第11讲 等腰三角形的判定定理（2个知识点+7种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 等腰三角形的判定定理 （2个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【例1】（2023秋•西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式1】（2023秋•嵊州市期中）在中，，当　　时，为等腰三角形． 【变式2】（2023秋•杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是　　 A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【变式3】（2023秋•嵊州市期中）如图，在四边形中，，，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 　　． 【变式4】（2023秋•拱墅区期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）若，，为中点，求的长； （2）求证：是等腰三角形． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【例2】（2023秋•鄞州区期中）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 　　． 【变式1】（2023秋•浙江期中）如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是　　 A．平分 B． C． D． 【变式2】（2022秋•灵宝市期末）如图，中，、分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【变式3】（2023秋•南浔区期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 　　． 【变式4】（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，为的中点，求的长． 经典题型汇编 题型一、格点图中画等腰三角形 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 2．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积 ．    6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点B，E，F，C在同一直线上，，求证：． 题型三、根据等角对等边证明边相等 7．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，平分，平分，且，设，，，则的周长为（    ）    A．34 B．32 C．30 D．28 8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，，若，，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：． 要证明（1）中结论成立，下列四位同学的观点： 小亚说：需添加条件“”． 小运说：无需添加条件． 小龙说：需添加条件“”． 小舟说：需添加条件“”． 你赞同哪一位同学的观点？并进行证明． (2)在（1）的条件下，若平分，求证：． 题型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则 12．（19-20八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标是（2，1），函数的图象是直线，平移直线使其经过点，记作直线. （1）求直线的函数表达式； （2）求直线于直线之间的距离； （3）如果在直线上有一点，使得是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标. 题型五、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 13．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（19-20八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 15．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 题型六、作等腰三角形（尺规作图） 16．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，在4×4方格中，点A、B在格点上，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出 个. 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型七、等腰三角形的性质和判定 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 21．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点E，F，分别在，上，求证： (1)； (2)． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 2．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，上午8时，一艘船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，9时40分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，则B处到灯塔C的距离是(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（23-24八年级上·浙江金华·期中）下列命题：①有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为 5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（八年级上·浙江绍兴·期中）如图,直线l是矩形ABCD的一条对称轴,AD=2AB,点P是直线l上一点,且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形,则满足条件的点P共有(     )个. A．1 B．2 C．3 D．5 5．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 6．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．（2022·浙江丽水·一模）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 9．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（    ）个．    A．6 B．7 C．8 D．9 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，与中，，，，与交于点F，，的面积为32，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ． 12．（20-21八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 13．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，等边中，，平分交边于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，当为等腰三角形时，的值为 ． 14．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    15．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，，则的值为 ． 16．（八年级上·浙江金华·期中）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 个． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 18．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，是等边三角形，，延长到点，使．    (1)求的度数； (2)请你猜想与的数量关系，并证明你的结论． 19．（八年级上·浙江·阶段练习）如图，在直线a上找一点M，使△MAB是等腰三角形. （1）这样的M点有 个. （2）在图中画出点M，保留痕迹. 20．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，连结，在对角线上取点E，连接．若，．    (1)求证：． (2)若平分，且，求的长． 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 (1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； (2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 23．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，动点P从C出发，按照的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为． （1）BC边上的高为________；AB边上的高为________． （2）当时，求t的值； （3）若是等腰三角形，求出满足条件t的值． 24．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）直角三角形中，，直线过点．    （1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点，与是否全等，并说明理由；    （2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，点是上一点，点是上一点，分别过点作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒，当为等腰直角三角形时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 等腰三角形的判定定理 （2个知识点+7种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【例1】（2023秋•西湖区期末）中，是中线，点到，的距离相等，则一定是　　 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据中线的性质得出，再由点到，的距离相等，得出，从而得出一定是等腰三角形． 【解答】解：是中线， ， 到，的距离相等， ， 一定是等腰三角形， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 【变式1】（2023秋•嵊州市期中）在中，，当　、、　时，为等腰三角形． 【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出的值，即可解决问题． 【解答】解：若为顶角，且， 则 ； 若为底角，且为底角， 则； 若为底角，且为顶角， 则， ， 故答案为、、． 【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析． 【变式2】（2023秋•杭州期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是　　 A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【分析】分五种情形，判断可得结论． 【解答】解：连接，，． 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法，学会用分类讨论的射线解决问题． 【变式3】（2023秋•嵊州市期中）如图，在四边形中，，，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 　10　． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明，，然后根据等角对等边得出，，最后根据线段的和差求解即可． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，根据等腰三角形的判定得出，是解题的关键． 【变式4】（2023秋•拱墅区期中）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）若，，为中点，求的长； （2）求证：是等腰三角形． 【分析】（1）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； 【解答】解：（1）过点作，垂足为， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的长为8． （2），， ， ， ，即， ， 是等腰三角形． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，关键是对这些性质的掌握和运用． 知识点2．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【例2】（2023秋•鄞州区期中）如图，的面积为，垂直的平分线于点，则的面积为 　4　． 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积． 【解答】解：延长交于， 垂直的平分线于， ， 又知，， ， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点． 【变式1】（2023秋•浙江期中）如图，已知钝角三角形，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以为圆心，为半径画弧①； 步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点； 步骤3：连结，交的延长线于点． 下列叙述正确的是　　 A．平分 B． C． D． 【分析】连接，，先证明，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出． 【解答】解：连接，， 由题意得，，， 是等腰三角形， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题关键． 【变式2】（2022秋•灵宝市期末）如图，中，、分别平分和，过点作交于点，交于点，那么下列结论： ①； ②为等腰三角形； ③的周长等于的周长； ④．其中正确的是　　 A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出； ②同理可得，则为等腰三角形； ③用特殊值法，当为等边三角形时，连接，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出，进而得，便可得出的周长不等于的周长； ④利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的和之间的关系式． 【解答】解：①是的角平分线， ， 又， ， ， 故①正确； ②同理， ， 为等腰三角形， 故②正确； ③假设为等边三角形，则，如图，连接， ，， ，， 的周长， 是，的平分线的交点， 第三条平分线必过其点， 即平分， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即的周长的周长， 故③错误； ④在中，①， 在中，， 即②， ②①得，， 故④正确； 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质，以及三角形内角和定理解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．尤其是第③小题在常规方法不能判断正误时，可采用的特殊值法进行判断，也即是举反例的方法． 【变式3】（2023秋•南浔区期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 　3或2.5　． 【分析】本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【解答】解：是腰长时，底边为， ， 、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， ， 、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：3或2.5． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 【变式4】（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，为的中点，求的长． 【分析】（1）因为，所以，再利用进行角之间的转换，得出，推导出是等腰三角形； （2）根据勾股定理计算的长． 【解答】解：（1）证明：在中，， ， ， ，， ， 又， ， 是等腰三角形； （2）为的中点， ， 是等腰三角形， ， ， ， 答：的长为12． 【点评】本题考查的重点是等腰三角形的定义，熟练运用角度之间的转换，掌握勾股定理求线段的长度． 经典题型汇编 题型一、格点图中画等腰三角形 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    【答案】4 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置； 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【答案】(1)答案见解析（答案不唯一） (2)答案见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 题型二、根据等角对等边证明等腰三角形 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，，所以，所以是等腰三角形； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形； C、因为 ，所以，则，所以是等腰三角形； D、因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形． 故选：D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键． 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积 ．    【答案】 【分析】先证明，作交的延长线于点F，由角平分线的性质得到，即可得到的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理、平行线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，点B，E，F，C在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，由可得，结合，即可求证，进而得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∴． 题型三、根据等角对等边证明边相等 7．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，平分，平分，且，设，，，则的周长为（    ）    A．34 B．32 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是基础知识要熟练掌握．根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵设，， ∴的周长为： ． 故选：C． 8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．设与延长线交于E点，根据等边对等角可得，根据证明，可得，从而可求、的长度． 【详解】解：如图，设与延长线交于E点． ∵， ∴． 又∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：． 要证明（1）中结论成立，下列四位同学的观点： 小亚说：需添加条件“”． 小运说：无需添加条件． 小龙说：需添加条件“”． 小舟说：需添加条件“”． 你赞同哪一位同学的观点？并进行证明． (2)在（1）的条件下，若平分，求证：． 【答案】(1)赞同小龙同学的说法，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，全等三角形的性质与等腰三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）由添加可得，再利用证明即可，可得小龙同学的说法正确； （2）先证明，可得，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：赞同小龙同学的说法，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型四、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，分别以、为圆心，以的长为半径作圆与相交，再作的垂直平分线与相交，交点即为所求的点． 【详解】解：如图，满足条件的点有3个． 故选：A． 11．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，且为最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则 【答案】123°或132°或90°或48° 【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解． 【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD， 由题意可得：∠DBC=∠BDC=（180°-∠C）÷2=82°， ∴∠ABD=∠BAD=∠BDC=41°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=123°， ∵∠ADB=180°-82°=98°， 则在BC=CD的前提下只有AD=BD； 如图，若CD=BD，AB=BD， 由题意可得：∠DBC=∠C=16°， ∴∠ADB=2∠C=32°， ∴∠A=∠ADB=32°， ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=116°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=132°， 符合最小的内角为∠C=16°， 如图，若BD=CD，AB=AD， 则∠C=∠DBC=16°， ∴∠ADB=∠ABD=2∠C=32°， ∴∠A=180°-2×32°=116°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°； 如图，若BD=CD，AD=BD， ∴∠ADB=2∠C=2∠DBC=32°， ∴∠A=∠ABD=（180°-32°）÷2=74°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°； 若BD=BC， 则∠C=∠CDB=16°， ∴∠ADB=180°-∠CDB=164°， 则只能满足AD=BD， ∴∠A=∠CDB=8°， 即∠A＜∠C，不满足； 综上：∠ABC的度数为123°或132°或90°或48°． 故答案为：123°或132°或90°或48°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是画出图形，分情况讨论． 12．（19-20八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标是（2，1），函数的图象是直线，平移直线使其经过点，记作直线. （1）求直线的函数表达式； （2）求直线于直线之间的距离； （3）如果在直线上有一点，使得是以为腰的等腰三角形，求出点的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据两直线平行时，解析式中k值相同设出解析式，再将A点坐标代入即可； （2）在平面直角坐标系中画出两函数的图像，设与轴分别交于点，根据M、N的坐标和勾股定理求出MN，过点O作，即为两直线距离, 再根据△MON的面积两种求法即可求出； （3）根据等腰三角形腰的情况分类：①当时，此时也有两种情况，根据A、P1两点关于轴对称即可求出P1点坐标；根据A、P2两点关于轴对称即可求出P2点坐标；②当时，作，根据A的坐标求出OA，再根据（2）的结论即可得，然后根据勾股定理即可求出OM从而求出，再根据在直线上，设出坐标列方程即可. 【详解】解：（1）∵∥ ∴设解析式是 将代入中得： 故解析式是 （2）如图：设与轴分别交于点 ∵解析式是， 在中，根据勾股定理易得： 过点O作，即为两直线距离, 解得： 两直线距离是 （3）是以为腰的等腰三角形，故有以下两种情况： ①    当时，如图： 当时， ，时， 两点关于轴对称， 当时，两点关于原点对称，此时 ②    当时，如图： 作 , 又在直线上，由（2）易得： 又 根据勾股定理： ∵在直线上 设， 解得： 在第四象限， 综上：当是以为腰的等腰三角形时， 【点睛】此题考查的是一次函数的几何应用，掌握一次函数的图像和性质、利用等面积法求平行线之间的距离和根据等腰三角形腰的情况分类讨论是解决此题的关键. 题型五、求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 13．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 14．（19-20八年级·浙江杭州·期末）如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ． 【答案】100°或55°或70° 【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解． 【详解】解：①如图1，点P在AB上时，AP=AC，顶角为∠A=100°， ②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°， ∴∠ACB=180°-25°-100°=55°， 如图2，点P在BC上时，若AC=PC，顶角为∠ACB=55°， 如图3，若AC=AP，则顶角为∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°， 综上所述，顶角为105°或55°或70°． 故答案为：100°或55°或70°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观． 15．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 题型六、作等腰三角形（尺规作图） 16．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，PA＝PC，由此判断即可． 【详解】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC， ∴PA＝PC， ∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC， 故选：C． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 17．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，在4×4方格中，点A、B在格点上，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出 个. 【答案】7 【分析】为不漏情况，需分类讨论：当点B为顶角的顶点，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当点A为顶角的顶点时，即以点B为圆心AB长为半径画圆，与网格的交点为格点的就符合题意，注意三点不在一线上；当AB为底边时，作AB的垂直平分线，该线与网格的交点为格点时就符合题意，注意三点不在一线上. 【详解】如图， 以B为顶角时，有4个符合题意的点； 以A为顶角时，有3个符合题意的点； 以AB为底时，没有符合题意的点. 故总共有7个点符合题意. 故答案为7 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了等腰三角形的定义. 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中． (1)作的平分线． (2)作线段的垂直平分线．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作； （1）利用基本作图作平分， （2）利用基本作图作垂直平分； 【详解】（1）解：如图，为所作； 以为圆心，小于的长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心任意长为半径画弧交于一点，连接点和这点即可； （2）如图，为所作； 分别以点、点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，连接交于两点即可． 题型七、等腰三角形的性质和判定 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上（不与点，重合），连接．（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，等腰三角形的性质是解答本题的关键． 过点作，过点作于点，得到是的中位线，得到，进而得到，根据等腰三角形的性质，得到，再根据三角形角和边的关系得到答案． 【详解】解：根据题意， 如图，过点作，过点作于点，    点是边的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则， 故选：． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，，再结合，可得，然后根据三角形“三线合一”的性质，即可获得答案． 【详解】解：延长，交于点，如下图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：0.6． 21．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）在中，，点E，F，分别在，上，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）证明即可得到结论； （2）证明，可得，，结合线段的和差可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， 即． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案． 【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意； D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：A． 2．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，上午8时，一艘船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，9时40分到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，则B处到灯塔C的距离是(　　) A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，根据等腰三角形的性质，即可得出BC的值． 【详解】据题意得：∠A=26°，∠NBC=52°． ∴∠C=∠NBC-∠A=52°-26°=26°， ∴∠A=∠C=26°， ∴AB=BC． ∵AB=1525， ∴BC=25(海里)． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识解决实际问题的方法． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期中）下列命题：①有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；④已知等腰三角形的两边长分别为 5和6，则这个等腰三角形的周长为16．其中正确的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、命题与定理，由等边三角形的判定、等腰三角形的性质，逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质． 【详解】解：①有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，正确，故①符合题意； ②等腰三角形两腰上的高相等，正确，故②符合题意； ③等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，正确，故③符合题意； ④已知等腰三角形的两边长分别为 5和6，则这个等腰三角形的周长为16或17，故④不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 4．（八年级上·浙江绍兴·期中）如图,直线l是矩形ABCD的一条对称轴,AD=2AB,点P是直线l上一点,且使得△PAB和△PBC均为等腰三角形,则满足条件的点P共有(     )个. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2．只要证明四边形ABP2P1是正方形，可知△ABP1，△ABP2是等腰三角形，作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形，再考虑△PBC是等腰三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，设直线l交AD于P1，交BC于P2． ∵四边形ABCD是矩形，直线l是对称轴， ∴四边形ABP2P1是正方形， ∵AD=2AB， ∴AP1=AP2， ∴四边形ABP2P1是正方形， ∴△ABP1，△ABP2是等腰三角形， 作AB的垂直平分线交直线l于P3，则△ABP3是等腰三角形， 同时满足△PBC是等腰三角形的点只有P1，P3， ∴满足条件的点P共有2个， 故选B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的判定、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点F、G，若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，进而可得，，进而可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， 故选C． 6．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，是的平分线，， 交于E，则图中等腰三角形的个数是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； ∵， ∴是等腰三角形； 综上，等腰三角形共有5个； 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键． 7．（2022·浙江丽水·一模）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定判断即可． 【详解】A、由图可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； B、由图可知，分别以点B，点A为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点D， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； C、由图可知，分别以点B，点C为圆心，大于为半径画圆弧，连接弧线，交于点D， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴不是等腰三角形． ∵， ∴， ∴不是等腰三角形，符合题意； D、由图可知为的角平分线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查尺规作图和等腰三角形的判定，解题的关键是掌握基本的尺规作图． 8．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 9．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，点A，B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，如果以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有格点C有（    ）个．    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：如图：    分三种情况： 当时，以点为圆心，以长半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，以点为圆心，以长半径作圆，交正方形网格的格点为，； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为，，，； 综上所述：满足条件的所有格点有8个， 故选：． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，与中，，，，与交于点F，，的面积为32，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】连接，证明，得到，证明，可证明，再利用面积的转换，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故可得， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知交于点，且，若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故答案为：8． 12．（20-21八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有 个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时； ②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时． ④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时， ⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时． ⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时． ⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 13．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，等边中，，平分交边于点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，当为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】，6， 【分析】分、、三种情况分别讨论求的值即可． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴当时，过点作，交于点，则， 在中，， ，即， 当时，此时，即， 当时，此时，，即， 综上可知当为等腰三角形时的值为，6，， 故答案为：，6，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 14．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【详解】如图，过点D作于点E，作于点G， ∵点是平分线上的一点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    15．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 16．（17-18八年级上·浙江金华·期中）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形的网格，在格点中找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有 个． 【答案】6 【分析】分别以点A和点B为半径画弧，作出AB的垂直平分线，即可找出点C． 【详解】解： 如图，以点A为圆心，AB长为半径画弧，与格点有2个交点；此时以A为顶点，AC=AB，这样的C点有2个； 如图，以点B为圆心，AB长为半径画弧，与格点有5个交点，其中一个交点与AB在同一直线上不能构成三角形；故此时以B为顶点，BC=BA，这样的C点有4个； 如图，作AB的垂直平分线，与格点没有交点：故不存在点C使AC=BC， 所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有2+4=6（个）． 故答案为6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．也考查了勾股定理． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，是等边三角形，，延长到点，使．    (1)求的度数； (2)请你猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)与相等，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形外角的定义及性质可得； （2）由等边三角形的性质结合可得，再由可得． 【详解】（1）解：为等边三角形， ∴， ， ， ， ； （2）解：与相等 证明：为等边三角形，， ， ， ． 19．（八年级上·浙江·阶段练习）如图，在直线a上找一点M，使△MAB是等腰三角形. （1）这样的M点有 个. （2）在图中画出点M，保留痕迹. 【答案】（1）4；（2）见解析 【分析】（1）分AB为腰和底两种情况分别确定点M即可； （2）由（1）作图即可. 【详解】（1）以AB为腰的M点有3个，以AB为底的M点有1个， 所以，这样的M点有4个； （2）如图所示： 【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的判定. 20．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，连结，在对角线上取点E，连接．若，．    (1)求证：． (2)若平分，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质和角平分线定理可得出，和利用等角对等边即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又， ∴ ∴， ∴， 又， ∴． 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为 (1)在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； (2)在图乙中画一个三角形与全等，且有一条公共边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在图甲中画一个面积为8的等腰三角形； （2）在图乙中画一个以为公共边的三角形与全等． 【详解】（1）解：如图甲中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图乙中，即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和三角形的面积，解决本题的关键是借助网格解决问题． 22．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在如图的的正三角形网格中，每个小正三角形的边长为1，如图，的顶点均在格点上，请按要求作格点图形． (1)在图（甲）中，在小正三角形顶点上求作点P，使得与全等； (2)在图（乙）中，在右侧的小正三角形顶点上求作点G（除E点外），使为等腰三角形且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图（甲），在上取，使， 由，可得，证明，则点即为所求； （2）如图（乙），连接，则是线段的垂直平分线，取与格点的一个交点为，则，点即为所求． 【详解】（1）解：如图（甲），在上取，使， 由题意知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图（乙），连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， 取与格点的一个交点为，连接， ∴， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形等知识．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作等腰三角形是解题的关键．． 23．（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，动点P从C出发，按照的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为． （1）BC边上的高为________；AB边上的高为________． （2）当时，求t的值； （3）若是等腰三角形，求出满足条件t的值． 【答案】（1），；（2）；（3）3.9或5或 【分析】（1）如图1中，作AH⊥BC于H．根据S△ABC=•BC•AH=•AC•BD求解即可． （2）证明△APC≌△ADB（SAS），可得AP=AD，求出AD即可解决问题． （3）分三种情形：①CA=CP，②CA=AP，③AP=PC，由等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）如图1中，作于． ， ， ， ， ， 边上的高为，AC边上的高为9.6cm， ∴AB边上的高为9.6cm， 故答案为：，； （2）证明：如图2中， ，， ， ，， ， ， ． （3）分三种情况：①如图3，当时，点在上， 过点作于点， ， ， 由（2）可知，， ， ． ②如图4，当时，点与点重合， ， ， ③如图5，当时，点在上，过点作于． ，， ， 由（1）可知：， 点在上， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为3.9或5或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 24．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）直角三角形中，，直线过点．    （1）当时，如图1，分别过点和作直线于点，直线于点，与是否全等，并说明理由；    （2）当，时，如图2，点与点关于直线对称，连接，点是上一点，点是上一点，分别过点作直线于点，直线于点，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点从点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为，点同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒，当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1）全等，理由见解析；（2）t=3.5秒或5秒 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE； （2）分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可； 【详解】解：（1）△ACD与△CBE全等． 理由如下：∵AD⊥直线l， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）由题意得，AM=t，FN=3t， 则CM=8-t， 由折叠的性质可知，CF=CB=6， ∴CN=6-3t， 点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形， 当点N沿C→B路径运动时，由题意得，8-t=3t-6， 解得，t=3.5， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t， 解得，t=5， 综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形； 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$