作业(四) 数列在日常经济生活中的应用-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

数列在日常经济生活中的应用 1.构建数列模型解决实际问题的基本步骤 数列在现实生活中有着广泛的应用,所以构 建数列模型解决实际问题在实际应用中占有 一定的地位.其解题的基本步骤: (1)认真审题,将实际问题转化为数列模型. (2)挖掘题目的条件,分析该数列是等差数 列,还是等比数列,分清所求的是项的问 题,还是和的问题.如果数列既不是等差数 列,也不是等比数列,则分析可否构建数列 的递推关系,然后利用数列的有关知识进 行解答,得出结果. (3)检验结果,写出答案. 2.分期还款与数列 (1)等额本金还款法:将本金平均分配到每 一期进行偿还,每一期所还款金额由两部 分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除 以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金 与已还本金总额的差乘以利率.这种方式 中,每期还款金额= 贷款本金 还款期数+(贷款本金 -已还本金总额)×利率.如果向银行贷款 本金A0 元,打算分成m 期偿还,并且每一 期的利率为r(r>0),记每期还款的钱数构 成的数列为a1,a2,…,am,则第n期所要还 的钱数an= A0 m+ A0- A0 m (n-1)􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ×r. (2)“等额本息还款法”是将本金和利息平 均分配到每一期进行偿还,因此每一期所 还钱数相等,即a1=a2=…=am. 设每期还款x 元,则x[(1+r)m-1+(1+ r)m-2+…+(1+r)+1]=A0(1+r)m,则 x= A0r(1+r)m (1+r)m-1 . 1.某地政府积极行动,计划实现本地区的荒 漠化土地面积每年平均比上年减少10%. 已知2019年该地区原有荒漠化土地面积 为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠 化土地面积(单位:万平方公里)为 ( ) A.7×0.94 B.7×0.95 C.7×0.96 D.7×0.97 2.《九章算术》有如下问题:“今有金棰,长五 尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤, 问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根 金棰,长五尺,在粗的一端截下一尺,重 4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各 尺依次重多少?”假设金棰由粗到细各尺质 量依次成等比数列,则从粗端开始的第三 尺的质量是 ( ) A.2 2斤 B.232斤 C.242斤 D.3斤 3.2023年度,国内某电信企业甲投入科研经 费115亿美元,国外一家电信企业乙投入 科研经费156亿美元.从2023年开始,若 企业甲的科研经费每年增加x%,计划用 3年时间超过企业乙的年投入量(假设企 业乙每年的科研经费投入量不变).请写出 一个不等式来表达题目中所描述的数量关 系: .(所 列的不等式无需化简) 4.假设一个人的日薪按这样的方式增长:第 一天 发3元,第 二 天 发6元,第 三 天 发 12元,……从第二天起每天发的工资是前 一天的2倍,则连续十四天后此人日薪总 和 (填“大于”“等于”或“小于”) 4.8万元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —01— 高二数学(配BSD版) 1.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙 子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧 洲.1874年,英国数学家马西森指出此法 符合1801年由高斯得到的关于问余式解 法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩 余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于 整除的问题,现有这样一个整除问题:将1 到2021这2021个数中,能被2除余1, 且被5除余1的数按从小到大的顺序排成 一列,构成数列{an},则a20= ( ) A.181 B.191 C.201 D.211 2.(2024·红桥期末)“十二平均律”是通用的 音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算 出半音比例,为这个理论的发展做出了重要 贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十 二份,依次得到十三个单音,从第二个单音 起,每一个单音的频率与它的前一个单音的 频率的比都等于122.若第一个单音的频率为 f,则第六个单音的频率为 ( ) A. 12 27f B 12 25f C. 3 22f D. 3 2f 3.北京天坛的圜丘坛为古 代祭 天 的 场 所,分 上、 中、下三层.上层中心有 一块圆形石板(称为天 心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成 第一环,向外每环依次增加9块.下一层的 第一环比上一层的最后一环多9块,向外 每环依次也增加9块.已知每层环数相同, 且下层比中层多729块,则三层共有扇面 形石板(不含天心石) ( ) A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 4.(2024·平顶山模拟)在中国古代,人们用 圭表测量日影长度来确定节气,一年之中 日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起, 依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二 个节气,其日影长依次成等差数列,若冬 至、立春、春分日影长之和为31.5尺,小 寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺,则大 寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 . 5.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给 他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、 晚间隔12小时各服一次药,每次一片,每 片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时 从体内大约排出这种药在其体内残留量的 50%,并且医生认为这种药在体内的残留 量不超过400毫克时无明显副作用.若该 患者第一天上午8点第一次服药,则第二 天上午8点服完药时,药在其体内的残留 量是 毫克,若该患者坚持长期服 用此药,则 (填“有”或“无”)明显 副作用. 6.新能源汽车技术的发展有着诸多的作用, 它不仅能够帮助国家减少对石油的依赖, 还能够减轻对环境的污染.为了加强环保 建设,提高社会效益和经济效益,某市计划 用若干年时间更换一万辆燃油型公交车, 每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,新车为 电力型和混合动力型公交车.今年年初投 入了电力型公交车128辆,混合动力型公 交车400辆,计划以后电力型公交车每年 的投入量比上一年增加50%,混合动力型 公交 车 每 年 比 上 一 年 多 投 入 a(a∈ N+)辆. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —11— (1)求经过n年,该市被更换的公交车总辆 数S(n)(不必写出n的取值范围); (2)若该市计划7年内完成全部更换,求a 的最小值. 7.张先生2021年年底购买了一辆1.6L排 量的小轿车,为积极响应政府发展森林碳 汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并 将其固定在植被或土壤中)的号召,买车的 同时出资1万元向中国绿色碳汇基金购买 了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明: 轿车每行驶3000km就要排放1吨二氧化 碳,林木每生长1m3,平均可吸收1.8吨二 氧化碳. (1)张 先 生 第 一 年 (即 2022 年)用 车 12000km,以后逐年会增加1000km,则 该轿车使用10年共要排放二氧化碳多 少吨? (2)若种植的林木第一年(即2022年)生长 了1m3,以后每年以10%的生长速度递 增,问林木至少生长多少年,吸收的二氧化 碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的 量? (参考数据:1.114≈3.7975,1.115≈ 4.1772,1.116≈4.5950) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —21— 高二数学(配BSD版) 1.(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑 中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁, 相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为 举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图, 其中 DD1,CC1,BB1,AA1 是 举,OD1, DC1,CB1,BA1 是相等的步,相邻桁的举 步 之 比 分 别 为DD1 OD1 =0.5, CC1 DC1 =k1, BB1 CB1 =k2, AA1 BA1 =k3,已知k1,k2,k3 成公差 为0.1的等差数列,且直线OA 的斜率为 0.725,则k3= ( ) 图1 图2 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 2.(2021·新高考全国Ⅰ卷)某校学生在研究 民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸 的某条对称轴把纸对折,规格为20dm× 12dm的长方形纸,对折1次共可以得到 10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的 图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折 2次共可以得到5dm×12dm,10dm× 6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的 面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次 共可以得到不同规格图形的种数为 ; 如果对折n次,那么∑ n k=1 Sk= dm2. 易错点 不会构建数列模型而致错 [示例] 实施“二孩”政策后,专家估计某 地区人口总数将发生如下变化:从2021年 开始到2030年,每年人口总数比上一年增 加0.5万人,从2031年开始到2040年,每 年人口总数为上一年的99%.已知该地区 2020年人口总数为45万. (1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总 数an(单位:万人)的表达式(记2021年为 第一年); (2)若“二孩”政策实施后,2021年到2040年 人口平均值超过49万,则需调整政策,否则 继续实施,问到2040年结束后是否需要调整 政策? (参考数据:0.9910≈0.9) [名师叮嘱] 本题数列{an}是分段数列,其中第 一段是等差数列,第二段是等比数列.容易出错.有 关数列的应用问题,是为了让学生能够在实际情境 中,用数学的思想分析数列问题,用数学的语言表 达数列问题,用数学的知识构建数列模型,用数列 的方法得出结论,并验证数学结论与实际问题是否 相符合,最终得到符合实际规律的结果. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 高二数学(配BSD版) 即8·(1-q6)=7· 1-q3 ,即8·(1+q3)(1-q3)= 7·(1-q3),即8· 1+q3 =7, 解得q=-12. 故答案为-12. 答案 -12 【易错警示】 [示例1] [解析] 由题意知a4a8=3,所以a26=a4a8=3, 解得a6=± 3,又a4+a8=4,所 以a4>0,a8>0, 当a6=-3时,a25=a4a6<0,所以舍去负值,得a6=3,故 选C. [答案] C [示例2] [解析] 设等比数列{Sn+1}的公比为t,则t ≠0. 若q=1,则Sn+1=na1+1,由题意可得Sn+1+1= t(Sn+1), 即(n+1)a1+1=tna1+t, 所以 n+1=tn, t=1, 不合题意; 若q≠1,则Sn= a1(1-qn) 1-q = a1-a1qn 1-q , 则Sn+1= (a1+1-q)-a1qn 1-q , 由题意可得Sn+1+1=t(Sn+1), 即 (a1+1-q)-a1q·qn 1-q = t(a1+1-q)-ta1qn 1-q , 所以 a1+1-q=t(a1+1-q), a1q=ta1, 可得 q-a1=1, t=q. 故选B. [答案] B 作业(四) 数列在日常经济生活中的应用 【基础诊断】 1.C 2.A 3.115(1+x%)3>156 4.大于 【综合应用】 1.B 由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即 an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N+),故 a20=10×(20-1)+1=191. 2.B 由题意得,十三个单音的频率构成首项为f,公比为 12 2的等比数列,设该等比数列为{an},则第六个单音的 频率为a6=f·( 12 2)5= 12 25f.故选B. 3.C 设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石 板数之间构成等差数列{an},且公差d=9,首项a1=9,由 等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数 列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d,由题意得9n2= 729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27= 27×9+27×262 ×9=3402 (块). 4.解析 设从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长 依次成等差数列{an},如冬至日的日影长为a1 尺,设公 差为d尺. 由题可知,a1+a4+a7=31.5⇒3a4=31.5⇒a4=10.5, a2+a5+a8=28.5⇒3a5=28.5⇒a5=9.5, d=a5-a4=9.5-10.5=-1, a3+a6+a9=3a6=3a5+d =3×(9.5-1)=3×8.5 =25.5, 即大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺. 答案 25.5尺 5.解析 设该患者第n次服药后,药在他体内的残留量为 an 毫克, 由题意可得:a1=200,a2=200+a1×(1-50%)=200 ×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%)=200+200× 1.5×0.5=350, 故第二天早间他第三次服药后,药在他体内的残留量为 350毫克; 该患 者 若 长 期 服 用 此 药,则 此 药 在 体 内 残 留 量 为 200×(1-0.5n) 1-0.5 =400 (1-0.5n), ∵0.5n>0,则400(1-0.5n)<400, ∴长期服用此药,不会产生副作用, 即该患者长期服用该药,不会产生副作用. 答案 350 无 6.解析 (1)设an,bn 分别为第n 年投入的电力型公交 车、混合动力型公交车的辆数, 依题意,数列{an}是首项为128,公比为1+50%= 3 2 的 等比数列,{bn}是首项为400,公差为a的等差数列, 故数列{an}的前n 项和为 128× 1- 32 n 1-32 =256× 3 2 n -1 ,{bn}的前n项和为400n+n(n-1)2 a,所 以经过n年,该市被更换的公交车总辆数S(n)=256 3 2 n -1 +400n+n(n-1)2 a. (2)若计划7年内完成全部更换,则S(7)≥10000,即 256 32 7 -1 +400×7+7×62 a≥10000, 即21a≥3082,解得a≥1461621 , 又a∈N+,所以a的最小值为147. 7.解析 (1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an (n∈N+), 则a1= 12000 3000=4 ,a2= 13000 3000= 13 3 ,a3= 14000 3000 = 14 3 ,…, 显然其构成首项为a1=4,公差为d=a2-a1= 1 3 的等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 差数列,所以S10=10×4+ 10×9 2 × 1 3=55 , 即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨. (2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N+), 则b1=1×1.8,b2=1×(1+10%)×1.8, b3=1×(1+10%)2×1.8,…, 其构成首项b1=1.8,公比q=1.1的等比数列, 记其前n项和为Tn, 由题意,有Tn= 1.8×(1-1.1n) 1-1.1 =18× (1.1n-1)>55, 解得n≥15. 所以林木至少生长15年,其吸收的二氧化碳的量超过 轿车10年排出的二氧化碳的量. 【真题体验】 1.D 如图,连接OA,延长AA1与x轴交于点A2,则OA2 =4OD1.因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,所以 k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,所以CC1=DC1(k3-0.2), BB1=CB1(k3-0.1),AA1=k3BA1,即CC1=OD1(k3 -0.2),BB1=OD1(k3-0.1),AA1=k3OD1.又 DD1 OD1 = 0.5,所以 DD1=0.5OD1,所以 AA2=0.5OD1+OD1 (k3-0.2)+OD1(k3-0.1)+k3OD1=OD1(3k3+ 0.2),所 以tan∠AOA2= AA2 OA2 = OD1(3k3+0.2) 4OD1 = 0.725,解得k3=0.9,故选D. 2.解析 对 折4次 可 得 到 如 下 规 格:54 dm×12dm , 5 2dm×6dm ,5dm×3dm,10dm×32dm ,20dm×34 dm,共5种; 由题意可得S1=2×120,S2=3×60,S3=4×30,S4=5 ×15,…,Sn= 120(n+1) 2n-1 , 设S=120×2 20 +120×3 21 +120×4 22 +…+120 (n+1) 2n-1 , 则1 2S= 120×2 21 +120×3 22 +…+120n 2n-1 +120 (n+1) 2n , 两式作差得1 2S=240+120 12+122+…+ 12n-1 - 120n+1 2n =240+ 601- 12n-1 1-12 -120 (n+1) 2n =360-120 2n-1 -120 (n+1) 2n =360-120 (n+3) 2n , 因此,S=720-240 (n+3) 2n =720-15 (n+3) 2n-4 . 答案 5 720-15 (n+3) 2n-4 【易错警示】 [示例] [解析] (1)由题意知,当1≤n≤10时,数列 {an}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得an= 45.5+0.5×(n-1)=0.5n+45,则a10=50; 当11≤n≤20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列, 则an=50×0.99n-10. 故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人) 的表达式为an= 0.5n+45,1≤n≤10, 50×0.99n-10,11≤n≤20. (2)设Sn 为数列{an}的前n项和. 从2021年到2040年共20年,由等差数列及等比数列 的求和公式得S20=S10+(a11+a12+…+a20)=477.5 +4950×(1-0.9910)≈972.5. 所以“二孩”政策实施后,2021年到2040年人口平均值 为 S20 20≈48.63 ,则S20 20<49 , 故到2040年结束后不需要调整政策. 作业(五) 专项培优:数列求和及综合应用 【基础诊断】 1.B 2.2024 3. 1-n,n为奇数, n,n为偶数 4.1+(n-1)·2n 【综合应用】 1.BCD 因为a1=1,an+2=(-1)n+1(an-n)+n,所以当 n为奇数时,an+2=an=a1=1;当n为偶数时,an+an+2 =2n.所以a48+a50=96,A错误;又a46+a48=92,所以 a50-a46=4,B正确;S48=a1+a3+a5+…+a47+[(a2 +a4)+(a6+a8)+…+(a46+a48)]=24×1+2×(2+ 6+…+46)=24+2× (2+46)×12 2 =600 ,C正确;S49 =S48+a49=600+1=601,D正确.故选BCD. 2.A f(x)+f(-x)= 2 x 2x+1 + 2 -x 2-x+1 = 2 x 2x+1 + 1 2x+1 =1. 依题意,{an}是等差数列,所以a1+a4043=a2+a4042= …=2a2022=0.令S=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+ f(a4043), 则S=f(a4043)+f(a4042)+f(a4041)+…+f(a1), 结合等差数列的性质,两式相加得2S=1×4043,则S =40432 . 3.A 当n=1时,S1+S2=2a1+a2=3, ∵a1=1,∴a2=1, 当n≥2时,由Sn+Sn+1=n(n+2)可得Sn-1+Sn(n- 1)·(n+1), 两式相减得an+an+1=2n+1, 整理得an+1-(n+1)=-(an-n)(n≥2), ∵a2-2=-1,∴数列{an-n}从第2项起是以-1为首 项,-1为公比的等比数列, ∴an=n+(-1)n-1(n≥2),又a1=1不满足上式, ∴an= 1,n=1, n+(-1)n-1,n≥2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64—