奇数， 则a十a的值为( 21,n为偶数， A.17 B.23 C.25 D.41 2 [每日格】生命如同离言，其价值不在于长短，而在于内容。 高二数学（配RJB版） 8.已知在数列{an}中，an=1 a+20n-Dn∈N, 2.(2021·北京卷)数列{a,}是递增的整数数 列，且a1≥3，a1十a2十…十an=100,则n a∈R,且a≠0). 的最大值为 (1)若a=一7，求数列{a,}中的最大项和 A.9 B.10 最小项的值； C.11 D.12 (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6成立， 求实数a的取值范围. 5易错警示 易错一 忽略数列与函数的区别而致错 ad5x≥6， 示例) 已知函数fx) (4-g)+4<6 数列{an}满足an=f(n)(n∈N+),且数列 {an}是递增数列，则实数a的取值范围是 名师叮嘱]本题考查的是分段数列的单调性， 要注意与分段函数的区别，分段函数的单调性不但 要求各段函数的单调性一致，而且还要使分界点处 两函数的单调性与整体保持一致，本题的易错之处 是只考虑各段数列的单调性而忽视分界点处各段 数列值的大小关系，卸f(5)<∫(6).若本题改为函 4真题体验 a ,x≥6， 数f(x) (4-)x+4,x<6 增函数，则不但 1.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探 月任务后，继续进行深空探测，成为我国第 要考虑各段函数的单调性，而且还要考虑a°-s≥ 一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦 (4-)×6+4. 娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值， 易错二 已知Sm求am时，不要忽视n=1 用到数列6，：4=1十6=1 1 [示例2] (2024·孝感期末)已知数列 a1+ a, {an}的前n项和为S。,且Sn=n2十4，则 b3=1+ ,…,依此类推，其中 d= a1+ [名师叮嘱]已知S,求a.时，要注意a,=S, S。-1(n≥2)的限制条件，若n=1时，a=S1符合a a∈N+(k=1,2,…).则 (n≥2)的式子，则数列的通项公式可以合并为一个 A.b<b B.6ab S1n=1, 式子，否则a. C.b<b D.6<b Sn-Sm-1,n≥2，n∈N 园微信扫码 。错题一键拍 。基础大巩固 ▣ ◆知识抢先学 3[每日格言]对于最有能力的领航人，风浪总是格外的游酒。 高二数学（配RJB版） 参考答案 第一部分 温故知新 作业（一） 数列的概念 所以在区同（号，号）内，存在数列中的项，且只有一项， 【基础诊断】 1.ABD2.A3.A4.404 为数列的第2项. 【综合应用】 8.解析(1)解法一 a=-7.∴am=1+2m-9 1.A依题意得=3m-2,即S,=3m2-2n,所以a1=5 结合高数)=1十2g的单调性， =1,当n≥2时，an=Sn-Sm-1=3m2-2m-3(n-1)2+ 可知1>a1>a2>a3>a4as>a6>a7>…>an>1(n∈ 2(n-1)=6n-5,又a1=1满足上式，所以an=6n-5, N+), 故选A ∴.数列{an}中的最大项为as=2,最小项为a1=0. 2.A由题意得a4十a=23+2×5-1=17.故选A. 3.Ca1=1.a2=2a1+2 解法二：a=-7am=1+21—9 1 设数列中的最大项为am,则 1 1_3 ag=2a2+2×241 am≥a-I'(n≥2且n∈N+).即 4AD对于A,最列中}药第项为史=1+ an≥an+1 1+2引+2-得<< 1 A正确：对于B,令n2一n-50=一8，得n=7或n=一6 (舍去)，B正确：对于C,将3,5,9,17,33.…的各项均减 1+2g>1+2m-g 1 去1，得2,4,8,16.32.…，设该数列为{bn},则其通项公 又n≥2且n∈N+,.n=5,即数列an}中的最大项为 式为b=2",因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式 a5=2. 为a,=6+1=2+1,C错溪：时于D.a,升1 同理可得，数列(an}中的最小项为a4=0. 1 11 1 n干，则aa+1-a,=n干市一n千2(m+1D(m+2)>0, (2)an=1+ 因此数列{an}是递增数列，D正确.故选ABD. 0+2(-1D=1+2 n-2a 2 5.解析若an最大，则之-"'(n≥2. :对任意的n∈N+,都有an≤a6成立， am≥aw+1 1 H). 2一的单调性， :结合函数f(x)=1+2-@ 2 解得5≤n≤6.因为n∈N+,所以当n=5或n=6时，am 取最大值30 知5<2,4<6， 2 答案30 ∴.-10a<-8. 6.解析令a,=-2+(m∈N+),则a,=-2+1在定 故实数a的取值范围为（一10，一8）. 【真题体验】 义城上单调递减，又一2<一2十上<0，所以满足3个条 1.D(取特味值)取a,=1,于是有=2=受 件的数列的道项公式可以是a,=一2+上(m∈N+). 8 3b=5 答案an=一2十1(n∈N)(答案不唯-) 分子分号分别构成美该那契数到，于是有：=号6 7解析a,=9m-9m+2 9m2-1 21 =(3m-1)(3m-2)_3m-2 (3n-1)(3n+1)3n+1' 于是得>，6=1+号>1+器>1+引-6= (1)令n=10,得a0=3×10+13 3×10-228 1计露>1+号-，对比选项，适D （2令a,-测器样n=l1g四不是正整数，所以 :2.C若要使n尽可能的大，则递增幅度要尽可能小，不妨 10不是数列{an)中的项. 98 设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，共前n项 和为Sm, 41 署假作业真正的价值并不在人生的舞台上，而在我们粉演的角色中。 [每日格言] 则a.=n+2.51-3+13×11=88<10. 2 5o=20a1+20X194=-180d+190d=10d. 2 S2=3+14×12=102>10. 因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确. 2 所以n的最大值为11.故选C. 5.解析由S5=10得a3=2,因为a1十a=一3，所以a3 【易错警示】 -2d+(ag-d)2=2-2d+(2-d)2=-3→d=3,ag= fa>1, a3+6l=2+3×6=20. 4->0 解得 答案20 [示例1][解析] 由题意得 f(5)<f(6), 6解折个=1明由之-号异8S一8=2弘 [答案] (8 又由等差数列{am}的性质得S5,S16一S5,S15一S1o,S20 一Ss成等差数列， [示例2][解析]，致列(a}的前n项和Sm=n2十4(n ∈N4),∴.当n=1时，a1=S1=1十4=5：当n≥2时，am 故有S10-S5=21,S15-S10=31,S20-S15=41, =Sm-54-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.又当n 相加可得S20一S=91,所以S20=101,又S10=31, =1时，a1=5≠1， S5 15,n=1, 所以s十S。101+318 an= 2n-1,n≥2，n∈N+. 答案局 5,n=1, [答案] 7.解析(1)设该等差数列为{an,则a1=a,ag=4,as 2n-1,n≥2，n∈N =3a, 作业（二）等差数列 【基础诊断】 由已知有a十3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所 1c2B1264[兰-4) 以S,=a+724=2n+02×2=+ 2 【综合应用】 所以S4=k2+k, 1.Cag+a7=6,a2=17, 由S6=110,得k2+k一110=0， a士2d+a+6d=6·可得a5. 解得k=10或k=一11（舍去）， la1+11d=17, d=2, 故a=2,k=10. 56=16×(-5)+16X15×2=160,故选C (2)证明由(1)得Sm=n2十n=n(n十1)， 2 2.B设等差数列{am}的公差为d, 则b,-S=m十1 n 则S30=(a1十a1+…+a2s)+(a2十a5+…十a2w)+(ag +a6+…+a30)=(a3十a6+…+a30)-20d+(ag+a6 故b1-6,=(m+2)-u+D=1,又b=9=2, +…+a30）-10d+(ag十a6+…+a3o)=180-30d= 即数列{b}是首项为2，公差为1的等差数列， 120,解得d=2. 又50=30a1+30X29×2=120. 所以Tn=(2+十1)-n(n+3) 2 2 2 解得a1=-25. 8.解析(1)设等差数列的公差为d 所以an=-25十(n-1)×2=2n-27,故选B. a2=a1+d=11, 3.BCD由于Sg=S10=Sg+a10,所以a10=0,B正确.由 由题意可得 于S10<S11=S10+a1m,所以a11>0,所以d>0,A so=10a1+1094=40, 错误 a1+d=11, 即 解得 /a1=13, 由于d>0,a10=0,所以当1≤n≤9，n∈N+时，an<0, 2a1+9d=8, d=-2. 所以S8>Sg=S8十ag,D正确. 所以am=13-2(n-1)=15-2n. Sa-a1十a×18=9(ag十a10)=9u,<0.C正确.故 （2因为S,=n13+)5-2m》=14m-m2, 2 2 选BCD. 4.AC根据题意，数列{an》是等差数列，则a1十5a3=S8, 令a,=15-2≥0，解释n<号且n∈N 即a1十5a1十10d=8a1十28d,变形可得a1=一9d. 当n≤7时，则an>0,可得Tm=a1+a2十…十 又由an=a1+(n-1)d=(n-10)d, am|=a1十a2十…十am=Sm=14n-n2； 得a10=0,故A正确： 当n≥8时，则an<0,可得Tm=|a1|+|a2|+…+ 不能确定a1和d的符号，不能确定S1a最小，故B不 |am=(a1十a2+…十a7)-(ag十…十an) 正确： =S,-(S,-S,)=2S7-Sm=2(14×7-72) 又由S.=a1+nm,Dd=-9md+nm,1Dd=号× 2 2 2 (14n-n2)=n2-14n+98. (n2-19n), 得S7=S12,故C正确： 综上所述T,= 14n-n2,n≤7， m2-14n+98.n≥8. 42