作业(六) 导数的概念、几何意义及其运算-2024年高二数学暑假作业（北师大版）

高二数学(配BSD版) 导数的概念、几何意义及其运算 1.变化率问题 (1)变化率的概念 ①定义:ΔyΔx= f(x2)-f(x1) x2-x1 ; ②作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化 的快慢; ③几何意义:已知P1(x1,y1),P2(x2,y2) 是函数y=f(x)图象上的两点,则ΔyΔx= f(x2)-f(x1) x2-x1 ,平 均 变 化 率 表 示 割 线 P1P2 的斜率. [提醒] Δx可以是正值,也可以是负值,但不为0. (2)一般地,设物体的运动规律是s=s(t), 则物体在t0 到t0+Δt这段时间内的平均 速度为Δs Δt= s(t0+Δt)-s(t0) Δt . 如果Δt无 限趋近于0时,ΔsΔt 无限趋近于某个常数v, 我们就说当Δt趋近于0时,ΔsΔt 的极限是v, 这时v就是物体在时刻t=t0 时的瞬时速度, 即瞬时速度v=lim Δt→0 Δs Δt=limΔt→0 s(t0+Δt)-s(t0) Δt . 2.导数的有关概念 (1)函数y=f(x)在x=x0 处的导数 设函数y=f(x),当自变量x 从x0 到x1 时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值 y 关 于 x 的 平 均 变 化 率 为 ΔyΔx = f(x1)-f(x0) x1-x0 =f (x0+Δx)-f(x0) Δx . 当x1 趋于x0,即Δx 趋于0时,如果平均 变化率趋于一个固定的值,那么这个值就 是函数y=f(x)在点x0 的瞬时变化率.在 数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在 点x0 处的导数,通常用符号f'(x0)表示, 记 作 f' (x0)= lim x1→x0 f(x1)-f(x0) x1-x0 =lim Δx→0 f(x0+Δx)-f(x0) Δx . [提醒] f'(x0)代表函数f(x)在x=x0 处的导 数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,而函数 值f(x0)是 一 个 常 数,其 导 数 一 定 为 0,即 (f(x0))'=0. (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在x0 处的导数f'(x0),是曲 线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.相 应 地,切 线 方 程 为 y-f(x0)= f'(x0)(x-x0),函数y=f(x)在x0 处切 线的斜率反映了导数的几何意义. (3)导函数 一般地,如果一个函数y=f(x)在区间 (a,b)的每一点x 处都有导数f'(x)= lim Δx→0 f(x+Δx)-f(x) Δx ,那么f'(x)=是关 于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函 数,也简称为导数,有时也将导数记作y'. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 y=c(c是常数) y'=0 y=xα(α是实数) y'=αxα-1 y=sinx y'=cosx y=cosx y'=-sinx y=ax(a>0,a≠1) y'=axlna y=ex y'=ex y=logax(a>0, a≠1) y'= 1xlna y=lnx y'=1x 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 4.导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x). (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). (3)f (x) g(x) 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁'=f' (x)g(x)-f(x)g'(x) g2(x) , g(x)≠0. (4)[kf(x)]'=kf'(x),k∈R. (5)复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=φ(x) 复合而成的函数y=f(φ(x)),它的导数为 y'x=f'(u)φ'(x). 1.(多选)(教材改编)下列导数的运算正确 的是 ( ) A.(3x)'=3xln3 B.(x2lnx)'=2xlnx+x C.cosxx '=xsinx-cosxx2 D.(sinxcosx)'=cos2x 2.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)= 7t2+8(0≤t≤5),则 ( ) A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 3.(教材改编)设函数f(x)= e x x+a. 若f'(1)=e4 , 则a= . 4.曲线y=2x-1x+2 在点(-1,-3)处的切线方 程为 . 1.(多选)下列求导正确的是 ( ) A.[ln(2x+1)]'= 22x+1 B.(e5x-4)'=e5x-4 C.(2x-1)'= 1 2x-1 D.cos2x+π3 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁'=-2sin2x+π3 2.(多选)(2024·连云港期末)设b为实数, 则直线y=2x+b能作为下列函数的图象 的切线的有 ( ) A.f(x)=1x B.f (x)=x4 C.f(x)=ex D.f(x)=sinx 3.随着科学技术的发展,放射性同位素技术 已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并 取得了显著的经济效益.假设某放射性同 位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克) 与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)= P0·2- t 30,其中P0 为t=0时该放射性同 位素的含量.已知t=15时,该放射性同位 素的瞬时变化率为-3 2ln210 ,则该放射性 同位素含量为4.5贝克时,衰变所需时 间为 ( ) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 4.(2024·咸阳期末)已知函数f(x)及其导 函数 f'(x),若 存 在 x0 使 得 f(x0)= f'(x0),则称x0 是f(x)的一个“巧值点”, 下列函数没有“巧值点”的是 ( ) A.f(x)=x B.f(x)=ex C.f(x)=cosx D.f(x)=1 x 5.(2024·连云港月考)已知蜥蜴的体温与阳 光照射的关系可近似为T(t)=120t+5+15 , 其中T(t)为蜥蜴的体温(单位:℃),t为太 阳落山后的时间(单位:min).当t=10min 时,蜥 蜴 体 温 的 瞬 时 变 化 率 为 ℃/min. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 高二数学(配BSD版) 6.已知函数f(x)=12e x-32e -x,则曲线y= f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的 取值范围是 . 7.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线 方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切 线方程. 8.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11, g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且 f'(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在实数k,使直线 m 既是曲线 y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切 线? 如果存在,求出k的值;如果不存在, 请说明理由. 1.(2023·全国甲卷)曲线y= e x x+1 在点 1,e2 处的切线方程为 ( ) A.y=e4x B.y= e 2x C.y=e4x+ e 4 D.y= e 2x+ 3e 4 2.(2022·新高考全国Ⅱ卷)曲线y=ln|x| 过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为 , . 3.(2022·新高考全国Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex 有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围 是 . 易错一 对复合函数的求导法则理解不透 致误 [示例1] 已知函数f(x)在 R 上可导, F(x)=f(x3-1)+f(1-x3),则F'(1)= . [名师叮嘱] 求复合函数的导数时,要注意看函 数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合 函数的求导法则进行计算. 易错二 混淆曲线在某点处的切线方程与 过某点的切线方程 [示例2] 曲线y=2xlnx+3过点 -12,0 的切线方程是 ( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y+1=0 C.2x+4y+1=0 D.2x-4y+1=0 [名师叮嘱] 曲线在某点处的切线方程明确了 “某点”是切点,此时切线只有唯一一条,而过某点 的切线是指切线经过“某点”,此时“某点”可能是切 点,也可能不是切点,这样的切线可能是多条,所以 涉及过某点的切线的问题时,需要设出切点,写出 切线方程,再把求切线的过程的已知点代入求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— (2)因为 an+1 2n =n 2n ,所以Tn=1× 1 2 1 +2× 12 2 + 3× 12 3 +…+n× 12 n , 1 2Tn=1× 1 2 2 +2× 12 3 +…+(n-1)× 12 n +n× 12 n+1 , 两式相减,得 1 2Tn= 1 2 1 + 12 2 + 12 3 +…+ 12 n -n× 1 2 n+1 = 1 2× 1- 1 2 n 1-12 -n× 12 n+1 =1- 1+n2 12 n ,即Tn=2- 2+n 1 2 n . 2.解析 (1)S1=a1=1,所以 S1 a1 =1, 所以 Sn an 是首项为1,公差为13的等差数列, 所以 Sn an =1+(n-1)·13= n+2 3 ,所以Sn= n+2 3 an. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1= n+2 3 an- n+1 3 an-1 , 所以(n-1)an=(n+1)an-1,即 an an-1 =n+1n-1 (n≥2); 累积法可得an= n(n+1) 2 (n≥2),又a1=1满足该式, 所以{an}的通项公式为an= n(n+1) 2 . (2)证明 因 为an= n(n+1) 2 ,所 以 1 an = 2n(n+1)= 2 1n- 1 n+1 ,所以1a1+1a2+…+1an =21-12+ 1 2- 1 3+ …+1n- 1 n+1 =21- 1n+1 <2. 【易错警示】 [示例1] [解析] 当n为奇数时,an+2-an=2,所以数 列{an}的奇数项是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以a1+a3+…+a19=10×1+ 10×9 2 ×2=100 ; 当n为偶数时,an+2+an=2, 所以a2+a4+…+a20=(a2+a4)+(a6+a8)+…+ (a18+a20)=2×5=10. 因此S20=100+10=110. [答案] 110 [示例2] [解析] (1)由an+1=2an-1,得an+1-1= 2(an-1), 又a1-1=1,所以数列{an-1}是以1为首项,2为公比 的等比数列, 所以an-1=1×2n-1=2n-1,所以an=2n-1+1. (2)由(1)得bn=2n·2n-1=n·2n, 所以Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1, 两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1= 2(1-2n) 1-2 -n ·2n+1=(1-n)·2n+1-2, 所以Sn=(n-1)·2n+1+2. 作业(六) 导数的概念、几何意义及其运算 【基础诊断】 1.ABD 2.ABD 3.1 4.5x-y+2=0 【综合应用】 1.ACD [ln(2x+1)]'= 22x+1 ,A正确; (e5x-4)'=5e5x-4,B错误; ( 2x-1)'= 12 · 1 2x-1 ·(2x-1)'= 1 2x-1 , C正确; cos2x+π3 '=-2sin2x+π3 ,D正确.故选ACD. 2.BC 若直线y=2x+b为f(x)图象的切线,则f'(x)= 2有解. 对于A,f'(x)=-1x2 <0,f'(x)不可能等于2,不符合 题意; 对于B,f'(x)=4x3,令f'(x)=4x3=2,解得x= 3 1 2 , 符合题意; 对于C,f'(x)=ex,令ex=2,解得x=ln2,符合题意; 对于D,f'(x)=cosx∈[-1,1],故f'(x)不可能等于 2,不符合题意.故选BC. 3.D P'(t)=-130 ·P0·2- t 30ln2,则P'(15)=- 2ln260 P0 =-3 2ln210 ,解得P0=18,则P(t)=18·2- t 30,令P(t) =4.5,则18·2- t 30=4.5,即2- t 30=14 ,所 以-t30= -2,解得t=60.故选D. 4.D 对于 A,f'(x)=1,令f(x)=f'(x),则x=1,故 f(x)=x有“巧值点”; 对于B,f'(x)=ex,令f(x)=f'(x),则x∈R,故f(x) =ex 有“巧值点”; 对于C,f'(x)=-sinx,令cosx=-sinx, 则sinx+cosx=0,即 2sinx+π4 =0, 所以x+π4=kπ (k∈Z),解得x=kπ-π4 (k∈Z), 故函数f(x)=cosx有“巧值点”; 对于D,f(x)的定义域为{x|x>0},则f'(x)=- 1 2x x <0,而f(x)>0,所以f(x)=f'(x)无解,故f(x)=1 x 没有“巧值点”.故选D. 5.解析 易得T'(t)= -120(t+5)2 ,得T'(10)=-815 , ∴ 当 t=10 min 时,蜥 蜴 体 温 的 瞬 时 变 化 率 为 -815℃ /min. 答案 -815 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 高二数学(配BSD版) 6.解析 f'(x)=12e x+32e -x=12 (ex+3e-x)≥12× 2 ex×3e-x= 3,当且仅当ex=3e-x,即x=12ln3 时 等号成立,∴tanα≥ 3,又0≤α<π,∴π3≤α< π 2 ,即倾 斜角α的取值范围是 π3 ,π 2 . 答案 π3 ,π 2 7.解析 (1)因为f'(x)=3x2-8x+5, 所以f'(2)=1,又f(2)=-2, 所以曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2, 即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0, x30-4x20+5x0-4), 因为f'(x0)=3x20-8x0+5, 所以切线方程为 y-(-2)=(3x20-8x0+5)(x-2), 又切线过点P(x0,x30-4x20+5x0-4), 所以x30-4x20+5x0-2=(3x20-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或x0=1, 所以经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y -4=0或y+2=0. 8.解析 (1)由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a,因为f'(-1) =0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2. (2)存在.理由如下: 由已知得,直线m 恒过定点(0,9),若直线m 是曲线y= g(x)的切线,则设切点为(x0,3x20+6x0+12). 因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x20+6x0 +12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得 x0=±1. 当x0=-1时,切线方程为y=9. 当x0=1时,切线方程为y=12x+9. 由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,f'(x)=-6x2 +6x+12. ①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x =2. 在x=-1处,曲线y=f(x)的切线方程为y=-18; 在x=2处,曲线y=f(x)的切线方程为y=9, 所以曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y=9. ②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x =1. 在x=0处,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11; 在x=1处,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10, 所以直线y=12x+9不是曲线y=f(x)与y=g(x)的 公切线. 综上所述,曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y =9,此时k=0. 【真题体验】 1.C 设曲线y= e x x+1 在点 1,e2 处的切线方程为y- e 2=k (x-1), 因为y= e x x+1 , 所以y'=e x(x+1)-ex (x+1)2 = xe x (x+1)2 , 所以k=y'|x=1= e 4 , 所以y-e2= e 4 (x-1), 所以曲线y= e x x+1 在 点 1,e2 处 的 切 线 方 程 为y= e 4x+ e 4. 故选C. 2.解析 当x>0时,点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为 y-lnx1= 1 x1 (x-x1).若该切线经过原点,则lnx1-1 =0,解得x=e,此时切线方程为y=xe. 当x<0时,点(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为y- ln(-x2)= 1 x2 (x-x2).若该切线经过原点,则ln(-x2) -1=0,解得x=-e,此时切线方程为y=-xe. 答案 y=xe y=- x e 3.解析 易得曲线不过原点,设切点为(x0,(x0+a)ex0), 则切线斜率为f'(x0)=(x0+a+1)ex0. 可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x- x0),又切线过原点,可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+ 1)ex0,化简得x20+ax0-a=0(※),又切线有两条,即※ 方程有两不等实根,由判别式Δ=a2+4a>0,得a< -4,或a>0. 答案 (-∞,-4)∪(0,+∞) 【易错警示】 [示例1] [解析] 由已知得F(x)=f(x3-1)+f(1- x3)在R上可导, 所以F'(x)=3x2f'(x3-1)-3x2f'(1-x3), 则F'(1)=3f'(0)-3f'(0)=0. [答案] 0 [示例2] [解析] 由题意,可得点 -12 ,0 不在曲线 y=2xlnx+3上,设切点为(x0,y0),因为y'=2lnx+2, 所以所求切线的斜率k=2lnx0+2= y0 x0+ 1 2 = 2y0 2x0+1 , 所以y0=2x0lnx0+2x0+lnx0+1.因为点(x0,y0)是 切点,所 以y0=2x0lnx0+3,所 以2x0lnx0+2x0+ lnx0+1=2x0lnx0+3,即2x0+lnx0-2=0.设f(x)= 2x+lnx-2(x>0),明显f(x)在(0,+∞)上单调递增, 且f(1)=0,所以2x0+lnx0-2=0有唯一解x0=1,则所 求切线的斜率k=2,故所求切线方程为y=2x+12 =2x+1,即2x-y+1=0. [答案] B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94—