作业(三) 等比数列-2024年高二数学暑假作业（人教B版）

[每日格片]坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 高二数学（配RJB版） 作业（三） 今 月 日 台 星期 等比数列 天气 1知识整合 3.等比中项 如果x,G,y是等比数列，那么称G为x与 1.等比数列的定义 y的等比中项，即G=士xy. 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项 4.等比数列的前项和公式 与它的前一项之比都等于同一个常数，即 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与项数 1=g恒成立，则称{a,}为等比数列，其 a1q=1, a1+9=1, a 求和公式 4(1-) S. a-an 中g称为等比数列的公比. 1-g ,g≠1. 1一9 ≠1. [点拨] 5.等比数列的常用性质 1.“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有 (1)等比数列项的性质 三项 设等比数列{an}的公比为q,则 2.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻 ①an=amg"-m(m,n∈N); 两项的比” ②若m+n=k+l(m,n,k,l∈N,),则 3.“同一常数g9是等比数列的公此，即g一。 a(n2) am·an=a·a4 或g,特别注意9不可以为家，当9=1时，等比 特别地，如果2s=m十n,则a=am·an (2)等比数列前n项和的性质 数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列. ①Sn是数列{an}的前n项和，{an}是等比 4.等比数列中的任何一项均不能为零 数列台S,=Ag”+B且A十B=0(其中A, 5.等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零， B,q都是常数A≠0，q≠1，q≠0)： 2.等比数列的通项公式 等比数列{an}的公比为q,其通项公式为 ②等比数列{a,中，若项数为2m,则=g: S an=a1·g"-1. 若项数为2m十1，则S-4=g: [拓展] S偶 等比数列与指数函数的关系 ③若等比数列{an}的前n项和为S.,则 Sn,S2n一Sn,Sn一S2n,…成等比数列（当 等比数列的通项公式a,=a,9=2Xg,记 q=一1，n为偶数时，该性质不成立)，公比 f(x)=a×g,则a,=f(n,而且 为g” (3)等比数列的单调性 (1)当公比q=1时，f(x)是常数函数，此时数列 ①当a1>0,9>1或a1<0,0<q<1时， {an}是常数列（因此，公比为1的等比数列是常 {an}为递增数列； 数列) ②当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时， 2)当公比g≠1时，)是号与y=的乘积，此 {an}为递减数列： 时，f(x)的增减性既与a1有关，也与q有关。 ③当g=1时，{an}为常数列. 暑假作业人生的价值，并不是用时问，而是用深度去衡量的。 [每日格言] 2基础诊断 : 5.已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数 1.若a是1和3的等差中项，b是1和4的等 项之和为85子，所有偶数项之和为170 比中项，则8的值为 则S=a十a6十a十a2的值为 b : 6.(2024·泉州质检)已知等比数列{an}的公 A士号 R吉 比g>1,1+1=3 十a4=4,a,·a,=8,则aw= C.1 D.±1 2.在等比数列{an}中，若a2=1,a1=25,则 7.已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的 a,= 等比数列，且a2一b2=a3一b3=b,一a4: A.5 B.-5 (1)证明：a1=b1； C.±5 D.±25 (2)求集合{k|b=am十a1,1≤m≤500}中 3.在数列{an}中，a1=2,am+1=2an,Sn为{an} 元素的个数 的前n项和.若S,=126,则n= 4.已知在等比数列{an}中，a1a3a1=8,则a2as= 3综合应用 1.在正项等比数列{an}中，若a1=1,a3= 2a2十3，则其前3项的和S。= A.3 B.9 C.13 D.24 2.(2024·石家庄质检)已知数列{a,}为各项 均为正数的等比数列，a1=4,S=84,则 log2(a1·a2·a3·…·aa)的值为() A.70 B.72 C.74 D.76 3.已知(an}为等比数列，Sn为数列{an}的前 n项和，a+1=2S,十2，则a的值为( A.3 B.18 C.54 D.152 4.（多选)已知f(x)=x3,数列{an}满足a1=3, 且对任意n∈N+,有a+1=f(an),则( A.{an}是等比数列 B.{logsa}是等比数列 C.log,的前n项和3为”2 D.a,=3 8 [每日格]为别人鼓掌的人也是在给自已的生命加油。 高二数学（配RJB版） 8.已知数列{an}的各项均为正数，记S。为 4真题体验 {am}的前n项和，从下面①②③中选取两 个作为条件，证明另外一个成立. : 1.(2023·新课标Ⅱ卷)记S,为等比数列 ①a2=2a1:②数列{lnam}是等差数列： {an}的前n项和，若S4=-5,S。=21S2 ③数列{Sn十a}是等比数列 则S。= A.120 B.85 C.-85 D.-120 2.(2023·全国乙卷)已知{a,}为等比数列， azaas=asas,agao=-8,a= 3.(2023·全国甲卷)记S。为等比数列{an》 的前n项和.若8S。=7Sg,则{a,}的公比 为 5易错警示 易错一 忽视等比数列项的符号规律而 致错 [示例1]在等比数列{a,}中，若a4,a8是 方程x2一4x十3=0的两个根，则a6的 值是 A.±3 B.-3 C.3 D.±3 [名师叮嘱] 在等比数列中，间隔项的符号相同. 易错二 忽视对公比是否为1的讨论而 致错 [示例2]已知等比数列{a.},首项为a1, 公比为q,前n项和为S.若数列{S,十1} 是等比数列，则 A.a1-q=1 B.g-a1=1 C.Sn-g"-1=1 D.Sn-a1g”=1 [名师叮嘱]在利用等比数列的前n项和公式时， 若其公比g不确定，则应对公比分q=1和q≠1两种 情况进行讨论.在解题时首先讨论公比q=1这一特殊 情况，再在g≠1的情况下，应用等比数列的前n项和 公式对式子进行整理变形，然后进行研究. 9[每日格片]伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，面是靠性格、意志和知识的力量完成的。高二数学（配JB版） 【真题体验】 1.C解法一甲：{an}为等差数列，设其首项为41，公差 n为奇数时，T。=T+1-b1=号(n+1)2+2(n+1D 为d, 对S,=a1+nn卫d,S=a1+”, -4-10=r2+2-5 d -d:- d= 2 0为寺数且m>5:即≥7时，工，-5，=受2+ 21-5 dS+1_Sa=d」 2'n+1n2' -(a+40m=r2--5=号m+2(m-5>0, 国比倍}为等差数列，则甲是乙的克分条件： ∴n>5时，Tm>Sw. 反之，乙： 倍}为等送数到，即常-音 【易错警示】 [示例1门[解析]由题意可得a1= a1o>1, 5-》8-子为李数，设为 ag≤1， n(n+1) 即0S=1,则S。=a,+1-1nn十1)，有S。 +9d>1, 25 n(n+1) 根据等差数列的通项公式可得 =(n-1)am-1·n(n-1),n≥2， 25+8dK, 两式相减得：am=an+1一(n一1)am一2lm,即ag+1一am =21,对n=1也成立， 从而解得亮<K易故选D 因此{am》为等差数列，则甲是乙的必要条件， [答案]D 所以甲是乙的充要条件，C正确. : [示例2][解析]因为an=26-2n,所以数列{an}为等 解法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为 差数列，且d=一2， ,公差为山.中8=+02》 又a1=26-2×1=24, 所以Sn=24n+4"2D×(-2)=-m2+251= 2 2 数列，即甲是乙的充分条件： -(-罗》'+照 反之，乙：骨}为￥差数到中当-=D-5十 因为n∈N+,所以当n=12或n=13时，S,最大，故 n十1n 选D. (n-1)D [答案]D 即Sn=S1+n(n-1)D,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n 作业（三）等比数列 -2)D, 【基础诊断】 当n≥2时，上两式相减得：Sm一S-1=S1+2(n-1)D, 1.D2.A3.64.4 当n=1时，上式成立， 【综合应用】 于是an=a1十2(n-1)D,又an+1-an=a1+2nD-[a1 1.C设正项等比数列{am}的公比为q(q>0).因为a1= 十2(n一1)D]=2D为常数， 因此{am》为等差数列，则甲是乙的必要条件， 1,a3=2a2十3，所以q2=2g十3，解得q=3(负值舍去)， 所以甲是乙的充要条件，故选C 所以a2=a19=3,a3=a1q2=9,则其前3项的和S3=1 2.解析(1)由题意知a+a2十ag十a4=32, +3+32=13.故选C. a1-6+2a2+a3-6=16, 2.B解法一设等比数列{am}的公比为q,因为数列 {an》的各项均为正数，所以q>0.因为a1=4,S3=84, 设{am}的公差为d,. 十41=32，解得 2 所以a1+a2+a3=4+4q+4g2=84,即q2+q-20=0, a2=7, 因为g>0,所以q=4,则an=4".所以a1·a2·a3·… a1=5:w=5+21-1D=2n+3. ·a8=(a1ag)1=(4×48)1=(49)4=436=(22)36=272。 d=2, 所以log2(a1·d2·ag·…·ag)=log2272=72,故选B. (2)证明bn= 2n-3,n为奇数， 解法二设等比数列{an}的公比为q,因为数列{an}的 4n+6,n为偶数. 各项均为正数，所以>0.因为a1=4,S3=84,所以a1 b2。-1+b,=12m+1,5n=（5+20+3)n=n+40, 2 +42+a3=4+4q十4g2=84,即g2+q-20=0,因为g> T.=12×1+1+12×2+1+…+12…号+1=12· 0,所以q=4,则an=4",所以log2an=log24"=2n,所以 log2(a1·a2·a3·…·ag)=log2a1+log2a2+log2a3+ …+log2ag=2×1+2×2+2×3+…+2×8=2×(1+2 2 2 -r+… +3+…+8)=2×1+8)X8=72,故选B. 2 ☑为偶数且>5时，即m≥6时，T,-S。=名2+ :3.C由题意可得：当n=1时，a2=2a1十2， (a+40m=r2->0 即a1q=2a1+2.① 当n=2时，a3=2(a1十a2)十2， 43 署假作业当你感到患哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。 [每日格言] 即a192=2(a1+a1q)+2.② 所以41=2m≥2， 联立①②可得a1=2,q=3,则a1=a193=54. an-1 故选C 所以{an}是首项为a1,公比为2的等比数列， 4.BCD由题意可得am+1=a员，因为a1=3,所以a2=a 所以S,=411-2") 1-2 =27,a3=a=27,所以2≠a3,即{a,}不是等比鼓列， al a? 所以Sn=a1·2m-a1,即Sn十a1=a1·2". 故A错误：由题意得4n>0恒成立，所以log3n+1= 1oga=3l0gan所以log=3,且log3a=1,所以 设h,=S十a,则。 bm=2n≥2， logsan 又b1=2a1>0,所以{Sn十a1}是首项为2a1,公比为2 (logsa}是以1为首项，3为公比的等比数列，故B正 的等比数列. 确：l0ga,的前n项和为1X13”)_3”。1,故C正 选①③作为条件证明② 1-3 2 设等比数列(Sn十a1}的公比是g(g≠0)，所以q= 确：logsu=1×3”1,则an=3,故D正确.故选BCD S2十a_2a1十a2,因为ag=2a1,所以g=2, 5.解析设公比为q, S1+a12a1 又因为S1十a1=2a1,所以数列{S,十a1}的通项公式为 8g2 Sn十a1=2a1·2"-1=a1·2", 由 s4-的-5 所以Sn=a1·2m-a1,当n≥2时，am=Sn一Sm-1=a1· 1一g 2m-a1·2"-1=a1·2"-1. 1 又a1=a1·21-1,符合上式，所以4n=a1·2"-1. 解得a1='所以S=a十a6十ag十a12=a3(1十q2+ 所以lnaw+1-lnan=n(a·2")-ln(a·2-1)=ln2, q=2, 所以{lnam}是等差数列. g5+g)=a1q2(1+g3)(1+g5)=585. 选②③作为条件证明①. 答案585 因为数列lnan}是等差数列，所以lnam一nam-1为常 1+1=3 数，n≥2， 6.解析解法一由已知得a1ga14'周为g>1, aiq=8. 所以n二为常数≥2。 所以可得 a1=2, 所以a2n=a1g2m-1=2×(2)2m-1 则a为常教，m≥2.令2-q(g≠0)， an- al q=2, 则{am}是首项为a1,公比为q的等比数列，则am= =(2)2m=2m a1·-. 解法二因为数列{am》是等比数列，所以a2a4=a1as= 因为数列{Sn十a1}是等比数列， 8,尚+-g0=是得ata1=6,周为a,a=8 所以(S2+a1)2=(S1十a1)(S3+a1), a2 as aza 且9>1，所以可得a2=2,a4=4,所以数列{u2m}是以2 故[a1(2+g)]2=2a1·[a(2+q+g2)], 为首项，2为公比的等比数列，所以a2m=2×2”-1=2”, 则(2十g)2=2(2十q十g2),化简得g2-2g=0, 答案2” 因为q≠0，所以g=2,所以02=2，即a2=2a1 01 7.解析(1)证明设等差数列{am}的公差为d, 【真题体验】 由a2-b2=ag-b,知41十d-2b1=a1+2d-4h1,故d:1.CS6=21S2,1-g5=21(1-q2). =2b1, 由a2-b2=h1-a4,知a1+d-2h1=8h1-(a1+3d), 0+-20=0g=4叠-1+g=17. 所以a1+d-2b1=4d-(a1+3d),故a1+d-2b1=d- .S8=17×(-5)=一85，故选C. a1,整理得a1=b1,得证. 2.解析设{au}的公比为q(g≠0)，则a2a:a5=agag= (2)由(1)知d=2b1=2a1,由be=am十a1知bh1·2-1= a29·a59,显然an≠0，则a4=g2,即a1g3=g2,则a19 a1+(m-1)·d+a1, 1,图为aga10=-8,则a1g·a1g°=-8，则g5=(g)3 即b1·2*-1=b1+(m-1)·2b1十b1,即2-1=2m, =-8=(-2)3,则g=-2,则a7=a19·g5=g= 因为1m≤500， 一2，故答案为一2. 所以2≤2-1≤1000，解得2≤k≤10， 答案一2 故集合{kbk=am十a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.：3.解析若g=1,则由8S6=7S3,得8·6a1=7·3a1,则 8.证明选①②作为条件证明③. a1=0,不合题意. 设等差数列{lnan}的公差是d,则d=lna2-lna1, 所以q≠1. 因为a2=2a1,所以d=ln2=ln2, 当g≠1时，因为8S6=7S8· a 所以lnan-lnag-1=ln2,n≥2， 所以8.11-g）=7.a11-) 1-q 1-q 44 [每日格首】成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 高二数学（配RJB版） 即8·(1一g5)=7·(1-),即8·(1十g3)(1一)=：4.解析设从冬至日起，小寒，大寒、立春，雨水，惊整、春 7·(1-g3).即8·(1+g3)=7, 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长 解得9=一2 1 依次成等羞数列{anm},如冬至日的日影长为a1尺，设公 差为d尺. 故答案为一 由题可知，a1十a4十a1=31.5→3a4=31.5→a1=10.5, a2十a5十a8=28.5-→3as=28.5→a5=9.5, 答案- d=a5-a4=9.5-10.5=-1, 【易错警示】 43+a6+ag=3a8=3(as十d)=3×(9.5-1)=3×8.5 [示例1][解析]由题意知aag=3,所以a后=a4ag= =25.5, 即大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺 3,解得a6=士3，又a4十a8=4,所以a1>0,ag>0,当 答案25.5尺 a6=一√3时，a话=a4a6<0,所以舍去负值，得a6=3,故 5.解析设该患者第n次服药后，药在他体内的残留量为 选C an毫克， [答案]C 由题意可得：a1=200,a2=200十a1×(1-50%)=200 [示例2][解析]设等比数列{S,十1}的公比为1，则1 ×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%)=200+200× ≠0. 1.5×0.5=350, 若q=1,则Sn十1=a1十1，由题意可得S+1十1=t(Sn十 故第二天早间他第三次服药后，药在他体内的残留量为 10. 350毫克： 即(n+1)a1+1=tma1+t, 该惠者若长期服用此药，则此药在体内残留量为 所以 n十1='不合题意： 200×1-0.52=400(1-0.5”)… 1-0.5 (t=1, 若g≠1，则S。=11-2-a1-a1g 0.5">0,则400(1-0.5")<400， 1-g 1-q ∴长期服用此药，不会产生副作用， 则Sn+1=a1十1-9)-a1g 即该患者长期服用该药，不会产生副作用. 1-g 答案350无 由题意可得Sm+1+1=t(Sn十1)， 6.解析(1)设an,bn分别为第n年授入的电力型公交 即a+1-g）-a1g·9_(a+1-g)-a1g 车，混合动力型公交车的辆数， 1-9 1-9 依题意，数列口，是首项为128，公比为1十50%=号的 |a1+1-q=1(a1+1-q), 所以 等比数列，{bn}是首项为400，公差为4的等差数列， a1q=1a1· 可得/9-41=1 故选B. 128×1-(受)门 故数列{an}的前n项和 =256× (1=q. 1- [答案]B 作业（四）数列在日常经济生活中的应用 [(受）广-小.，的前n项和为40m+2Da,所 2 【基础诊断】 以经过n年，该市被更换的公交车总辆数S(n)=256 1.C2.A3.115(1+x%)3>1564.大于 【综合应用】 [(2）广-1]+400m+na2D。 2 -a. 1.B由题意可知4。一1既是2的倍数，也是5的倍数，即 (2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000，即 am-1是10的倍数，则am一1=10(n-1)(n∈N+),故 a20=10×(20-1)+1=191. 256[()'-]+400x7+7a≥10o0o. 2.B由题意得，十三个单膏的频率构成首项为了，公比为 2的等比数列，设该等比数列为{am},则第六个单音的 即21a≥3082，解得0≥146品 又a∈N+,所以a的最小值为147. 频率为a6=f·(2)5=√2丽f.故选B. 7.解析(1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为am 3.C设每一层有n环，由题可知从内到外每环的扇面形 (n∈N+), 石板数之间构成等益数列{an},且公差d=9,首项a1= 9,由等差数列的性质可知Sm,S2m一Su,S3m一S2n成等差 则a1=12000 3000 4.2=13000=13。 3000 a-4000 3000 数列.且(S3n-S2n）-(S2m-Sn)=n2d,由题意得9n2= 14 729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3m=S22= 3…, 27×9+27X26×9=3402(块. 2 里然其构成首项为@1=4，公差为d=a:一a1=子的等 45