作业(四) 数列在日常经济生活中的应用-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

署假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对待别人。 [每日格言] 作业（四》 今 月 星期 数列在日常经济生活中的应用 天气 1知识整合 2基础诊断 1.构建数列模型解决实际问题的基本步骤 1.某地政府积极行动，计划实现本地区的荒 数列在现实生活中有着广泛的应用，所以 漠化土地面积每年平均比上年减少10%. 构建数列模型解决实际问题在实际应用中 已知2019年该地区原有荒漠化土地面积 占有一定的地位.其解题的基本步骤： 为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠 (1)认真审题，将实际问题转化为数列模型 化土地面积（单位：万平方公里）为( (2)挖掘题目的条件，分析该数列是等差数 A.7×0.9 B.7×0.9 列，还是等比数列，分清所求的是项的问 C.7×0.9 D.7×0.9 题，还是和的问题.如果数列既不是等差数 2.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五 列，也不是等比数列，则分析可否构建数列 尺，斩本一尺，重四斤：斩末一尺，重二斤， 的递推关系，然后利用数列的有关知识进 问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根 行解答，得出结果 金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重 (3)检验结果，写出答案， 4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各 2.分期还款与数列 尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺质 (1)等额本金还款法：将本金平均分配到每 量依次成等比数列，则从粗端开始的第三 一期进行偿还，每一期所还款金额由两部 尺的质量是 ( 分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除 A.22斤 B.22斤 以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金 C.22斤 D.3斤 与已还本金总额的差乘以利率.这种方式 3.2023年度，国内某电信企业甲投人科研经 中，每期还款金额= 贷款本金十（贷款本金 还款期数 费115亿美元，国外一家电信企业乙投入 一已还本金总额)×利率.如果向银行贷款 科研经费156亿美元.从2023年开始，若 本金A。元，打算分成m期偿还，并且每一 企业甲的科研经费每年增加x%,计划用 期的利率为r(>0),记每期还款的钱数构 3年时间超过企业乙的年投入量（假设企 成的数列为a1,a2,,am,则第n期所要还 业乙每年的科研经费投入量不变).请写出 的钱数a=+[A合-)】 一个不等式来表达题目中所描述的数量关 m Xr 系 (2)“等额本息还款法”是将本金和利息平 (所列的不等式无需化简) 均分配到每一期进行偿还，因此每一期所 4.假设一个人的日薪按这样的方式增长：第 还钱数相等，即a1=a2=…=am 一天发3元，第二天发6元，第三天发 设每期还款x元，则x[(1十r)m1十(1十 12元，…从第二天起每天发的工资是前 r)m-2+…+(1十r)+1]=A。(1+r)m,则 一天的2倍，则连续十四天后此人日薪总 Aor(1+r)" 和 (填“大于”“等于”或“小于”) (1+r)m-1 4.8万元. 10 [每日格片]成功与不成功之间有时距离很短一只要后者再向前儿步。 高二数学（配RJB版） 3综合应用 且下层比中层多729块，则三层共有扇面 形石板（不含天心石） 1.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙 A.3699块 B.3474块 子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧 C.3402块 D.3339块 洲.1874年，英国数学家马西森指出此法 4.(2024·平顶山模拟)在中国古代，人们用 符合1801年由高斯得到的关于问余式解 圭表测量日影长度来确定节气，一年之中 法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩 日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起， 余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于 依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰 整除的问题，现有这样一个整除问题：将1 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二 到2021这2021个数中，能被2除余1， 个节气，其日影长依次成等差数列，若冬 且被5除余1的数按从小到大的顺序排成 至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小 一列，构成数列{an},则a2o= 寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大 A.181 B.191 寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 C.201 D.211 5.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给 2.(2024·红桥期末)“十二平均律”是通用的 他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、 音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算 晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每 出半音比例，为这个理论的发展做出了重要 片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时 贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十 从体内大约排出这种药在其体内残留量的 二份，依次得到十三个单音，从第二个单音 50%,并且医生认为这种药在体内的残留 起，每一个单音的频率与它的前一个单音的 量不超过400毫克时无明显副作用.若该 频率的比都等于2.若第一个单音的频率为 患者第一天上午8点第一次服药，则第二 f,则第六个单音的频率为 天上午8点服完药时，药在其体内的残留 A.2 B2f 量是 毫克，若该患者坚持长期服 C.2f D.2f 用此药，则 (填“有”或“无”)明显 3.北京天坛的圜丘坛为古 副作用 代祭天的场所，分上、 6.新能源汽车技术的发展有着诸多的作用， 中、下三层.上层中心有 它不仅能够帮助国家减少对石油的依赖， 一块圆形石板（称为天 还能够减轻对环境的污染.为了加强环保 心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成 建设，提高社会效益和经济效益，某市计划 第一环，向外每环依次增加9块.下一层的 用若干年时间更换一万辆燃油型公交车， 第一环比上一层的最后一环多9块，向外 每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，新车为 每环依次也增加9块.已知每层环数相同， 电力型和混合动力型公交车.今年年初投 11 署假作业生命是一条艰险的峡谷，只有勇敢的人才能通过。 [每日格言] 入了电力型公交车128辆，混合动力型公 :7.张先生2021年年底购买了一辆1.61排 交车400辆，计划以后电力型公交车每年 量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳 的投入量比上一年增加50%，混合动力型 汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并 公交车每年比上一年多投入a(a∈ 将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的 N)辆 同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买 了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明： (1)求经过n年，该市被更换的公交车总辆 轿车每行驶3000km就要排放1吨二氧化 数S(n)(不必写出n的取值范围)； 碳，林木每生长1m3,平均可吸收1.8吨二 (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 氧化碳， 的最小值 (1)张先生第一年（即2022年）用车 12000km,以后逐年会增加1000km,则 该轿车使用10年共要排放二氧化碳多 少吨？ (2)若种植的林木第一年（即2022年）生长 了1m3,以后每年以10%的生长速度递 增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化 碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的 量？（参考数据：1.14≈3.7975,1.15≈ 4.1772,1.16≈4.5950) 12 [每日格言】成功呈概率分布，关健是你能不能坚持到成功开始呈现的那一刻。 高二数学（配RJB版） 4真题体验 5易错警示 1.(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑 易错点不会构建数列模型而致错 中的举架结构，AA',BB',CC,DD是桁， 工示例门实施“二孩”政策后，专家估计某 相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为 地区人口总数将发生如下变化：从2021年 举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图， 开始到2030年，每年人口总数比上一年增 其中DD,CC,BB1,AA1是举，OD1, 加0.5万人，从2031年开始到2040年，每 DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举 年人口总数为上一年的99%.已知该地区 步之比分别为OD DD CC =0.5,DC =k1· 2020年人口总数为45万. (1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总 BB=k2B CB AA=k,已知kkk成公差 数a,(单位：万人)的表达式（记2021年为 第一年)； 为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为 (2)若“二孩”政策实施后，2021年到2040年 0.725,则k3= 人口平均值超过49万，则需调整政策，否则 继续实施，问到2040年结束后是否需要调整 政策？（参考数据：0.99“≈0.9) 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 2.(2021·新高考全国I卷)某校学生在研究 民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸 的某条对称轴把纸对折，规格为20dm× 12dm的长方形纸，对折1次共可以得到 10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的 图形，它们的面积之和S=240dm,对折 [名师叮嘱]本题数列{a,}是分段数列，其中第 2次共可以得到5dm×12dm,10dm 一 段是等差数列，第二段是等比数列.容易出错.有 6dm,20dm×3dm三种规格的图形，它们的 关数列的应用问题，是为了让学生能够在实际情境 中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表 面积之和S,=180dm,以此类推，则对折4次 达数列问题，用数学的知识构建数列模型，用数列 共可以得到不同规格图形的种数为 的方法得出结论，并验证数学结论与实际问题是否 如果对折n次，那么之S= dm'. 相符合，最终得到符合实际规律的结果 13[每日格首】成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 高二数学（配RJB版） 即8·(1一g5)=7·(1-),即8·(1十g3)(1一)=：4.解析设从冬至日起，小寒，大寒、立春，雨水，惊整、春 7·(1-g3).即8·(1+g3)=7, 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长 解得9=一2 1 依次成等羞数列{anm},如冬至日的日影长为a1尺，设公 差为d尺. 故答案为一 由题可知，a1十a4十a1=31.5→3a4=31.5→a1=10.5, a2十a5十a8=28.5-→3as=28.5→a5=9.5, 答案- d=a5-a4=9.5-10.5=-1, 【易错警示】 43+a6+ag=3a8=3(as十d)=3×(9.5-1)=3×8.5 [示例1][解析]由题意知aag=3,所以a后=a4ag= =25.5, 即大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺 3,解得a6=士3，又a4十a8=4,所以a1>0,ag>0,当 答案25.5尺 a6=一√3时，a话=a4a6<0,所以舍去负值，得a6=3,故 5.解析设该患者第n次服药后，药在他体内的残留量为 选C an毫克， [答案]C 由题意可得：a1=200,a2=200十a1×(1-50%)=200 [示例2][解析]设等比数列{S,十1}的公比为1，则1 ×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%)=200+200× ≠0. 1.5×0.5=350, 若q=1,则Sn十1=a1十1，由题意可得S+1十1=t(Sn十 故第二天早间他第三次服药后，药在他体内的残留量为 10. 350毫克： 即(n+1)a1+1=tma1+t, 该惠者若长期服用此药，则此药在体内残留量为 所以 n十1='不合题意： 200×1-0.52=400(1-0.5”)… 1-0.5 (t=1, 若g≠1，则S。=11-2-a1-a1g 0.5">0,则400(1-0.5")<400， 1-g 1-q ∴长期服用此药，不会产生副作用， 则Sn+1=a1十1-9)-a1g 即该患者长期服用该药，不会产生副作用. 1-g 答案350无 由题意可得Sm+1+1=t(Sn十1)， 6.解析(1)设an,bn分别为第n年授入的电力型公交 即a+1-g）-a1g·9_(a+1-g)-a1g 车，混合动力型公交车的辆数， 1-9 1-9 依题意，数列口，是首项为128，公比为1十50%=号的 |a1+1-q=1(a1+1-q), 所以 等比数列，{bn}是首项为400，公差为4的等差数列， a1q=1a1· 可得/9-41=1 故选B. 128×1-(受)门 故数列{an}的前n项和 =256× (1=q. 1- [答案]B 作业（四）数列在日常经济生活中的应用 [(受）广-小.，的前n项和为40m+2Da,所 2 【基础诊断】 以经过n年，该市被更换的公交车总辆数S(n)=256 1.C2.A3.115(1+x%)3>1564.大于 【综合应用】 [(2）广-1]+400m+na2D。 2 -a. 1.B由题意可知4。一1既是2的倍数，也是5的倍数，即 (2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000，即 am-1是10的倍数，则am一1=10(n-1)(n∈N+),故 a20=10×(20-1)+1=191. 256[()'-]+400x7+7a≥10o0o. 2.B由题意得，十三个单膏的频率构成首项为了，公比为 2的等比数列，设该等比数列为{am},则第六个单音的 即21a≥3082，解得0≥146品 又a∈N+,所以a的最小值为147. 频率为a6=f·(2)5=√2丽f.故选B. 7.解析(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为am 3.C设每一层有n环，由题可知从内到外每环的扇面形 (n∈N+), 石板数之间构成等益数列{an},且公差d=9,首项a1= 9,由等差数列的性质可知Sm,S2m一Su,S3m一S2n成等差 则a1=12000 3000 4.2=13000=13。 3000 a-4000 3000 数列.且(S3n-S2n）-(S2m-Sn)=n2d,由题意得9n2= 14 729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3m=S22= 3…, 27×9+27X26×9=3402(块. 2 里然其构成首项为@1=4，公差为d=a:一a1=子的等 45 署假作业坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。 [每日格言] 差数到，所以50=10X4+10X9×号=5， 【易错警示】 [示例][解析](1)由题意知，当1≤n≤10时，数列 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. {am}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为b,(n∈N一)， 45.5+0.5×(m-1)=0.5n十45，则a0=50: 则b1=1×1.8,b2=1×(1+10%)×1.8, 当11≤n≤20时，数列{a,}是公比为0.99的等比数列， b3=1×(1+10%)2×1.8,…, 则an=50×0.99-10. 其构成首项b1=1.8,公比g=1.1的等比数列， 故实施“二孩”政策后第n年的人口总数a,（单位：万人) 记其前n项和为T。, 0.5n+45,1≤n≤10， 由题意，有T.=.8X-L.1)=18×（1.1-1)> 的表达式为am= l50×0.99"-10,11≤n≤20. 1-1.1 55,解得n≥15. (2)设Sn为数列{an}的前n项和， 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过 从2021年到2040年共20年，由等差数列及等比数列 轿车10年排出的二氧化碳的量， 的求和公式得S20=S1o十(a11十a12+…+a20)=477.5 【真题体验】 +4950×(1-0.9910)≈972.5. 1.D如图，连接OA,延长AA1与x轴交于点A2,则OA2 所以“二孩”政策实施后，2021年到2040年人口平均值 =4OD1.国为k1,k2k3成公差为0.1的等差数列，所以 为器48.63，则<40， 20 k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,所以CC1=DC1(k3-0.2), 故到2040年结束后不需要调整政策。 BB1=CB(k3-0.1),AA1=k3BA1,E CC1=OD (k3 作业（五）专项培优：数列求和及综合应用 0.2),BB1=0D1(k3-0.1),AA1=kOD1又0D 【基础诊断】 0.5,所以DD1=0.5OD1,所以AA2=0.5OD1+OD1 1一n,n为奇数， 1.B2.2024 3. 4.1+(n-1)·2” (k3-0.2)+OD1(kg-0.1)+k3OD1=OD1(3kg+ n,n为偶数 1Q2),所以an∠A0A2=AA=0D13t0.2 【综合应用】 40D 1.BCD因为a1=1,am+2=(-1)m+1(an-n)十n,所以当 0.725,解得k3=0.9,故选D. n为奇数时，am+2=an=a1=1:当n为偶数时，am十a+2 =21.所以a18十a50=96,A错误；又a6十a18=92,所以 a50-a46=4,B正确：S48=a1十ag十a5十…十a47十[(a2 A +a4)+(a6+ag)+…+(a46十a48)]=24×1+2×(2+ D 6+…十46)=24+2×2+46)X12=600,C亚确：519 =S48十a49=600+1=601,D正确.故选BCD. 2解析对折4次可得到如下规格：号d血×12dm, dmx6dm,5dnX3dn,l10dm×号dm,20dn×￥ 5 2A0+-0=十十2 =1. dnm,共5种： 依题意，{an}是等差数列，所以a1十a4o43=a2十a4o12= 由题意可得S1=2×120,S2=3×60,S3=4×30,S1=5 …=2a222=0.令S=f(a1）+f(a2)+f(a3)+…+ ×15,…,S。=120(m+1D f(a4o43), 21 则S=f(a4o4s)+f(a4o42)+f(a4o4)+…+f八a1), 设S=120X2+120X3+120×4+.+120(m+D 22 结合等差数列的性质，两式相加得2S=1×4043,则S 20 21 2m-1 则2s-120X2+120X3+…+120m+120+D =4043 2 22 2 3.A当n=1时，S1+S2=2a1十a2=3, 两式作得2s=240+120(号++…+ a1=1,.a2=1 0) 当n≥2时，由Sm十Sm+1=n(n+2)可得S-1十Sm(n 120(n+1)=240+ 120(n十1) 1)·(n+1), 2 1 2m 两式相减得an十aw+1=2n+1, 整理得ar+1-(n十1)=-(am-n)(n≥2)， =360-120-120(m+D-360-120(n+3) 2w :a2一2=-1，.数列{am-n}从第2项起是以-1为首 项，一1为公比的等比数列， 因光.S=720-240(n+3)=720-15(m+3) 2n4 .an=n+(-1)-1(n≥2)，又a1=1不满足上式， 答案5720-15(m+3) 1,n=1, 2n4 .dn= n+(-1)"-1,n≥2， 46