作业(十二) 等式与不等式-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格言]征服畏惧,建立自信的最快、最切实的方法,就是去做你害怕的事,直到你获得成功的经验。高二数学(配BJB版) 口和回 #(-二# 月口 星期 等式与不等式 天气 1知整合 (3)分析法 分析法的实质是不断寻找结论成立的充分 1.等式的性质 条件,其重要的推理形式是“要证),只需 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子). 证明q”,可以表示为一q,其中,是需要 结果仍相等,用公式表示:如果a一,那么 证明的结论 a士c一b士c;这里的a,,c可以是具体的 4.三个“二次”间的关系 一个数,也可以是一个代数式 判别式 0 -0 (2)等式两边乘同一个数,或除以同一个不 △0 △--4ac ### 为0的数,结果仍相等,用公式表示;如果 二次函数 _a*十br十 ,CC (a>0的图象 2.不等式的性质 一元二次方程 {有两相等实数 有两相异实数 (1)对称性:a>b→a a*+h十c-o根xt,v:(r< 根x二x= 没有实数根 ) (ao)的根 (2)传递性:a>b,6>c→a>c. (3)可加性:a>b→a十c>b十c;a>b. ar*+r十c>o(rIz>x。或 2 B c>d→a+c>b+d. (a>o)的解集 _r (4)可乘性;a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ ar”+br十<o(r|<< ac>bc;a>b>0,c>d>0→ac>bd (a>0)的解集 ; r_) (5)可乘方性,a>>0→a”>(nN,n>2) [提醒] 对于不等式ax十x十c>0,求解时不要 (6)可开方性:a>>0→ā>(nN. 忘记a一0时的情形. n二2). 5.分式不等式的解法 [提醒] 不等式性质中有些是可逆的,有些是不可 g(x) 逆的。 形如f(x)g(x)>0(<0)的整式不等式. 3.证明的基本方法 再借助一元二次不等式的解法来解 (1)反证法 6.均值不等式(也称为基本不等式) 反证法是一种间接证明的方法,其实质是: (1)结论 首先假设结论的否定成立,然后由此推理 得到矛盾,最后得出假设不成立 2 (2)综合法 仅当a一b时,等号成立 综合法的实质就是不断寻找必然成立的结 (2)几何意义 论,其重要的推理形式为→q,其中)为 所有周长一定的矩形中,正方形的面积 已知或者已经得出的结论 最大. 35 署假作业 积极思考造成积极人生,消极思考造成消极人生。 [每日格言] 7.均值不等式与最值 3知能提升 已知x>0,v>0,则 (1)若x十y三s(和为定值),则当x三y时, 考点一 不等关系与不等式性质 1.(2024·福州模拟)“0<a<6”是“a-1< (2)若xy三(积为定值),则当x三y时, #1# ( ) 和x十y取得最小值2. [提醒] 利用均值不等式求最值要注意:(1)满足 A.充分不必要条件 “一正,二定,三相等”,忽略某个条件,就会出错, B.必要不充分条件 (2)一定要尽量避免多次使用均值不等式,若必须 C.充要条件 多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致 D.既不充分也不必要条件 (等号同时成立). 2.(多选)(2024·济南模拟)下列结论正确的 2基础诊断 有 ( ) 1.(教材改编)若不等式ax^②}+bx十2>0的解 A.若lna^{}>ln^{,则2*>2* 集为( -<),则-一的值是 ( C.若b>a>e(e为自然对数的底数), A.-10 B.-14 C.10 D.14 则a'<b* 2.实数x,v满足x>v,则下列不等式成立的 是 ) ( D.若o<2a<b<3-a^{},则sina<sin B.2-*<2-y 3.(2024·湖州高三月考)已知a,,c(0,十) C.lg(x-y)>0 D.>2 3.(多选)下列四个函数中,最小值为2的是 ( 序是 ) 考点二均值不等式 B.+ 1.若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则 a十的最小值为 ( ) B.6 C.4 A.8 C.y2}21。 D.2 2+2 2.已知x>0,y>0,x十2y=1,则 +1 (x十1)(y十1) 的最小值为 __ 4.若把总长为20m的篱爸围成一个矩形场 A.4+4③ m^{ B.12 地,则矩形场地的最大面积是 C.8十4③ m. 此时矩形场地的长、宽分别是 D.16 36 [每日格言]最重要的就是不要去看远方模糊的,而要做手边清楚的事。 高二数学(配BJB版) 3.已知函数f(x)一e的图象在点(0,f(0)) 4真题体验 处的切线为/,动点(a,)在直线/上,则 1.(多选)(2022·新高考全国II卷)若x,y ( 2*十2*的最小值是 ) 满足x②十-xy-1,则 ( ) A.4 B.2 A.x十y1 B.x十y二-2 C.22 D.2 C.2十<2 D.2+2>1 4.若a>0,b>0,则 2.(2020·天津卷)已知a>0,>0,且v=1 考点三 二次函数与一元二次不等式 5易错警示 1.设f(x)=x*}+bx 十1,且f(-1)=f(3), 易错一 忽略对二次项系数的讨论而致误 则f(x)>0的解集是 ( [示例1] 若不等式mx*-4mx十3,0对 A.(-o,-1)U(3,+) 任意实数2均成立,则实数 的取值 B.R 范围是 __. C.xx关1 [名师叮嘱]在中学阶段,“判别式”是与“二次” D. x:-1 联系在一起的,对于一元一次不等式不能应用判别 2.在B上定义运算⊙:x⊙v三x(2一v),若不 式法来判断,在处理形如ax^{}十bx十c的问题时,要 等式(x十n)⊙x<1对一切实数x恒成 注意对r}系数的讨论, 立,则实数的取值范围是 易错二 多次应用均值不等式而致误 3.设关于x的二次不等式ax十8(a十1)x十 [示例2 已知a>0,6>0,a十b-1,则 2a十3>0(aEZ),只有有限个整数解,且0 ()#2}#(#+)# 的最小值为 是其中一个解,则a的取值是 .不 [名师叮嘱 本题常犯错误是两次利用均值不 等式的全部整数解的和为 等式,误认为条件不能同时成立,利用均值不等式 4.已知函数f(x)=x2十ax十b(a,bER)的 求最值时,无论怎样变形,均需满足“一正、二定、三 值域为[0,十),若关于x的不等式f(x) 相等”的条件,解题时,应尽量避免多次应用均值不 <c的解集为(m,m十6),则实数c的值为 等式,如连续应用了均值不等式,应特别注意检查 等号是否能同时成立. 37署假作业合理安排时间，就等于节约时间。 [每日格言] 3.ABCA错误，由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,: 所以“x=一1”是“x2一5.x-6=0”的充分不必要条件， 作业（十二）等式与不等式 B错误，由A∩B=A,得A二B,所以p是q的必要不充 【基础诊断】 分条件. 1.A2.B3.BD4.255,5 C错误，因为点Pn(n,an)在直线y=2.x十1上，所以am 【知能提升】 =2n+1(n∈N+),则aw+1一am=2(n+1)+1-(21十1) 考点一 =2.又由n的任意性可知数列{am}是公差为2的等差 数列，即p→4. 1.Aa-<h-名sa-(1+b)0, a 反之则不成立，如：令an=n,则(am}为等差数列，但点 (n,m)不在直线y=2x十1上，从而g产p.所以p是g的 显然当>a>0时a-}<-方 充分不必要条件. D正确，因为ln(x十1)<0曰0<x十1<1台-1<x<0, 但a<b<0时，仍有a-b1+b)<0. 所以“x<0”是“1n(r十1)<0”的必要不充分条件. 4.解析设A={xa≤x≤a2十1)，B=[-2,5]. a-<b-方>a>0 依题设，AB, 则侣+.且等号不同时成立 故“0<a<6是a-<b古”的充分不必要条件. 2.AD对于A,由题意|a>b,则2a>26成立，A正 解之得，-2<a≤2 答案(-2,2] 确，对于B,由题意得d>故16>a,显然2< 1 5.解析因为a+b>ab,所以(a-1)(b-1)<1. 2不成立，B错误.对于C,当a=3,b=4时，不成立，C 因为a,b∈N+,所以(a一1)(b一1)∈N,所以(a一1)(b 一1)=0，所以a=1或b=1.所以a=1且b=2是a+b 错说对于D易得0a<台<号<受北D正确， >ab成立的一个充分不必要条件， 答案a=1且b=2(答案不唯一) 品解析由千。可得。千6十1片。十1 【真题体验】 b十1，即a+b士c<a+h+c<a+b+,所以a+b>b 1.BA二B,则2a-2=0,a=1,A={0,-1),B={1,-1, c a+bb+c 0},满足题意，选B 十c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c十a可 2.A因为整数集Z={xx=3k,k∈Z}U{xx=3k十1， 得b>a,于是有c<a<h. k∈ZU{xx=3k+2.k∈Z},U=Z. 答案c<a<b 所以Cu(MUN)={xx=3k,k∈Z}. 考点二 3B当sin2a十sim月=1时，例知a=受月=0，但sina+ 1.C依题意，可得ab=a+b, c0s3≠0， a+b=a≤(，即a+长ab, 4 即sin2a十sin2g=1推不出sina十cosB=0: a十b≥4，当且仅当a=b时，等号成立， 当sina+cosB=0时，sin2a+sin28=(-cos3)2+sin23: ,.a+b的最小值为4. =1, 2.C'x>0.y>0,x+2y=1, 即sina+cos3=0能推出sin2a+sin23=1. 综上可知，甲：sina十sin2B=1是乙：sina十cos3=0的 :.x+Dy+业_y+x+y+1=1++y+x+2y ry 必要不充分条件 【易错警示】 1+号+21+（号+2）c+=8+g8+ y [示例1][解析]，AUB=A,∴.B二A. ①若B不为空集，则m十1<2m一1，解得m>2. 2x.6y=8+43,当且仅当2=6y,即x=23 y r ,A={x|-2≤x≤7}，B=(xm+1<x<2m-1), 3,y=2-3时等号成立，故选C ∴m+1≥-2，且2m-1≤7，解得-3≤m≤4. 3.D由题意得f(x)=e,f(0)=e°=1，k=f广(0)=e 此时2<m≤4. ②若B为空集，则m+1≥2m一1，解得m≤2，符合 =1, 题意. 所以切线方程为y一1=x-0,即x一y十1=0， 综上，实数m满足m≤4即可，故选ABC 所以a-b十1=0，所以a-b=-1, [答案]ABC 所以24+2-b≥2√20·2b=2√24-b=2√/2可=2， [示例2][解析]A={xx2+x-6=0}={2,-3}. 若m=0,则B=②，BA:若m=一7，则B=2A: 当且仅当a=-号6=号时，等号成立。 ::,4.解析a>0.b>0. 若m=},则B=-3)云A设C是桑合 b {一号0，号》的非空真子集，则三A的一个充分不必 2,当显仅当-是且号-6，即a-b一月时学宁成主 要条件是m∈C.所以B军A的一个充分不必要条件是 Q02 m∈o号}故选D. “日十是十6的最小位为2巨 [答案]D 答案2② 58 [每日格言】忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。高二数学（配JB版） 考点三 a十b+ 1.C:f(.x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3), 2解析依题意得品十元+。。B+产。 1 8a+b8 六-合-生3，解得6=-2 a>0, b>0. .f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, 即 ∴.f(x)>0的解集为{xx≠1. a+b=8 2.解析由题意得不等式(x十m)(2-x)<1, 2a+b' 即x2+(m-2)x+1-2m>0对任意x∈R恒成立， ab=1, 因此△=(m-2)2-4(1-2m)<0, a+b=4 时，等成立，国北，品+品+子6的藏小位 则m2+4m<0,解得-4<n<0. 为4. 答案（一4,0） 答案4 3.解析由题意a≠0，设y=a.x2+8(a+1).x+2a+3, 【易错警示】 又对于任意a∈Z,要使y>0只有有限个整数解， [示例1门[解析]①当m=0时，3>0恒成立，满足 所以a<0. 条件. 又x=0是其中的一个解， ②当m≠0时，则△=16m2-12m<0,解得0<m<是。 所以2a+3≥0，从而-是<u<0a∈Z 综上可得实数m的取值范周是m0<m<号} 因此a=一1. 当a=-1时，则原不等式化为-x2+1≥0. [答案] {m0≤m<} 所以一1≤x≤1，不等式的整数解为一1,0,1 从而全部整数解的和为一1十0十1=0. [示例2] [解析] (a+a)°+(+方)月 答案一10 4解析由题意知f)=十ar十6=(e+受)广+b ++++4 =a++0)+4 4 :f)的值线为0，+e6号-0， =1-2a6(1+0)+4 )=(e+号月 o>≥0.6>0a+6=1∴（安）y= 又“fx<(r+）<c, 1-2a1--161+办17. 原式>号×17+4=（当且仅当a=b=号时，等号 解之得-号-<<-号十E, 成立) 号-=m.0 -受+=m+6,@ (+日)广+(+石》的最小值是要 由②-①，得2=6，c=9. [答案]罗 答案9 第三部分 综合检测 【真题体验】 1.D由x2-3x-4≤0，即(x-4)(x十1)≤0，解得-1≤ 1.C由2+2-w=1得(x-多)+（停）=1 x≤4，即A={xx2-3x-4≤0)={x-1≤x≤4}，又 B={.x|y=ln(.x-1)}={x|x>1},所以CRB= x一 -os. I= n叶os0. {xx≤1}，所以AU CRB={xx≤4}，故选D. 3 an 0. 2.C由题意知a>0且a≠1，则a2十1>2a, y=sin 0, y log.(a2+1)<log.(2a)<0. 故x+y=3sin0+cos0=2sim(0+晋)e[-2,2],故 以释特<<1 A错误，B正确： 3.D{an}为等差数列，且a1=9a2a4a1o构成等比数列， a1=9, 即/a1+3d=9, ”af=a2·ao' 1(a1+d)(a1+9d)=81, -in20-os20+ 解得d=0或d=3.故选D. 3 4.C设公差为d,则S:=4a1+6d,S2=2a1+d,结合S4 -号nm20-p+音[2]（中amg9 =4S2,a1=S1=1,得d=2,所以S4=16,S6=36,所以 S69 故C正确，D错误. 54 59