作业(一)导数的概念、几何意义及其运算-2024年高二数学暑假作业（人教A版）

[每日格言]在世界的历史中,每一伟大而高贵的时刻都是某种热忧的胜利。 高二数学(配RJA版 第一部分 温故知新 m和回 r(一) 月_日 星期 导数的概念、儿何意义及其运算 T气 续表 1知合 基本初等函数 导数 1.“函数/(x)在点x。处的导数”“导函数”及 f(x)-sinx r(x)-cosx 二者之间的区别与联系 f(x)-cosx f(x)--sinx (1)“函数在一点处的导数”,就是在该点的 f(r)-a(a>0.且a1) f(r)-a*Ina 函数的改变量与自变量的改变量的比的极 f(c)-e /G)- 限,它是一个数值,不是变量 f(x)-log.r(a>0. 2_ (2)“导函数”:从求函数y一f(x)在x 且1) x。处导数的过程可以看到,当x一x。时, f(x)-lnx f()-1 /'(x。)是一个唯一确定的数,这样,当x变 4.导数的四则运算法则 化时,y一/(x)就是x的函数,称它为y (1)[f(x)士g(x)]=f'(x)士g'(x). f(x)的导函数(简称导数).y一/(x)的导 (2)[cf(x)]'一cf(x)(c为常数). 函数有时也记作y,即/(x)三y'= (3)[f(x)g(x)]-f(x)g(x)十f(x)g'(x) lim f(x十△x)-/(x) △r [g(2)]{2} (3)函数y一f(x)在点x。处的导数f(x) (g(x)0). 就是导函数/(x)在点x一x。处的函数 5.复合函数的求导法则 值。/(x。)一/(x),所以求函数在一 一般地,对于由函数y一/(u)和u一g(x) 点处的导数,一般是先求出函数的导函数, 复合而成的函数v一f(g(x)),它的导数 再计算这点的导数. 与函数y一f(u),u一g(x)的导数间的关 2.导数的几何意义 系为y一y·',即y对x的导数等于 函数y一f(x)在点P(x。,y。)处的导数 y对a的导数与u对x的导数的乘积 f'(x。)表示函数y一f(x)在x一x.处的瞬 2基础诊断 时变化率,导数f'(x)的几何意义就是函 数y一f(x)在P(x,y)处的切线的斜率, 1.(多选)(教材改编)下列导数的运算正确的 _ 其切线方程为y一y。一/(x。)(x一x。). ) A.(3)'-3ln3 3.基本初等函数的导数公式 B.(x*lnx)'-2xlnx十x 基本初等函数 导数 C.(6o)y_zsincos /(x)一c(c为常数) r(x)-0 2 f(x)-x*(aR,且a0) /()-a7-1 D. (sinxcosx)'-cos 2x 署假作业 如果你能傲梦,你就能实现它。 [每日格言] A.20天 2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)三 B.30天 7*+8(0 5),则 C.45天 D.60天 A.该物体在1 3时的平均速度是28 4.(2024·咸阳期末)已知函数f(x)及其导 B.该物体在一4时的瞬时速度是56 函数f'(x),若存在x。使得f(x。) C.该物体位移的最大值为43 f(x。),则称x。是f(x)的一个“巧值点” D.该物体在t一5时的瞬时速度是70 ( 下列函数没有“巧值点”的是 ) A./(x)一X B.f(x)-e” C. f(x)-cosx 5.(2024·连云港月考)已知螂蝎的体温与阳 十2 光照射的关系可近似为T(t)-120 #20+15 程为 其中T()为蝎的体温(单位:C),7为太 3综合应用 阳落山后的时间(单位:min).当7一10min 1.(多选)下列求导正确的是 时,蜘蝎体温的瞬时变化率为 *C/min. A.[ln(2x+1)]'- 2x十1 1 B.(e5r-4)'-。-4 f(x)上任意一点处的切线的倾斜角a的 C.(2x-1)'- /2x-1 取值范围是 D. cos(2x+)-2sin(2x+) 7.已知函数f(x)=x3-4x{}+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线 2.(多选)(2024·连云港期末)设b为实数 方程; 则直线v一2x十6能作为下列函数的图象 (2)求经过点A(2,一2)的曲线f(x)的切 的切线的有 ( ) 线方程. B.f(x)- C./(x)-e{ D. f(x)-sinx 3.随着科学技术的发展,放射性同位素技术 已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并 取得了显著的经济效益,假设某放射性同 位素的衰变过程中,其含量P(单位:见克) 与时间t(单位:天)满足函数关系P(t) P。·2,其中P。为t一0时该放射性同 位素的含量,已知/一15时,该放射性同位 3、/21n2,则该放射性 素的瞬时变化率为 10 同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时间 为 ( 2 [每日格言] 1一个人几乎可以在任何他怀有无限热忱的事情上成功。 高二数学(配RJA版) [名师叮嘱 4真题体验 求复合函数的导数时,要注意看函 数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合 er 1.(2023·全国甲卷)曲线y= 在点 函数的求导法则进行计算, (1,{)处的切线方程为 ( ~ 易错二 混淆曲线在某点处的切线方程与 过某点的切线方程 [示例2] 曲线y-2xlnx十3过点( D.y-. ( 的切线方程是 ) 2.(2022·新高考全国II卷)曲线v=lnxl A.2x+y+1-0 过坐标原点的两条切线的方程为 B.2x-y+1-0 3.(2022·新高考全国I卷)若曲线y=(x十 C.2x+4y+1-0 a)e有两条过坐标原点的切线,则a的取 D.2x-4y+1-0 值范围是 [名师叮嘱 曲线在某点处的切线方程明确了 5易错警示 “某点”是切点,此时切线只有唯一一条,而过某点 易错一 对复合函数的求导法则理解不透 的切线是指切线经过“某点”,此时“某点”可能是切 致误 点,也可能不是切点,这样的切线可能是多条,所以 [示例1]已知函数f(x)在R上可导, 涉及过某点的切线的问题时,需要设出切点,写出 F(x)-f(x-1)+f(1-x),则F(1)= 切线方程,再把求切线的过程的已知点代入求解。 2[每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟,会在你需要时将你唤醒。 高二数学(配BJA版 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一)导数的概念、几何意义及其运算 斜角a的取值范围是[) 【基础诊断】 1.ABD 2.ABD 3.1 4.5x-y+2-0 答案[) 【综合应用】 7.解析 2 (1)因为/(x)-3c2-8x十5. 1.ACD )[ln(2x+1)】]-22,A正确; 所以f(2)-1,又f(2)--2. (e-)'-5e-4,B错误: 所以曲线在点(2,((2))处的切线方程为y十2一x-2. (v2-)'-1 即2-y-4-0. /2x-1 /2-1 (2)设曲线与经过点A(2.一2)的切线相切于点P(x。· C正确; -4r+5x。-4). [cos(2x+)]'-2sin(2x+).D正确.故选ACD. 因为/(xo)-3x-8xo+5. 所以切线方程为 2.BC 若直线y-2x十为f(x)图象的切线,则/(x) y-(-2)-(3xr-8.xo+5)(x-2). 2有解. 又切线过点P(xo,r-4x+5r。-4). 对于A,f(c)-<0.,'(x)不可能等于2,不符合 所以x3-4x+5x-2-(3x-8x。+5)(x-2). 整理得(x。-2)?(r。-1)-0. 题意; 解得x。-2或x。-1. 对于B,f(x)-4r,令/(x)-4-2,解得x= 所以经过点A(2,一2)的曲线f(x)的切线方程为x-y 一4-0或y+2-0. 符合题意; 【真题体验】 对于C,/(x)-e,令e一2,解得x-ln2,符合题意; 对于D,/'(x)一cosx[-1,1],故/(x)不可能等 1.C 设曲线y一 于2,不符合题意,故选BC. #(xi一1) 2ln2Po 3.D P(t)-- .P·2-*ln2,则P(15)-- 30 60 因为-_ 3v/2ln2.解得P。-18,则P(t)-18·2-,令P(1) ' 10 所以y(r+1)-ce{ (2十1)2 (2十1)2) ##以 ## -2,解得1-60.故选D. 4.D 对于A,f'(x)=1,令f(x)=f(x),则x=1,故 #y###(一1),# f(x)一:有“巧值点”: 对于B./(x)=e,令f(x)一f'(x),则xER,故f(x) 一有“巧值点”; 对于C./(x)=-sinx,令cosx--sinx. .故选C. 则sinx十cosx=0,即v2sin(x十-)-0, 2.解析 当x>0时,点(x,lnx)(x0)上的切线为 y-lnx-(xc-c1).若该切线经过原点,则lnxi-1 所以文十π-kn(kz),解得x=n-π(z), r 故函数f(x)一cosx有“巧值点”; -0.解得x一e,此时切线方程为y-. 对于D.f(x)的定义域为xlx→o),则/(x)--1 当x0时,点(x,ln(一x。))(x<0)上的切线为y 2rG ln(-x)-(r-x2).若该切线经过原点,则ln(-x2) r2 没有“巧值点”,故选D -1-0,解得x=一e,此时切线方程为y=一 5.解析 易得T'(i)--120 答_ (+52,得7'(10)=- 15 '当1一10min时,蝴赐体温的瞬时变化率为 3.解析易得曲线不过原点,设切点为(x。,(x。十a)e%). 一#/nn. 则切线斜率为/(x。)一(x。十a十1)e*. 可得切线方程为y-(x十a)e。=(x。十a十1)e。(x- 答案 xo),又切线过原点,可得一(x。十a)e。一一xo(x。十a十 1)e,化简得x十ax。一a一0(※),又切线有两条,即※ 6.解析/(c)一- 方程有两不等实根,由判别式△一a②}十4a一0,得a -]n3时 2ex3e--3,当且仅当e=3e,即x- 一4,或a0. 答案(-oo,-4)U(0,十oo) 45 署假作业 坚韧是成功的一大要素,只要在门上敲得够久够大声,终会把人唤醒的。 [每日格言] 【易错警示】 1 5.解析.f(x)-(-x十2x)e. [示例1] [解析] 由已知得F(x)=f(-1)十f(1 '. (x)=(-+2x)e+(-2x+2)e=(2-r2)e r)在R上可导, 由/(x)=(2-x2)e>0,解得-②<<②. 所以F(x)-3r}/P(r3-1)-3x}f'(1-x). 答案 (一2/②) 则F(1)-3/(0)-3/(0)-0. [答案]0 6.解析g(x)一一 [示例2] B 由题意,可得点(一,o)不在曲线y= 依题意,g(x)<0在[1,2]上恒成立, 所以a二1--2在x[1,2]上恒成立. 2.xlnx十3上,设切点为(xo,yo),因为y'-2lnx十2,所 20 以所求切线的斜率k-2lnx。+2-yo 令()-1-2re[1,2], xo+2 2所 以y-2xolnxo+2xo+lnxo+1.因为点(xo,y)是切 点,所以y-2xolnxo+3,所以2xolnxo+2x。+lnxo 所以h(x)在[1,2]上单调递减, +1-2xolnx。+3,即2x。+lnxo-2-0.设f(x)-2 十lnx-2(x0),明显f(x)在(0,十)上单调递增,且 f(1)-0,所以2x。+lnxr。-2-0有唯一解x。-1,则所 求切线的斜率k-2,故所求切线方程为y-2(x+) 答案(--] -2r+1,即2x-y+1-0. 7.解析 (1):/(c)-1_+n x, 作业(二)导数与函数的单调性 dx 【基础诊断】 ./(c)-1(ao). 1.B 2.CD3.(o.1) 4-4 ? “·函数/(x)在1,十)上为增函数, 【综合应用】 ./()-“0对x[1+o)恒成立, 1.BC 由题图知,当x(1,2)和(4,5)时,/(x)>0. ,2 所以f(x)在区间(1,2),(4,5)上均单调递增,故B、C 'ax-10对x[1,+o)恒成立, 正确; 即士对x[1,十c)恒成立,.a1. 当x(-2,-1)时,/(x) 0,当x(-1,1)时,f(x) 0. #)- 所以f(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上 (2)':a-0.f'(x)-二 单调递增,故A错误; 72 当x(-3,一2)时,/(x)0. 当a0时,/(x)>0对x(0,+oo)恒成立, 所以f(x)在区间(一3,一2)上单调递减,故D错误,故 '/(x)的单调递增区间为(0,十). 选BC. 2.D 因为f(x)一x(e一e),xR,定义域关于原点对 称,且f(-x)--r(e--e)-x(e-e)-f(r). 所以f(x)是偶函数, .f(c)的单调递增区间为(,+),单调递减区间 当x>0时,f(x)--e十x(e+e)>0. 所以f(x)在(0,十o)上单调递增. 为(0.). 3.A设f(x)#-ln(a>o)>→f'(x)-1-1nx,当x>。 2 综上,当a0时,f(x)在定义域(0,十oo)上单调递增; 时,/'(x)<0,/(.c)单调递减,a-1-f(e),b-1n7 (o.)上单调减,在 当a>0时,/(x)在 f(7).c-ln-f(5),因为7>5>e,所以/(7)<f(5) ()上单调递增. </(e),即b<c<a,故选A. 8.解析 (1)由题可得/(x)=(2ax-1)e十(ar*-x- 4.AB 设g(x)-ef(x). 1e-ar?+(2a-1)x-2]e,./(0)=-2. 对于A,g(x)-e^·2--()在定义域R上是增函 又/(0)--1. '.所求切线方程为y+1--2x,即2x+y+1-0. 数,故A正确; (2)易知函数/(x)的定义域为R,/(x)一[ar2}十(2a一 对于B,g(x)-(r2+2)e{,g'(x)=(x2+2x+2)e- 1)r-2]er-(ar-1)(r+2)e. [(x+1)+1]e>0, ①当a>o时,令/(c)>o,得x<-2或x1; 所以g(x)在定义域R上是增函数,故B正确; 对于C.g(c)一e{·3-r-()在定义域R上是减画 令/(x)<0,得-2r1 数,C不正确; 故/(c)的单调递增区间为(-o,-2).(,十)单 对于D.g(x)=e·cos x,则g'(x)-v2e’cos(c+). 调递减区间为(一2,). ())0在定义域R上不恒成立,D不正确 46