作业(一) 数列的概念及其函数特征-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

高二数学(配BSD版) 第一部分 温故知新 数列的概念及其函数特征 1.数列的有关概念 (1)数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列,数列 中的每一个数叫作这个数列的项. (2)数列的分类 项数有限的数列称为有穷数列;项数无限 的数列称为无穷数列. 2.数列与函数的关系 数列可以看作定义域为正整数集 N+(或 其子集)的函数. 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an 与n之间的函数 关系可以用一个式子表示成an=f(n),那 么这个式子就叫作这个数列的通项公式, 数列的通项公式就是相应函数的解析式. [拓展] 关于数列通项公式的说明 (1)并非每一个数列都有通项公式. (2)数列通项公式的形式不是唯一的. (3)数列的通项公式可以用分段函数表示. (4)数列的通项公式实际就是相应函数的解析式. 4.数列的图象 可以把一个数列视作定义在正整数集(或 其子集)上的函数,因此可以用图象(平面 直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象 中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这 个图象也称为数列的图象. 5.数列的增减性 递增数列 一般地,一个数列{an},如果从第2项 起,每一项都大于它的前一项,即an+1 >an,那么这个数列叫作递增数列 递减数列 一般地,一个数列{an},如果从第2项 起,每一项都小于它的前一项,即an+1 <an,那么这个数列叫作递减数列 常数列 一般地,如果数列{an}的各项都相等, 那么这个数列叫作常数列 1.(多选)已知数列{an}的通项公式为an= 9+12n,则下列各数是{an}的项的是 ( ) A.21 B.33 C.152 D.153 2.有下列命题: ①数列23 ,3 4 ,4 5 ,5 6 ,…的一个通项公式是 an= n n+1 ; ②数列的图象是一群孤立的点; ③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1, -1,1,…是同一数列; ④数列12 ,1 4 ,…,1 2n 是递增数列. 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— 3.数列{an}的前几项为 1 2 ,3,112 ,8,212 ,…,则 此数列的通项公式可能是 ( ) A.an= 5n-4 2 B.an= 3n-2 2 C.an= 6n-5 2 D.an= 10n-9 2 4.已知数列{an}的通项公式为an=2024- 5n,则使an>0成立的正整数n的最大值 为 . 1.(2024·重庆月考)下面四个数列中,既是 无穷数列又是递增数列的是 ( ) A.1,12 ,1 3 ,1 4 ,… B.sinπ7 ,sin2π7 ,sin3π7 ,… C.-1,-12 ,-14 ,-18 ,… D.1,2,3,…,21 2.(2024·南通期末)在数列{an}中,若an= 2n-1,n为奇数, 2n-1,n为偶数, 则a4+a5 的值为 ( ) A.17 B.23 C.25 D.41 3.已知数列{an}的首项a1=1,且满足an+1= 1 2an+ 1 2n ,此数列的第3项是 ( ) A.1 B.12 C.34 D. 5 8 4.(多选)下列四个命题中,正确的有 ( ) A.数列 n+1n 的第k项为1+1k B.已知数列{an}的通项公式为an=n2- n-50,则-8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式 为an=2n-1 D.数列{an}的通项公式为an= n n+1 ,则数 列{an}是递增数列 5.数列{an}中,an=-n2+11n(n∈N+),则 此数列最大项的值是 . 6.写出一个符合下列要求的数列{an}的通项 公式:①{an}是无穷数列;②{an}是单调递 减数列;③-2<an<0.这个数列的通项公 式可以是 . 7.已知数列{an}的通项公式是an= 9n2-9n+2 9n2-1 . (1)写出该数列的第10项; (2)98101 是不是该数列中的项? 为什么? (3)在区间 13 ,2 3 内是否存在数列中的 项? 若存在,求出有几项;若不存在,请说 明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— 高二数学(配BSD版) 8.已知在数列{an}中,an=1+ 1 a+2(n-1) (n∈N+, a∈R,且a≠0). (1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和 最小项的值; (2)若对任意的n∈N+,都有an≤a6 成立, 求实数a的取值范围. 1.(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探 月任务后,继续进行深空探测,成为我国第 一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦 娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值, 用到数列{bn}:b1=1+ 1 a1 ,b2=1+ 1 a1+ 1 a2 , b3=1+ 1 a1+ 1 a2+ 1 a3 ,…,依此类推,其中 ak∈N+(k=1,2,…).则 ( ) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7 2.(2021·北京卷)数列{an}是递增的整数数 列,且a1≥3,a1+a2+…+an=100,则n 的最大值为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 易错一 忽略数列与函数的区别而致错 [示例1] 已知函数f(x)= ax-5,x≥6, 4-a2 x+4,x<6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 数列{an}满足an=f(n)(n∈N+),且数列 {an}是递增数列,则实数a的取值范围是 . [名师叮嘱] 本题考查的是分段数列的单调性, 要注意与分段函数的区别,分段函数的单调性不但 要求各段函数的单调性一致,而且还要使分界点处 两函数的单调性与整体保持一致.本题的易错之处 是只考虑各段数列的单调性而忽视分界点处各段 数列值的大小关系,即f(5)<f(6).若本题改为函 数f(x)= ax-5,x≥6, 4-a2 x+4,x<6 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是增函数,则不但 要考虑各段函数的单调性,而且还要考虑a6-5≥ 4-a2 ×6+4. 易错二 已知Sn 求an 时,不要忽视n=1 [示例2] (2024·孝感期末)已 知 数 列 {an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+4,则 an= . [名师叮嘱] 已知Sn 求an 时,要注意an=Sn- Sn-1(n≥2)的限制条件,若n=1时,a1=S1 符合an (n≥2)的式子,则数列的通项公式可以合并为一个 式子,否则an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2,n∈N+ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 高二数学(配BSD版) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案 第一部分 温故知新 作业(一) 数列的概念及其函数特征 【基础诊断】 1.ABD 2.A 3.A 4.404 【综合应用】 1.C 观察可知,A中数列是递减数列,B中数列是摆动数 列,D中数列是有穷数列,均不符合题意.故选C. 2.A 由题意得a4+a5=23+2×5-1=17.故选A. 3.C a1=1,a2= 1 2a1+ 1 2=1 , a3= 1 2a2+ 1 2×2= 3 4. 4.ABD 对于A,数列 n+1n 的第k 项为k+1k =1+1k, A正确;对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6 (舍去),B正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项均减 去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{bn},则其通项公 式为bn=2n,因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式 为an=bn+1=2n+1,C错误;对于D,an= n n+1=1- 1 n+1 ,则an+1-an= 1 n+1- 1 n+2= 1 (n+1)(n+2)>0 , 因此数列{an}是递增数列,D正确.故选ABD. 5.解析 若an 最大,则 an≥an-1, an≥an+1 (n≥2), 即 -n2+11n≥-(n-1)2+11(n-1), -n2+11n≥-(n+1)2+11(n+1), 解得5≤n≤6.因为n∈N+,所以当n=5或n=6时, an 取最大值30. 答案 30 6.解析 令an=-2+ 1 n (n∈N+),则an=-2+ 1 n 在定 义域上单调递减,又-2<-2+1n<0 ,所以满足3个条 件的数列的通项公式可以是an=-2+ 1 n (n∈N+). 答案 an=-2+ 1 n (n∈N+)(答案不唯一) 7.解析 an= 9n2-9n+2 9n2-1 = (3n-1)(3n-2) (3n-1)(3n+1)= 3n-2 3n+1. (1)令n=10,得a10= 3×10-2 3×10+1= 28 31. (2)令an= 3n-2 3n+1= 98 101 ,得n=1003 ,不是正整数,所以 98 101 不是数列{an}中的项. (3)令13< 3n-2 3n+1< 2 3 ,得7 6<n< 8 3 ,又n∈N+,故n=2, 所以在区间 1 3 ,2 3 内,存在数列中的项,且只有一项, 为数列的第2项. 8.解析 (1)解法一 ∵a=-7,∴an=1+ 1 2n-9. 结合函数f(x)=1+ 12x-9 的单调性, 可知1>a1>a2>a3>a4;a5>a6>a7>…>an>1(n∈ N+), ∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. 解法二 ∵a=-7,∴an=1+ 1 2n-9. 设数列中的最大项为an,则 an≥an-1, an≥an+1 (n≥2且n∈N+),即 1+ 12n-9≥1+ 1 2(n-1)-9 , 1+ 12n-9≥1+ 1 2(n+1)-9 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 9 2<n< 11 2. 又n≥2且n∈N+,∴n=5,即数列{an}中的最大项为 a5=2. 同理可得,数列{an}中的最小项为a4=0. (2)an=1+ 1 a+2(n-1)=1+ 1 2 n-2-a2 . ∵对任意的n∈N+,都有an≤a6成立, ∴结合函数f(x)=1+ 1 2 x-2-a2 的单调性, 知5<2-a2 <6 , ∴-10<a<-8. 故实数a的取值范围为(-10,-8). 【真题体验】 1.D (取特殊值)取an=1,于是有b1=2,b2= 3 2 ,b3= 5 3 ,b4= 8 5 ,…, 分子分母分别构成斐波那契数列,于是有b5= 13 8 ,b6= 21 13 ,b7= 34 21 ,b8= 55 34. 于是得b1>b5,b3=1+ 2 3>1+ 22 33>1+ 21 34=b8 ,b6= 1+813>1+ 1 2=b2. 对比选项,选D. 2.C 若要使n尽可能的大,则递增幅度要尽可能小,不妨 设数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列,其前n项 和为Sn, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 则an=n+2,S11= 3+13 2 ×11=88<100 , S12= 3+14 2 ×12=102>100 , 所以n的最大值为11.故选C. 【易错警示】 [示例1] [解析] 由题意得 a>1, 4-a2>0 , f(5)<f(6), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 48 7<a<8. [答案] 487 ,8 [示例2] [解析] ∵数列{an}的前n项和Sn=n2+4(n ∈N+),∴当n=1时,a1=S1=1+4=5;当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.又当 n=1时,a1=5≠1, ∴an= 5,n=1, 2n-1,n≥2,n∈N+. [答案] an= 5,n=1, 2n-1,n≥2,n∈N+ 作业(二) 等差数列 【基础诊断】 1.C 2.B 3.126 4.-143 ,-4 【综合应用】 1.C ∵a3+a7=6,a12=17, ∴ a1+2d+a1+6d=6, a1+11d=17, 可得 a1=-5 , d=2, ∴S16=16×(-5)+ 16×15 2 ×2=160 ,故选C. 2.B 设等差数列{an}的公差为d, 则S30=(a1+a4+…+a28)+(a2+a5+…+a29)+(a3 +a6+…+a30)=(a3+a6+…+a30)-20d+(a3+a6 +…+a30)-10d+(a3+a6+…+a30)=180-30d= 120,解得d=2. 又S30=30a1+ 30×29 2 ×2=120 , 解得a1=-25. 所以an=-25+(n-1)×2=2n-27,故选B. 3.BCD 由于S9=S10=S9+a10,所以a10=0,B正确.由 于S10<S11=S10+a11,所 以a11>0,所 以d>0,A 错误. 由于d>0,a10=0,所以当1≤n≤9,n∈N+ 时,an<0, 所以S8>S9=S8+a9,D正确. S18= a1+a18 2 ×18=9 (a9+a10)=9a9<0,C正确.故 选BCD. 4.AC 根据题意,数列{an}是等差数列,则a1+5a3=S8, 即a1+5a1+10d=8a1+28d,变形可得a1=-9d. 又由an=a1+(n-1)d=(n-10)d, 得a10=0,故A正确; 不能确定a1 和d 的符号,不能确定S10最小,故B不 正确; 又由Sn=na1+ n(n-1)d 2 =-9nd+ n(n-1)d 2 = d 2× (n2-19n), 得S7=S12,故C正确; S20=20a1+ 20×19 2 d=-180d+190d=10d. 因为d≠0,所以S20≠0,故D不正确. 5.解析 由S5=10得a3=2,因为a1+a22=-3,所以a3 -2d+(a3-d)2=2-2d+(2-d)2=-3⇒d=3,a9= a3+6d=2+3×6=20. 答案 20 6.解析 令S5=t,则由 S5 S10 =13 ,得S10-S5=2t. 又由等差数列{an}的性质得S5,S10-S5,S15-S10,S20 -S15成等差数列, 故有S10-S5=2t,S15-S10=3t,S20-S15=4t, 相加可得S20-S5=9t,所以S20=10t,又S10=3t, 所以 S5 S20+S10 = t10t+3t= 1 13. 答案 113 7.解析 (1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3 =3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所 以Sn=na1+ n(n-1) 2 d=2n+ n(n-1) 2 ×2=n 2+n, 所以Sk=k2+k, 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去), 故a=2,k=10. (2)证明 由(1)得Sn=n2+n=n(n+1), 则bn= Sn n =n+1 , 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,又b1= S1 1=2 , 即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列, 所以Tn= n(2+n+1) 2 = n(n+3) 2 . 8.解析 (1)设等差数列的公差为d, 由题意可得 a2=a1+d=11, S10=10a1+ 10×9 2 d=40 , 即 a1+d=11, 2a1+9d=8, 解得 a1=13 , d=-2, 所以an=13-2n-1 =15-2n. (2)因为Sn= n 13+15-2n 2 =14n-n 2, 令an=15-2n>0,解得n< 15 2 ,且n∈N+, 当n≤7时,则an>0,可得 Tn= a1 + a2 +…+ an =a1+a2+…+an=Sn=14n-n2; 当n≥8时,则an<0,可得 Tn= a1 + a2 +…+ an = a1+a2+…+a7 - a8+…+an =S7 - Sn-S7 =2S7 -Sn =2 14×7-72 - 14n-n2 =n2-14n+98. 综上所述Tn= 14n-n2,n≤7, n2-14n+98,n≥8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24—