作业(十一) 集合与常用逻辑用语-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

第二部分 开启一轮 集合与常用逻辑用语 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异 性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、 图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A 与B, 如果集合A 中的任何一个元素都属于集 合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合 A是集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集:对于两个集合 A 与B,如果 A⊆B,且 A≠B,那么称集合 A 是集合 B 的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). (3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B. [提醒] ∅是任何集合的子集,是任何非空集合 的真子集. 3.集合的基本运算及运算性质 运算 符号语言 Venn图 运算性质 交集 A∩B= {x|x∈A 且x∈B} (A∩B)⊆A,(A∩ B)⊆B,A=A∩A, A∩B=B∩A,A∩ B=A⇔A⊆B,A∩ ∅=∅ 并集 A∪B= {x|x∈A 或x∈B} A⊆(A∪B),B⊆ (A∪B),A=A∪ A,A∪B=B∪A,A ∪B=B⇔A⊆B,A ∪∅=A 续表 运算 符号语言 Venn图 运算性质 补集 ∁UA= {x|x∈U 且x∉A} ∁UU=∅,∁U ∅= U,∁U(∁UA)=A,A ∪(∁UA)=U,A∩ (∁UA)=∅, ∁U (A ∩ B)= (∁UA)∪ (∁UB), ∁U (A ∪ B)= (∁UA)∩(∁UB) 4.充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若p⇒q,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件 p成立的对象 的集合为A,q 成 立 的 对 象 的集合为B p是q的充分不必 要条件 p⇒q且q/⇒p A 是B 的 真子集 p是q的必要不充 分条件 p/⇒q且q⇒p B是A 的 真子集 p是q的充要条件 p⇔q A=B p是q的既不充分 也不必要条件 p/⇒q且q/⇒p A,B互不包含 5.全称量词与存在量词 (1)全称量词:在命题中,诸如“所有”“每一 个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全 称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意 的”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 高二数学(配BSD版) (2)存在量词:在命题中,诸如“有些”“有一 个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号 “∃”表示,读作“存在”. 6.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 意义 对M 中的任意一 个 x,有 p(x) 成立 存在 M 中 的 元 素x, p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 1.(教材改编)设全集为R,集合A={x|0<x<2}, B={x|x≥1},则A∩(∁RB)= ( ) A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 2.(教材改编)下列命题是全称量词命题并且 是真命题的是 ( ) A.∀x∈R,x2+2x+1>0 B.对任意实数a,b,若a-b<0,则a<b C.若2x为偶数,则x∈N D.π是无理数 3.设x∈R,则“sinx=1”是“cosx=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合A={1,3,m},B={1,m},若 B⊆A,则实数m= . 考点一 集合 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x, y)|x-y=3},则满足 M⊆(A∩B)的集合 M 的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2024·长沙质检)已知集合A={x∈Z| x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B 中有三个元素,则实数m 的取值范围是 ( ) A.[3,6) B.[1,2) C.[2,4) D.(2,4] 3.已知集合A={x|y=log2(x2-8x+15)}, B={x|a<x<a+1},若A∩B=∅,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,3] B.(-∞,4] C.(3,4) D.[3,4] 4.(2024·九省联考)已知集合A={-2,0, 2,4},B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A, 则m 的最小值为 . 5.(2024·烟台期中)若一个集合是另一个集 合的子集,则称这两个集合构成“全食”;若 两个集合有公共元素,但不互为对方的子 集,则称这两个集合构成“偏食”.已知集合 A={x|x2<t}和集合 B={x|x2-x- 2<0},若集合 A,B 构成“偏食”,则实数 t的取值范围为 . 考点二 简易逻辑 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(多选)下列命题为假命题的是 ( ) A.∃x∈R,ln(x2+1)<0 B.∀x>2,2x>x2 C.∃α,β∈R,sin(α-β)=sinα-sinβ D.∀x∈(0,π),sinx>cosx 2.(多选)下列说法正确的是 ( ) A.命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否 定是“∃x∈[0,+∞),x3+x<0” B.∀x∈R,2x>x2 C.若“∀x∈ 0,π4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,tanx≤m”是真命题, 则实数m 的最小值为1 D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 3.(多选)下列说法错误的是 ( ) A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不 充分条件 B.若p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充 分不必要条件 C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈ N+,点 Pn(n,an)都在直线y=2x+1 上,q:{an}为等差数列,则p 是q 的充 要条件 D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分 条件 4.已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤x≤5”的充 分不必要条件,则实数a 的取值范围是 . 5.若a,b都是正整数,使a+b>ab成立的一 个充分不必要条件是 .(写出一个 即可) 1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a}, B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= ( ) A.2 B.1 C.23 D.-1 2.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合 M= {x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2, k∈Z},则∁U(M∪N)= ( ) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.∅ 3.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1, 乙:sinα+cosβ=0,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必 要条件 易错一 含参数的集合运算中忽视对空集 的讨论而致误 [示例1] (多选)已知集合A={x|-2≤ x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使 A∪B=A 的实数m 的取值范围可以是 ( ) A.{m|-3≤m≤4} B.{m|-3<m<4} C.{m|2<m<4} D.{m|m≥4} [名师叮嘱] 本题求解的关键是将A∪B=A 转 化为B⊆A,由于集合B 含参数,且集合B 是集合 A 的子集,因此要考虑集合B 为空集的特殊情况. 易错二 条件探求中忽视要求而致误 [示例2] (2024·深圳高三期末)设集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0}, 则B是A 的真子集的一个充分不必要条 件是 ( ) A.m∈ 12 ,-13 B.m≠0 C.m∈ 0,-12 ,1 3 D.m∈ 0,13 [名师叮嘱] 注意条件属性的要求,否则易错求 解为充要条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— 高二数学(配BSD版) 则f' x =1x2 -1x= 1-x x2 , 当x∈ 0,1 时,f' x >0,f x 单调递增; 当x∈ 1,+∞ 时,f' x <0,f x 单调递减; 所以f x max=f 1 =-1. (2)f x =ax-1x- a+1 lnx ,x>0,则f' x =a+ 1 x2 -a+1x = ax-1 x-1 x2 , 当a≤0时,ax-1≤0,所以当x∈ 0,1 时,f' x >0, f x 单调递增; 当x∈ 1,+∞ 时,f' x <0,f x 单调递减; 所以f x max=f 1 =a-1<0,此时函数无零点,不 合题意; 当0<a<1时,1a>1 ,在 0,1 , 1a ,+∞ 上,f'(x) >0,f(x)单调递增; 在 1,1a 上,f'(x)<0,f(x)单调递减; 又f 1 =a-1<0,当x趋近正无穷大时,f(x)趋近于 正无穷大, 所以f(x)仅在 1a ,+∞ 有唯一零点,符合题意; 当a=1时,f'(x)= x-1 2 x2 ≥0,所以f(x)单调递增, 又f 1 =a-1=0, 所以f(x)有唯一零点,符合题意; 当a>1时,1a<1 ,在 0,1a ,1,+∞ 上,f'(x)>0, f(x)单调递增; 在 1 a ,1 上,f'(x)<0,f(x)单调递减;此时f 1 =a -1>0, 又f 1 an = 1an-1-an+n a+1 lna,当n趋近正无穷 大时,f 1 an 趋近负无穷, 所以f(x)在 0,1a 上有一个零点,在 1a,+∞ 上无 零点, 所以f(x)有唯一零点,符合题意; 综上,a的取值范围为 0,+∞ . 【易错警示】 [示例] [解析] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x) =1x+2ax+2a+1= (x+1)(2ax+1) x . 若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0, +∞)上单调递增. 若a<0,则当x∈ 0,-12a 时,f'(x)>0; 当x∈ -12a ,+∞ 时,f'(x)<0. 故f(x)在 0,-12a 上单调递增,在 -12a,+∞ 上单 调递减. (2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-12a 处取得 最大值,最大值为f -12a =ln -12a -1-14a. 所以f(x)≤-34a-2 等价于ln -12a -1-14a≤-34a -2,即ln -12a +12a+1≤0. 设g(x)=lnx-x+1(x∈(0,+∞)),则g'(x)=1x-1. 当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故 当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0. 所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln -12a + 1 2a+1≤0 ,即f(x)≤-34a-2. 第二部分 开启一轮 作业(十一) 集合与常用逻辑用语 【基础诊断】 1.B 2.B 3.A 4.0或3 【知能提升】 考点一 1.C 由 x+y=1, x-y=3, 得 x=2,y=-1, ∴A∩B={(2,-1)}. 由 M⊆(A∩B),知 M=∅或 M={(2,-1)}. 2.C 集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4}, B={x|4x>2m}= x x>m2 , ∵A∩B 中有三个元素,∴1≤m2<2 , 解得2≤m<4. 3.D 易知A={x|x2-8x+15>0}={x|x<3或x>5}, 由A∩B=∅, 可得 a≥3, a+1≤5, 所以3≤a≤4. 4.解析 由A∩B=A,故A⊆B, 由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3, 故 4≤m+3, -2≥-m+3, 解得m≥5, 即m 的最小值为5. 答案 5 5.解析 集合A={x| x2<t}={x|-t<x<t,t>0},集 合B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}. ∵集合A,B 构成“偏食”, ∴ t>0, -1<-t<2<t 或 t>0,-t<-1<t<2, 解得1<t<2. ∴实数t的取值范围为(1,2). 答案 (1,2) 考点二 1.ABD ∵x2+1≥1,∴ln(x2+1)≥ln1=0,故A为假 命题; 当x=4时,2x=x2,故B为假命题; 当α=β=0时,sin(α-β)=0=sinα-sinβ,故C为真 命题; 当x=π6 时,sinπ6<cos π 6 ,故D为假命题. 2.ACD 全 称 量 词 命 题 的 否 定 是 存 在 量 词 命 题,易 知 A正确. B项中,当x=2时,2x=x2,则B错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— ∀x∈ 0,π4 ,tanx≤1,故 实 数 m 的 最 小 值 为1, C正确. D项中,由不等式性质a>1,b>1⇒ab>1,知D正确. 3.ABC A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6, 所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件. B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q 的必要不充 分条件. C错误,因为点Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an =2n+1(n∈N+),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1) =2.又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差 数列,即p⇒q. 反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点 (n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的 充分不必要条件. D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0, 所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件. 4.解析 设A={x|a≤x≤a2+1},B=[-2,5]. 依题设,A⫋B, 则 a≥-2, a2+1≤5, 且等号不同时成立. 解之得,-2<a≤2. 答案 (-2,2] 5.解析 因为a+b>ab,所以(a-1)(b-1)<1. 因为a,b∈N+,所以(a-1)(b-1)∈N,所以(a-1)(b -1)=0,所以a=1或b=1.所以a=1且b=2是a+b >ab成立的一个充分不必要条件. 答案 a=1且b=2(答案不唯一) 【真题体验】 1.B A⊆B,则2a-2=0,a=1,A={0,-1},B={1,-1,0}, 满足题意,选B. 2.A 因为整数集Z= x|x=3k,k∈Z ∪{x|x=3k+1, k∈Z}∪ x|x=3k+2,k∈Z ,U=Z, 所以∁U M∪N = x|x=3k,k∈Z . 3.B 当sin2α+sin2β=1时,例如α= π 2 ,β=0,但sinα+ cosβ≠0, 即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0; 当sinα+cosβ=0时,sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β =1, 即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1. 综上可知,甲:sin2α+sin2β=1是乙:sinα+cosβ=0的 必要不充分条件. 【易错警示】 [示例1] [解析] ∵A∪B=A,∴B⊆A. ①若B 不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2. ∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}, ∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4. 此时2<m≤4. ②若B 为 空 集,则 m+1≥2m-1,解 得 m≤2,符 合 题意. 综上,实数m 满足m≤4即可,故选 ABC. [答案] ABC [示例2] [解析] A={x|x2+x-6=0}={2,-3}. 若m=0,则B=∅,B⫋A;若m=-12 ,则B={2}⫋A; 若 m = 13 ,则 B = {-3}⫋ A.设 C 是 集 合 -12 ,0,13 的非空真子集,则B⫋A 的一个充分不必 要条件是m∈C.所以B⫋A 的一个充分不必要条件是 m∈ 0,13 .故选D. [答案] D 作业(十二) 不等式与基本不等式、一元二次不等式 【基础诊断】 1.A 2.B 3.BD 4.25 5,5 【知能提升】 考点一 1.A a-1a<b- 1 b⇔ (a-b)1+1ab <0, 显然当b>a>0时,a-1a<b- 1 b. 但a<b<0时,仍有(a-b)1+1ab <0. ∴a-1a<b- 1 b⇒ /b>a>0. 故“0<a<b”是“a-1a<b- 1 b ”的充分不必要条件. 2.AD 对于A,由题意|a|>|b|,则2|a|>2|b|成立,A正 确.对于B,由题意得 1|a|> 1 |b| ,故|b|>|a|,显然2a< 2b 不成立,B错误.对于C,当a=3,b=4时,不成立, C错误.对于D,易得0<a<b2< 3 2< π 2 ,故D正确. 3.解析 由 ca+b< a b+c< b c+a 可得 c a+b+1< a b+c+1< b c+a+1 ,即a+b+c a+b < a+b+c b+c < a+b+c c+a ,所以a+b>b +c>c+a.由a+b>b+c可得a>c,由b+c>c+a可 得b>a,于是有c<a<b. 答案 c<a<b 考点二 1.C 依题意,可得ab=a+b, ∴a+b=ab≤ a+b2 2 ,即a+b≤ (a+b)2 4 , ∴a+b≥4,当且仅当a=b时,等号成立, ∴a+b的最小值为4. 2.C ∵x>0,y>0,x+2y=1, ∴ (x+1)(y+1) xy = xy+x+y+1 xy =1+ x+y+x+2y xy = 1+2y+ 3 x=1+ 2 y+ 3 x (x+2y)=8+2xy +6yx ≥8+ 2 2xy ·6y x =8+43 ,当且仅当2x y = 6y x ,即x=2 3-3, y=2- 3时等号成立,故选C. 3.D 由题意得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f'(0)=e0 =1, 所以切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0, 所以a-b+1=0,所以a-b=-1, 所以2a+2-b≥2 2a·2-b=2 2a-b=2 2-1= 2, 当且仅当a=-12 ,b=12 时,等号成立. 4.解析 ∵a>0,b>0, ∴1a+ a b2 +b≥2 1a ·a b2 +b=2b +b≥2 2 b ·b= 22,当且仅当1a= a b2 且2 b=b ,即a=b=2时等号成立, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85—