作业(五) 专项培优：数列求和及综合应用-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

暑假作业读书之法，在循序面渐进，熟读而精思。 [每日格言] 作业（五） 今 月 日 星期 专项培优：数列求和及综合应用 天气 1知识整合 ②求解思路：设S,=a1b1十a2b2十…十 anbn①，则gSn=a1b十ab十…十an-1bn十 1.利用公式法求和 a,bn+1②，①-②得(1-q)S。=a1b+ 直接利用等差、等比数列的前n项和公式 d(b2十b十…十bn)一abn+1进而可利用公 求和. 式法求和。 (1)等差数列：S。= n(ata,) 2 =a1十 (2)注意解题“3关键” n(n-1)d ①要善于识别题目类型，特别是等比数列 公比为负数的情形： 1a1q=1, ②在写出“S,”与“qS,”的表达式时应特别 (2)等比数列：S,= a (1-d)aag 注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确 1-q 1一q ,9≠1. 写出“S.一qSn”的表达式； 2.利用分组转化法求和 ③在应用错位相减法求和时，若等比数列 (1)利用分组转化法求和的常见类型 的公比为参数，应分公比q=1和q≠1两 a。=bn土cn,且{b.},{c.} 种情况求解. 求{a.} 为等差或等比数列 4.裂项相消法求和 的前n bnn为奇数， 组求和 (1)利用裂项相消法求和的基本步骤 项和 cn,n为偶数， 观察数列的通项，将通项拆成两项 其中{b.},{c,〉为等差或 裂项 之差的形式 等比数列 累加→将数列裂项后的各项相加 (2)数列求和应从通项入手，若无通项，则 将中间可以消去的项相互抵消，将 先求通项，然后通过对通项变形，将其分解 消项→剩余的有限项相加，得到数列的前n 为一些等差数列或等比数列或可直接求和 项和 的数列，再分组求和.如：an=bn十cn十…十 (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就 k.则之a=2b,+之c+…+h. 裂几项，直到发现被消去项的规律为止， 表=1 表=1 k=1 [提醒]在含有参数的数列中求和时要对参数进 (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就 行讨论。 剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第 3.错位相减法求和 几项 (1)用错位相减法求和的策略和技巧 [提醒]利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂 ①适用的数列类型：{a,bn},其中数列{an》 项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消 是公差为d的等差数列，{bn}是公比为 去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去 q(q≠1)的等比数列： 的项 14 [每日格]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 高二数学（配RJB版） (4)常见数列的裂项方法 3综合应用 数列(n为正整数) 裂项方法 1.(多选)已知数列{an}满足a1=1,aa+2= 1 An(n+k (日) (-1)+1·(an一n)十n,记{an}的前n项 (k为非零常数) 和为Sm,则 A.a48十a5o=100 1 B.a50-a46=4 4n2- C.Sg=600 D.S49=601 2.已知函数f(x)=2+1 2 m+m十k (x∈R),等差数列 +√n+ 太(va+-同 {an}满足a2o22=0,则f(a,)+f(a2)十 2别 f(a3)+…+f(a4o3)= ( 2 (2"-1)(2+1-1) (2-1)(2+1-1) A.4043 B.4043 1 1 2 24-12+1-1 C.0 D.4086 1og(1+)月 oe（1+)= : 3.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1, log.(n+1)-log (a>0,a≠1) 十S=n(n+2),则S, 5.并项法求和 A.1013 1012 B2023 2024 一个数列的前项和中，可两两结合求和， 称为并项法求和，形如：（一1）”f(n)类型， c28 B89 可考虑利用并项法求和。 4.(2024·常州期末)高斯是德国著名的数学 2基础诊断 家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子” n2,n为奇数， 的称号.用他的名字命名的高斯函数为 1.已知函数f(n)= 且an= 一n2,7n为偶数， f(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大 f(n)+f(n+1),则a1+ag十a3+…十a1o0 整数，已知数列{an〉满足a1=2,a2=6, ) au+2十5am=6an+1,若bn=[log a+1],S A.0 B.100 为数列 1000 bb+1 的前n项和，则[S23]= C.-100 D.10200 1 2.在数列{a,}中，a,=nm十若{a,}的前n A.999 B.749 项和为号8则项数 C.499 D.249 3.已知数列{an}的通项公式为a,=(一1)”· 5.设数列{an}的通项公式为an=sinn°，该数 (2n-2),则数列{an}的前n项和S。= 列的前n项和为Sn,则Ss= 6.(2024·南京检测)在等比数列{an}中，a2 4.求和：Tn=1×1+2×2+3×22+…+n· =2,a6=16,则2a2十3a3十4a,+…+10a1o 21= 15 署假作业数奋学习，善于思考，不断总结是成功的法宝。 [每日格言] 7.(2024·盐城一模)已知数列{a}满足a1=3, 2.(2022·新高考全国I卷)记S,为数列 aw+1=3un-4n,n∈N {a.}的前n项和，已知a,=1,{三是公差 (1)判断数列{an一2n一1}是否是等比数 列，并求{a.}的通项公式； 为的等差数列。 (2)若b,=(②n二1)2，求数列{6.}的前n (1)求{an}的通项公式； aan+l 项和S. (2)证明：1+1+…+1<2 aa? 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 5易错警示 a>0S=a,+1.数列么)满足4=1， 易错一忽略分类讨论而致错 [示例1](2024·开封模拟)在数列{am》 bam+ 中a1=1,a+2十（-1)"an=2(n∈N+).记 (1)求数列{an},{b.}的通项公式： S。是数列{am}的前n项和，则So= (2设工，=名+公十+安求证，对一切 [名师叮嘱]若数列的递推公式中含有（一1）"， n∈N+,1≤Tn<6. 则数列的奇数项、偶数项的符号不同，此时求数列 的通项公式或前n项和时，要分别求奇数项、偶数 项的通项公式或前n项和， 易错二没有掌握求和方法的关键而致错 [示例2]已知数列{an}中，a,=2,且对任 意n∈N,都有an+1=2a,-L. (1)求数列{an}的通项公式； 4真题体验 (2)若bn=2n·(an一1)，求数列{bn}的前n 1.(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前 项和S n项和，已知a2=1,2Sn=nam (1)求{am}的通项公式； (2)求数列 2的前n项和工 [名师叮嘱]利用错位相减法求和谨防“两失误” (1)两式相减时最后一项忘记变号. (2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的 (n一1)项和当作n项和. 16署假作业 坚韧是成功的一大要素,只要在门上敲得够久够大声,终会把人唤醒的。 [每日格言] 【易错警示】 [示例] [解析](1)由题意知,当1二n10时,数列 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨 (a是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得a.= (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为b。(nN). 45.5+0.5×(n-1)-0.5n+45,则ao-50; 则 =1×1.8.b=1×(1+10%)×1.8. 当11 n20时,数列a.是公比为0.99的等比数列 b=1×(1+10%)2x1.8.... 则a-50×0.99r-10. 其构成首项b=1.8,公比o-1.1的等比数列 故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a(单位:万人) 记其前n项和为T。. (0.5n+45,1<<10. 的表达式为a一 由题意,有T.-1.8X(1-1.1") =18×(1.1-1)> 150×0.99--10.11n20. 1-1.1 (2)设S.为数列a.的前n项和. 55,解得n二15. 所以林木至少生长15年,其吸收的二氧化碳的量超过 从2021年到2040年共20年,由等差数列及等比数列 轿车10年排出的二氧化碳的量. 的求和公式得S2o-So+(au+at2+..+a20)-477.5 【真题体验】 +4950×(1-0.9910)~972.5. 1.D 如图,连接OA,延长AA;与x轴交于点A。,则OA 所以“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值 -4OD.因为h,h,k:成公差为0.1的等差数列,所以 --0.2.--0.1,所以CC.-DC.(-0.2). BB =CB (-0.1).AA-BA.即CC =OD (k 故到2040年结束后不需要调整政策 -0.2),BB.=OD(k-0. 1),AA-hOD.OD 作业(五)专项培优:数列求和及综合应用 DD. 【基础诊断】 0.5.所以DD.=0.5OD,所以AA。=0.5OD.+OD 1.B 2.2024 3. 11-n,n为奇数, ln.n为偶数 4.1+(n-1)·2“ (-0.2)+OD.(k-0.1)+hOD.=OD.(3+ OD.(3k。+0.2) A/A_ 【综合应用】 0.2),所以tanAOAz= OA2 40D. 1.BCD 因为a-1,a+2-(-1)“+1(a-n)十n,所以当 0.725,解得k。-0.9,故选D n为奇数时,an+2-a。-aì-1:当n为偶数时,an十an+2 -2n.所以as+aso-96,A错误;又a+a4s-92,所以 aso-a4=4,B正确;Sa-a+a+as+..+a7+[(a2 +a)+(a+a)+..+(a+as)]-24×1+2x(2十 2 -Ss+a。-600+1-601,D正确.故选BCD. 2.解析 dmx12 dm. 2 -27 2r 2.Af(x)十f(-c)= 1 2+1 2+12+1 2+1 -1. dm,共5种; 依题意,{a。)是等差数列,所以a1十a4o43-a2十a4o42- 由题意可得S.-2X120,S-360,S-4×30,S-5 ..=2az o2=0.令S-f(a)十f(a2)十f(as)十.十 ×15..,s.120(n+1) f(a). 2~1 则S-f(a:o)十f(atoa2)+f(atou)十..十f(a). 设$-120×2120×3120×4.1200+1). 2 22 结合等差数列的性质,两式相加得2S一1×4043,则5 。0 2一) -4043 2”. 2 2~- 2 2n 两#作差得-240120(+.) 3.A 当n-1时,S+S-2a+a=3. .a.-1.a-1. 当n2时,由S.+S1=n(n十2)可得S-1+S(n 120(n+1)-240+- 60(1_) 120(n+1) 1.(n十). 1-} 2 2 两式相减得a。十a-2n十1, 整理得a,-(n+1)--(a.-n)(n2). 120120(n+1)-360-120(n+3). -360- 'a-2--1,.,数列a-n)从第2项起是以-1为首 2-1 2“ 2“ 因此,S-720-240(n+3)-720- 项,一1为公比的等比数列, 15(n+3) 2 2~。. 'a-n十(-1)“-1(n二2),又a-1不满足上式 (1,-1, 答案5 720-15(n+3) .二 2~4 n十(-1)n-1,n2. 46 [每日格言]凡事要三思,但比三思更重要的是三思而行。 高二数学(配BJB版) 'S 23=a+a:+a+.+a2o23=1+(2-1)+(3十 (2n-1).2” 210 (2)由(1)可得b-(21)(2+3)2n+3 2n+1' 2{ 1)+..+(2023+1)-1+2+3+..+2023 2023X(1+2023)-2023×1012, (#2)(#一)+() 则S-b+b+.+b-1+b. 2 *S o24-S o2s+a2 024-2023x1012+(2024-1)= 2023×1013. 0000选 A 8.解析 (1)因为S.-1(ax+1)2,所以当n-1时,aì= 4.A 由题意可得a+2-a+1-5(a+1-a), S二 1(a+1)?,所以(a-1){②-0,所以a-1; 又a2-a-4,所以数列(an1-a)是首项为4,公比为 当2时,a.-s-s-,-十(a+1)-(an-1+ 5的等比数列. 故a1-a.-4·5“-1. 1)2. 所以a+1=a十(a-a)十(a-a)十.十(a+1- 所以a}-a-,-2a-2a-1-0,所以(a+a-1)(a- a)-2+4×50+4×51+.+4×5*-1-2+4(1-5°) aì-2)-0,因为a>0,所以a.+a-,→0,所以a- 1-5 aì-2(n一2).所以数列(a)是首项为1,公差为2的 -5”十1, 等差数列,所以a.=1+2(n-1)-2n-1.由-1 则b-loga 1]-[log(5+1)]=n. 00001000) b。 。 a1 是首项为1,公比为2的等比数列,所以ab.-2”-1,b。 2-1 100(10 02009:100 2n-1: -2024 所以[S]-999.故选A. (2)证明 b' 5.解析 因为sin(9o*-a)=cosa,所以sin^{}a十sin②(90*- )-sin}a+cos}a-1. 因为S-sin②}1+sin②2*+.. #1-,② sin?89{,又Sso-sin?89”十sin?88{+..+sin②1^*,两式相 2” 加得2Ss。=(sin?1*十sin?89{)十(sin22*十sin288*)+.. -#②,-1-(+)-1 89 {1{) 十(sin{89{+sin^{}1^*})=1x89=89,因此,Sso= 2* 2 -44.5. -1+2x- 答案 44.5 1-# 2” 6.解析设等比数列a.的公比为q, 22-1-3-2n+3. a1-2 -1十2一 2-1- /a-1. 2 解得{ 2-) 由题可得 a-16.” -2, 所以T.-6-2n+3 则a.-2”-. 2~0 所以T$1-T.-6-2+5-6+2n+3 令2a+3a3+4a.+..+10a 0-2x2l+3×22+4×23 2{ 2-1 +...+10×2-n,① 4n+6-2n-52n+1 2 ①$2,得2×22+3×2+..+9×2+10×2l0-2m,② 2 ①-②,得2×21+(22+23+..-+2)-10×210--m. 所以nN .T+.-T0. 则-m-2×2122×(1-28) -10×210--9×210- 即数列(T)是递增数列, 1-2 所以T<T<6,故1<T<6. -9216. 【真题体验】 1.解析 所以m-9216. (1)因为2S.-na。. 答案 9216 当n-1时,2a=a,即a-0; (1)因为a-3,所以a-2x1-1-0. 7.解析 当n-3时,2(1+a)-3a,即a-2, 因为等比数列中的各项都不可能为0,所以数列(a.-2n 当n2时,2S-1-(n-1)a-1. 所以2(S.-S-1)-na.-(n-1)a-1-2a' 一1不是等比数列. 化简得(n-2)a.-(n-1)a-1. 由+1=3a -4n,得a1-2(n+1)-1-3(a -2n 当3时,-1 1#2 _._1, 1). 因为a-2x1-1=0,所以a-2n-1-0. 即a-”-1, 从而a.-2n+1. 当n-1,2,3时都满足上式,所以a-n-1. 47 署假作业 如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵。 [每日格言] 两式相减得-S.-2+2+23+...+2“-n·2“+1= 3x()#}nx() 所以S-(in-1)·2n+1+2. ##-1#(){}+2×()+(n-1)×()" 作业(六)导数的定义、几何意义及其运算 (). 【基础诊断】 1.ABD 2.ABD 3.1 4.5r-y+2-0 两式相减,得 【综合应用】 #T.-()+(){}+(){③}+.+()-nx 1.ACD (4)_###} (e5-4)-5e5r-1,B错误; .-x()1 (2-)'-1 2-1 1- 2x-T 正确; -1-(1+)()”,即T。-2-(2+n)()“. [cos(2+)]'--2sin(2r+),D正确,故选ACD. 2.解析(1)S-a:-1,所以-1. 2.BC 若直线y-2x十b为f(x)图象的切线,则f(x) 2有解. 对于A.r'(c)--<0./'(c)不可能等于2,不符合 。 题意; a{ 3 对于B,/(c)-4x3,令/()-4r-2,解得x= 3 所以(u-1),-(n+1)n1,即___”1(n>2); 符合题意: 1n-1 对于C,/'(x)=e,令e-2,解得x=ln2,符合题意; 累积法可得a”(n十1)(n→2),又a-1满足该式, 对于D./(x)=cosx[-1,1],故f(x)不可能等于 2 2.不符合题意,故选BC 所以({a。)的通项公式为a.n(n+1) 3.D P()-- 30 60 2 -32ln2,解得P。-18,则P(t)-18·2-*,令P(t) (2)证明 2= n(n十1) 10 #() aa2 30 2(1) 一2,解得(-60.故选D. 2(1-)2. 4.D对于A,f(x)=1,令f(x)=f(x),则x=1,故 f(x)一:有“巧值点”; 【易错警示】 对于B,/(x)=e*,令f(x)一f'(x),则xER,故f(x) 一e有“巧值点”: [示例1] [解析] 当n为奇数时,a 2一a.一2,所以数 对于C.f(x)=-sinx,令cosx=-sinx. 列a的奇数项是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以a+a.-+a=10x1+10x2-100; 则sinx+cosx=0,即v2sin(x+)-0, 2 当n为偶数时,a+2十a.-2, 所以a+a十.十a2o=(a②+a)十(a+as)十...十 故函数f(x)一cosx有“巧值点”; (as+a2o)-2×5-10. 对于D.f(x)的定义域为(xlx>o),则/”()--1 因此S-100+10-110. 2 [答案]110 [示例2] [解析](1)由a,-2a。-1,得a,-1= 2(a-1). 没有“巧值点”,故选D. 又a一1-1,所以数列a.-1是以1为首项,2为公比 5.解析 易得T'(t)--120 2,得T(10)-- 的等比数列, 所以a.-1-1x2-1-2”-1,所以a.-2-1+1. '当1一10min时,惭蝎体温的瞬时变化率为 (2)由(1)得b.-2n·2-1-n·2”. 所以S.-1×2+2×2+3×2+...+n×2”. 2$.-1x2+2×23+.+(n-1)×2+n×2+1. 48