作业(十) 专项培优：导数与不等式、函数零点问题-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格片]真正的人生，只有在经过艰难卓绝的斗争之后才能实现。 高二数学（配RJB版） 作业() 今 月 日 星期 专项培优：导数与不等式、函数零点问题 天气 1知识整合 ①将参数与变量分离，化为f(入)≥f,(x) 或f,(a)≤∫(x)的形式： 1.常见的不等式放缩依据 ②求f2(x)在x∈I时的最大值或最小值： (1)x-1≥lnx(x>0). (2)xlnx≥x-1(x>0). ③解不等式f1(a)≥f2(x)mx或f1(A)≤ (3)e≥x+1. f2(x)ma,得到入的取值范围. (4)lnx<x<e(x>0). (2)分类讨论法求参数范围 2.利用导数证明不等式常用策略 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将 (1)作差法构造函数证明不等式的策略 恒成立问题转化为最值问题，此类问题关 ①待证不等式的两边含有同一个变量时， 键是对参数分类讨论，在参数的每一段上 一般地，可以直接构造“左减右”的函数： 求函数的最值，并判断是否满足题意，若不 ②有时对复杂的式子要进行变形，借助所 满足题意，只需找一个值或一段内的函数 构造函数的单调性和最值求解，利用导数 值不满足题意即可。 研究其单调性和最值. 4.利用导数研究函数零点的基本思路 (2)单变量不等式的证明方法 ①移项法：将证明不等式f(x)>g(x) (1)讨论函数零点个数的基本思路：利用函数 (f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x) 零点存在定理的条件是函数图象在区间 g(x)>0(f(x)一g(x)<0),进而构造辅 [a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0. 助函数h(x)=f(x)一g(x): ①直接法：判断一个零点时，若函数为单调 ②构造“形似”函数：对原不等式同解变形， 函数，取值证明f(a)f(b)<0即可： 如移项、通分、取对数，把不等式左、右两边 ②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结 转化为相同结构的式子，根据“相同结构” 合单调性，确定分类讨论的标准，再利用函 构造辅助函数： 数零点存在定理，在每个单调区间内取值 ③最值法：欲证f(x)<g(.x),有时可以证 证明f(a)f(b)<0. 明f(x）mx<g(x)nin (2)根据函数零点个数确定参数取值范围 3.利用导数研究不等式恒（能）成立问题的常 的核心思想是“数形结合”，即通过函数的 用策略 (1)分离参数法求参数范围 单调性确定函数图象与x轴的交点个数 利用分离参数法来确定不等式f(x,λ)≥0 或者通过两个相关函数图象的交点个数确 (x∈I,λ为实参数)恒成立问题中参数取 定参数满足的条件，进而求得参数的取值 值范围的基本步骤： 范围，解决问题的步骤是“先形后数” 29 署假作业伟大的事业，需要决心、能力、组织和责任感。 [每日格言] 2基础诊断 2.已知a>0且a≠1，函数f(x)=Y（x>0). a 1.设函数f(x)=lnx+a(a为常数)，不等式 若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两 个交点，求a的取值范围. f(x)≥1在(0,1]上恒成立，求实数a的取 值范围. 3.(2024·青岛二模)已知函数f(x)=a.x2 xln x. 2.已知函数f(x)=x十1-a(a∈R),讨论 e (1)若函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， f(x)的零点个数. 求实数a的取值范围： (2)若a=e,证明：当x>0时，f(x)< xe'+e" 3综合应用 1.已知函数f(x)=(+)·ln(x+1). 4.已知函数f(x)=rsin x十cosx,g(x)= (1)求曲线y=f(x)在x=2处切线的 x2+4. 斜率； (1)讨论f(x)在[一π，π]上的单调性； (2)当x>0时，证明：f(x)>1. (2)令h(x)=g(x)-4f(x),试证明h(x) 在R上有且仅有三个零点： 30 [每日格片】没有人事先了解自已到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。 高二数学（配RJB版） 4真题体验 5易错警示 1.(2023·新课标Ⅱ卷节选)证明：当0<x<1 易错点数学思想方法不能活用而致错 时，x一x2<sinx<x. [示例]已知函数f(x)=lnx+a.x2十 (2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2②)当a<0时，证明)≤-是一2 2.(2022·全国乙卷)已知函数f(x)=ax 1-(a+1)lnx. (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值 :[名师叮嘱]本例(1)不能对a分类讨论而出 范围 错.本例(2)不能将不等式恒成立问题等价转化、不 会合理构造函数g(x)=lnx-x十1(x>0)而致错. 构造法证明不等式是指在证明与函数有关的 不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关 的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常 见的构造方法有：①直接构造法：证明不等式 f(x)>g(x),构造辅助函数h(x)=∫(x)-g(x): ②适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩， 二是利用常见的放缩结论：③构造“形似”函数：稍 作变形再构造，对原不等式同解变形，根据“相同结 构”构造辅助函数；④构造双函数：若直接构造函数 求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此 函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和g(x),利用其最值求解 31[每日格]生命之灯因热情而点燃,生命之舟因拼搏而前行。 高二数学(配BJB版 --3{}1,故[,)>→0. (2)设f(x)二一 # (###,#~0# -1{28.1. #[#(2#)#)#-_## 即Vmxx-144yx-144x 令/°(t)-0,得x-9或x=-9(舍去). 当0r<9时,f(r)>0; [#(){_#7. Vmi-144x 当9x<10时,f(x)0. 故当x一9时,f(x)取得最大值,为38.6 2.解析(1)设AA,BB,CD,EF.都与MN垂直,A. 当x>10时,170-1.9x-11338.6. B .D,F,是相应垂足,由条件知,当OB一40时, 综上可得,当年产量为9万件时,该公司所获年利润 最大。 由0A2-160,得0A-80. 作业(十) 专项培优:导数与不等式、函数零点问题 所以AB=O'A+OB-80+40-120. 【基础诊断】 所以桥AB的长度为120来。 1.解析 f(x)>1-+lnx>1→→-lnx+1-→ (2)以O为原点,MN所在直线为x轴,OO所在直线为 一xnx十x对任意x(0,1幅成立。 y轴建立平面直角坐标系(如图所示). 令g(x)=-xlnx十x,x(0.1]. C oEB 1+1--lnx→0,xe(0,1]. 则g(x)--lnx-x. 所以g(x)在(0.1]上单调递增,所以g(x)mx=g(1) -1. 所以a二1,故a的取值范围为[1,十co). 2.解析 令f(c)-+1-a-0,得a--+1. 。{r VAD 0 BV 设g()-+十1,则g(c)--(+1)_二. -80060. 1 设F(x,y),c(0,40),则y=- , (e)2 当x>0时,g(x) 0,当x0时,g’(x)>0. 所以g(x)在(-o,0)上单调递增,在(0,十o)上单调 因为CE-80,所以OC-80-x. 递减,所以g(x)g(0)-1. 而当x>-1时,g(x)>0,当x-1时,g(x)<0 所以g(x)的大致图象如图所示。 所以CD=160-y-160- 40{24A. 记桥墩CD和EF的总造价为/(x)万元, 则(二)_}(160十800-6x)+(-40(4) #(810)0~0). ①当a>1时,方程g(x)一a无解,即/(x)没有零点; ##)_一)-80(-20) ②当a一1时,方程g(c)一a有且只有一解, 即f(x)有唯一的零点; 令/(x)-0,得x-20. ③当0<a1时,方程g(x)-a有两解, 当一变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示 即f(x)有两个零点; (0.20) 20 (20,40) ) ④当ao时,方程g(x)一a有且只有一解, 0 即/(x)有唯一的零点; f()) 士 综上,当a1时,f(x)没有零点; 单调 单调 当a一1或a0时,f(x)有唯一的零点; /() 递减 极小值 递增 当0~a1时,f(x)有两个零点. 【综合应用】 所以,当x一20时,f(x)取得极小值,也是最小值. ln(x+1) n(c+1),则/(x)= 1.解析。 (1)/(r)一 故当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低. 2 【易错警示】 ln(x十1) [示例] [解析] (1)依题意得, r(c+12(x+1) -2 所以/'(2)-1ln3. 34 W- 170 0-1.9(x>10). 3 515 署假作业 积极者相信只有推动自己才能推动世界,只要推动自已就能推动世界。 [每日格言] (2)证明 要证x>0时f(x)-(+)1n(x+1)> : 4.解析 (1)f(x)=sinx十xcosx-sinx=xcosx. 当(-,-)U(o)时,f(cx)>o; 当x(-.。)U(,“)时,/(c)<o, r计1 所以/(c)在(一n,一),(o,)上单调递增, (+2)(c+)(+2)→0, 在(一o).(.)上单调递减. 所以g(x)在(0,十)上递增,则g(x)>g(0)-0. 即In(c十1)2x (2)证明 h(x)-x2+4-4xsinx-4cosx,因为h(-x) 2 -?+4-4xsinx-4cosx-h(r),rER. 所以x>0时/(x)>1. 所以h(x)为偶函数。 2.解析 曲线y一/(x)与直线y一1有且仅有两个交点, 又因为(0)-0. 可转化为方程1(x→0)有两个不同的解, 所以x-0为函数h(x)的零点. 下面讨论h(x)在(0,十oo)上的零点个数. 即方程lnx_ln“有两个不同的解. h(c)-.②+4-4.xsinx-4cosx r -x(r-4sinx)+4(1-cosx). 设g()ln(x>o). 当x[4,+o)时,x-4sinx>0. 4(1-cosx)0,所以h(x)>0. 则g()-1-ln(co). 所以h(x)无零点; ? 令'(c)-1-ln-0,得x-e. 当x(0,4)时. h'(x)-2x-4.xcosx-2x(1-2eosx). 当x(o吾)时,n(x)<o; 当0{xe时,g'(x)0,函数g(x)单调递增, 当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 当(,4)时,n'(x)>0. 所以(x)在(o)上单调递减,在(,4)上单调 且当x>1时,g(c)(o,),又g(1)-0, 递增, 所以o-lná,所以a→1且ae, 所以(co)min-(吾) 故a的取值范围为(1,e)U(e,十). 3.解析(1)由题意知/(x)-2ax-lnx-1. 因为函数f(x)在(0,十)上单调递增, 所以当x>0时,f'(x)→0,即2lnx+1在(0,+oo) 2 又h(0)-0,且h(4)-20-16sin4-4cos4>0. 上恒成立. 所以h(t)在(o,)上无零点,在(,4)上有唯一 零点. 易知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,十o)上单调递减, 综上,h(x)在(0,十oo)上有唯一零点. 又h(0)-0且h(x)为偶函数, 故实数的取值范因是[). 故h(x)在R上有且仅有三个零点. 【真题体验】 1.证明构造函数g(x)-x-x②-sinx,x(0,1),g(x) (2)证明 -1-2x-cosr. g”(x)=-2十sinx<0,g’(x)在(0,1)上单调递减, ex ..g(x)<g'(0)-0. 令h(c)-lnx十(x→>0),则'(c)1,易知h(c) '.g(x)在(0,1)上单调递减. _?} ..g(x)g(0)-0. 在(o.)上单调递减,在(一,十~)上单调递增,则 ..-.2sinx,x(0,1). 构造函数h(x)-x-sinx,x(0,1),h'(x)-1-cos 0,..h(x)在(0,1)上单调递增, '.h(x)>h(o)-o,即sinx<x.x(0,1). 令q(x)-er-e,则c'(x)-e-e. 综上,当o<x<1时,x-x?<sinx<x. 易知(x)在(0,1)上单调递增,在(1,十oo)上单调 递减, 7 则(x)mx=(1)-0,所以ex-e0. 因为h(x)与g(x)不同时为o,所以ex-e<lnx十 . 当x(0.1)时,f(x)>0.f(x)单调递增; 故原不等式成立. 当x(1.+oo)时,f(x) 0.f(x)单调递减 56 [每日格]好咖啡要和朋友一起品尝,好机会也要和朋友一起分享。 高二数学(配BJB版) 所以f(x)mx=f(1)--1. 当xé(0.1)时,g’(x)>0;当x(1,+o)时,g’(x)< (2)f(x)-ax-1-(a+1)lnx,x>o,则r(c)=a十 0.所以g(1)在(0,1)单调递增,在(1,十o)单调递减. 故当x-1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)-0. 1a+1(ar-1)(r-1) 当a0时,ax-1<0,所以当x(0,1)时,/(x)>0. /(x)单调递增; 4a 当x(1,十)时,/(x)<0,f(x)单调递减; 第二部分 开启一轮 所以f(x)mx-f(1)-a-1<0,此时函数无零点,不 合题意; 作业(十一)集合与常用逻辑用语 当0<<1时,→1,在(0,1)(,+)上,/(c) 【基础诊断】 0.f(x)单调递增; 1.B 2.B 3.A 4.0或3 在(1,士)上,/(c)<o,f(c)单调减; 【知能提升】 考点一 又/(1)=a-1<0,当x趋近正无穷大时,f(x)趋近于 正无穷大, .A0B-((2,-1. 当a-1时,/(x)-(-一1)}→0,所以f(x)单调递增, 由MC(AOB),知M-或M一((2,-1)). 2 2.C 集合A-{xZlx-4x-5<0)-0,1,2,3,4),B 又f(1)-a-1-0. ##2&42”)-{)>#.# 所以f(x)有唯一零点,符合题意; 当>1时,<1,在(o.)(1,十)上,/(c)>0, :AB中有三个元素..1<“2. /(x)单调递增; 解得2m4. 在(},1)上,/'(c)<0,/(t)单调递减;此时/(1)-a 3.D易知A-{xlx-8x+15>0)-{xlr<3或x>5). 由AB-②, -10. 可得/二3 la+1<5. 所以34. 4.解析 由AOB-A,故ACB 大时,/()趋近负无穷, 由x-3l<m,得-m+3<xn+3, (4m+3, 解得n二5. 所以(c)在(o,士)上有一个零点,在(,十)上无 即m的最小值为5. 零点. 答案5 所以f(r)有唯一零点,符合题意; 5.解析 集合A=(xl<-{xl-<x<t,>0),集 综上,a的取值范围为(0.十o). 【易错警示】 合B-xlx--2<0-{xl-1<x<2. ·集合A,B构成“偏食”: [示例][解析](1)f(x)的定义域为(0,十o),f(x) 1+2ar+2a+1-(x+1)(2ar+1). /70. [--1<1<2. 解得1<<2. 若a0,则当x(0,十o)时,f(x)>0,故f(x)在(0. 十o)上单调递增. .实数/的取值范围为(1,2). 若△<0,则当xc(o,-)时:f(c)o# 答案(1,2) 考点二 当(-+)时,#(x)<0. 1.ABD .+11,ln(c2+1)ln1-0,故A为假 命题; 故(2)在(o)上单调增,在(-+)上单 当x-4时,2一x,故B为假命题; 调递减。 当a-}-0时,sin(a-③)-0-sina-sin{,故C为真 命题; -得 (2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=一 当x一时:sin吾<cos吾,故D为假命题. 最大_,大为(-一)1n(-)-1- 2.ACD 全称量词命题的否定是存在量词命题,易知A 正确。 4 4 B项中,当x-2时,2-②,则B错误。 -2,即1n(-)++1<0. ##o]# ,tanx<1,故实数m的最小值为1,( 设g()=lnx-x+1(c(0,+oo),则(c)-1-1. 正确. D项中,由不等式性质a1,b>1→ab1,知D正确. 57